第十二章期權(quán)定價的數(shù)值方法

1、Financial Engineering 授課人：王正文 講 師 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 郵箱： 在第十一章中，我們得到了期權(quán)價值所滿足的偏微分方程，并解出了特定條件下的期權(quán)解析定價公式。但在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價值的解析解，這時人們經(jīng)常采用數(shù)值方法（Numerical Procedures）為期權(quán)定價，主要包括二叉樹方法（Binomial Trees）、蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）和有限差分法（不講）。在這一章里，我們將介紹如何借助上述兩種數(shù)值方法來為期權(quán)定價。一、二叉樹模型的基本方法一、二叉樹模型的基本方法 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 ，

2、并假設(shè)在每一個時間間隔 內(nèi)證券價格只有兩種運(yùn)動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá)tt2、下降到原先的 倍，即 相應(yīng)地，期權(quán)價值也會有所不同， 和 。SuSudSdufdf1,1ud二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二叉樹模型的思想實際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運(yùn)動 相同期限下步長越小精確度越高二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu)二、證券價格的樹形結(jié)構(gòu) 33033 33,3212123 13,23033 333,0|jijijjijijjijijSuSu dSu dSu

3、 dSuSu uSu dSu dSu dSdSu dSudSu d三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 在風(fēng)險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppSuSetr)1 ( 三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，則：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再設(shè)定： （第三個條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1ud三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 由以上三式可得，當(dāng) 很

4、小時：tdudeptrteuted三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 得到每個結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。 如果是歐式期權(quán)，可通過將 時刻的期權(quán)價值的預(yù)期值在 時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價值；Ttr三、參數(shù)的確定三、參數(shù)的確定 如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點(diǎn)上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值。t四、二叉樹方法的一般定價方法四、二叉樹方法的一般定價方法 假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為 的小區(qū)間，同時用 表示結(jié)點(diǎn) 處的

5、證券價格可得： ，其中若期權(quán)不被提前執(zhí)行， 后，則： 所以 實際上表示在時間 時第j個結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價值tjijdSu),(jimax(,0)jN jN jfX Su d，0,1,jN t1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)ji jr tijijijfX Su depfp f 五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價五、有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為 的紅利時，在風(fēng)險中性條件下，證券價格的增長率應(yīng)該為， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted一、一、p=0.5p=0.5的二叉樹圖的

6、二叉樹圖 在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設(shè) ，而令 ，可得：該方法優(yōu)點(diǎn)在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 udp1ud0.5p 222r qttu e 222r qttd e t二、三叉樹圖二、三叉樹圖 每一個時間間隔 內(nèi)證券價格有三種運(yùn)動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd二、三叉樹圖二、三叉樹圖 二、三叉樹圖二、三叉樹圖 三、控制方差技術(shù)三、控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： , 代表期權(quán)B的真實價值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)

7、估計值， 和 表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計值為： BBffAAffBfAfBBffAAffBfAf四、適應(yīng)性網(wǎng)狀模型四、適應(yīng)性網(wǎng)狀模型 在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，當(dāng)資產(chǎn)價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長 進(jìn)一步細(xì)分，如分為 ，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程 t4t Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價值實際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價格的多種運(yùn)動路徑，計算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價值。 在風(fēng)險中性世界中， 為了模擬路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個長度為時間段，則上式的近似方程為 dSr q SdtSdz 2lnln2S ttS tr qtt 2exp2S ttS tr qtt （是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)樣本） 隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定：1. 的產(chǎn)生 是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機(jī)