線性代數(shù)(趙樹嫄)第1章行列式

1、教學目標：教學目標：（1）會計算行列式；）會計算行列式；（2）會用克萊姆法則解線性方程組。）會用克萊姆法則解線性方程組。1.1 1.1 二階、三階行列式二階、三階行列式引例引例二元線性方程組二元線性方程組 1212111bxaxa2222121bxaxa將將22a12a得得211211221122211abbaxaaaa )(同理可得同理可得 121122211xaaaa)( 當當21122211aaaa0時，時， 方程組有方程組有 唯一解：唯一解：212221baab 211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 1212111bxaxa

2、2222121bxaxa1211aa 21122211aaaa D2221aa稱為二階行列式，稱為二階行列式，橫排的稱為行，橫排的稱為行，表示一代數(shù)和表示一代數(shù)和.21122211aaaa左上角到右下角稱為左上角到右下角稱為主對角線，主對角線， 右上角到左下角稱為右上角到左下角稱為豎排的稱為列豎排的稱為列副對角線副對角線對角線法則：二階行列式等于主對角線元素的乘對角線法則：二階行列式等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積積減去副對角線元素的乘積211222112122211aaaabaabx 2212aa2111aa1b2b 1b 1D2b2b 2D DDx11 DDx22 22a 12

3、a2b11a21a01b1b 1212111bxaxa2222121bxaxa211222112112112aaaaabbax DD21122211aaaa例例2315 例例 設設,132 D(1)(1)當當 為何值時為何值時(2)(2)當當 為何值時為何值時 , 0 D. 0 D解解132 D032 ，0 3 或或25 31 )(13 23因此可得：因此可得：(1) (1) (2)(2)0 3 時時, 0 D0 3 且且時時. 0 D例例解二元線性方程組解二元線性方程組 542132121xxxx解解 D2 23 10 此線性方程組有唯一解此線性方程組有唯一解當當或或當當)( 41 134

4、0 21 1x2x 1313212111bxaxaxa 2323222121bxaxaxa 3333232131bxaxaxa 131211aaa232221aaa333231aaa D)(1 542132121xxxx4231 D510 1D143 15 4 ,19 13 552 2D 1019 DD11019 103 DD2 103 稱為三階行列式稱為三階行列式三三元元線線性性方方程程組組引引例例當當333231232221131211aaaaaaaaaD 0 時，方程組時，方程組(1)(1)有唯一解：有唯一解： 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232

5、221131211aaaaaaaaa332211aaa DDx22 DDx33 DDx11 312312aaa322113aaa 322311aaa 312213aaa332112aaa例例4 4601504321 301120101 26 主對角線及其主對角線方向上的三個元素的乘主對角線及其主對角線方向上的三個元素的乘積積副對角線及其副對角線方向上的三個元副對角線及其副對角線方向上的三個元帶正號，帶正號，帶負號，帶負號， 所得六項的代數(shù)和就是所得六項的代數(shù)和就是三階行列三階行列式的展開式式的展開式素的乘積素的乘積 321 )1(10 601 )1(52 043 051 642 )1(03 4

6、810 58 101 001 )1(21 300 8 例例5 5,Rba 滿足什么條件時有滿足什么條件時有10100abba 10100abba 解解由題可得，即使由題可得，即使, 022 baba,Rba . 0 ba0 ba即即時，時， 給定的行列式為零給定的行列式為零0 2a2b例例6 61140101aa的充分必要條件是什么？的充分必要條件是什么？解解1140101aa012 a1 a1 a或或01140101 aa1 a或或1 a0 2a1練習：練習：計算下列行列式計算下列行列式14005310111122xxxx11122xxxx解解)1(2 xx)1(x12x13x2x14005

7、310115174311.2 n1.2 n階行列式階行列式引例引例 n n元線性方程組元線性方程組 naaa11211 （方程個數(shù)未知量個數(shù)）（方程個數(shù)未知量個數(shù)） D列列第第j jD22222121bxaxaxann 11212111bxaxaxann .nnnnnnbxaxaxa 2211 naaa22221 nnnnaaa 21nj ,21nnnnaaaaaan 12211111b2bnb (1)(1)? D(2)(2)0 D當當時，時， 方程組是否有唯方程組是否有唯 一解？一解？(3)(3)解是否解是否,DDxii 0 D當當時，時，若方程組有唯一若方程組有唯一 解，解，可以表示成可以

8、表示成ni, 21怎樣算？怎樣算？可以排成多少個可以排成多少個( (一一) )排列與逆序排列與逆序排列排列321 ,三個數(shù)三個數(shù)321312231213132123,6每一個三位數(shù)每一個三位數(shù)三級排列。三級排列。一般地，一般地，n, 321個元素個元素有序數(shù)組有序數(shù)組,niii 21稱為一個稱為一個43521如如是是645321是是級排列，級排列，是是44352級排列級排列是是514132一般地，一般地，n n級排列級排列!n不重復的三位數(shù)不重復的三位數(shù)? ?都稱為一都稱為一 個個將將（數(shù)碼）（數(shù)碼） 排成一個排成一個n n級排列級排列級排列，級排列，級排列，級排列，共有共有個個,構成逆序構成

9、逆序53和和, 46和和逆序及其逆序及其對于對于n n個不同的元素，個不同的元素，逆序數(shù)逆序數(shù)可規(guī)定各元素之間有一可規(guī)定各元素之間有一個標準次序個標準次序 （例如，（例如，n n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序）小到大為標準次序） 于是，在這于是，在這n n個元素的任意個元素的任意排列中排列中當某兩個元素的前后次序與標準次序當某兩個元素的前后次序與標準次序不同不同時時,逆序逆序，一個排列中所有逆序一個排列中所有逆序的和的和 叫做這個排列的叫做這個排列的逆序數(shù)是奇數(shù)的叫逆序數(shù)是奇數(shù)的叫奇排列奇排列，是偶數(shù)的叫是偶數(shù)的叫就說產(chǎn)生了一個就說產(chǎn)生了一個逆序數(shù)逆序數(shù)，偶排列偶

10、排列如如643521, 56和和, 26和和, 36和和16和和.不構成逆序不構成逆序逆序數(shù)的計算方法逆序數(shù)的計算方法)(njjjN 21)(njjjN 21 1 nt 1t 即即nt niit1的的自自然然數(shù)數(shù)，至至不不妨妨設設元元素素為為n1并并規(guī)規(guī)定定從從小小到到大大的的逆逆序序數(shù)數(shù)，逆逆序序之之和和就就是是njjj 21為為標標準準次次序序。級級為為這這個個自自然然數(shù)數(shù)的的一一個個設設njjjn 21),(niji 21考考慮慮元元素素,排排列列個個，的的逆逆序序是是那那么么iitj個個，前前面面的的元元素素有有iitj大大，且且排排在在如如果果比比ij全全體體元元素素記記為為5214

11、3632415).,( 13如如的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是4+1+0+1+0=6，是偶排列是偶排列的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是5+2+1+1+0+0=9將將632415中的和中的和其余不動，其余不動，612435稱為稱為一個對換一個對換，此時此時612435的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是1排列排列 說明了一個排列經(jīng)過一個對換，說明了一個排列經(jīng)過一個對換，的奇偶性的奇偶性5214353142),( 32)52143(N)53142(N偶偶奇奇4312),( 134132)4312(N)4132(N奇奇偶偶是奇排列是奇排列兩個數(shù)碼對調(diào)，兩個數(shù)碼對調(diào)，得到得到1 2 6 1 1 0 是偶是偶記為記為改變排列改變排列( (定

12、理定理. .，P5) )6 7 5 4 稱為相鄰對換稱為相鄰對換)(123456N)(45321N)(564123N2)1( nn(13(21)24(2 )NnnLL練習：練習：9 11 ( (1)21)N n nL2)1( nn0 00234 002333 121 n121 )()(nn即即元元),(ji定理定理1.21.2( (二二) )nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211定義定義1.21.2個個排排列列，個個數(shù)數(shù)碼碼共共有有 !nn,一一半半其其中中奇奇偶偶排排列列各各占占.2!n各各為為階階行行列列式式的的定定義義n排排成成的的數(shù)數(shù)表表個個元元素素用用),2, 1,

13、(2njianij ,豎豎排排稱稱為為列列, 稱稱為為列列標標稱稱為為行行標標中中jiaij其其中中橫橫排排稱稱為為行行，,列列行行第第表表示示該該元元素素處處在在第第jiija,處處在在行行列列的的交交叉叉處處有時也記為有時也記為333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 322311332112312213aaaaaaaaa 231123213312013232123121321321jjjaaa )()(3211jjjN 321jjj取遍所有的取遍所有的三級排列三級排列22211211aaaa21122211aaaa 12

14、21012121jjaa )()(211jjN 21jj12取取21和和a)1( 個元素乘積個元素乘積n就是就是一階行列式一階行列式annnnnnaaaaaaaaa 212222111211 njjj 21取取遍遍級級排排列列所所有有的的 n個個級級排排列列共共有有!nnija )det(ija D nnjjjaaa 2121)(21njjjN 、的的一一般般項項稱稱為為D行行不不同同列列的的表表示示所所有有可可能能取取自自不不同同的的代代數(shù)數(shù)和和，各各項項的的符符號號是是：按按當這一項的元素中行標當這一項的元素中行標自自然然數(shù)數(shù)順順序序排排列列后后，取取負負號號，列列標標的的排排列列是是奇奇

15、排排列列則則.取取正正號號列列標標的的排排列列是是偶偶排排列列則則:注注,!項項階階行行列列式式共共有有 nn且且冠冠以以正正號號和和冠冠以以.以以負負號號的的項項各各為為一一半半、 nnqpqpqpaaa 2211)()(2121nnqqqNpppN nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211npppnaaa 2121取取遍遍級級排排列列所所有有的的 nnppp 21定義定義1.21.2nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nppp 21nqqq 21取取遍遍級級排排列列所所有有的的n與與定義定義1.21.2)(21npppN )1( ) 1( （定理（定

16、理1.3.P91.3.P9）的的一一般般項項稱稱為為D的的一一般般項項稱稱為為D個個級級排排列列共共有有!nn44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa,ija42 , 1, ji例例14322341aaaa,41342312aaaa41322314aaaa)1324()4231()1(NN)2341()1(N! 42411322314aaaa)4321()1(N 101231 )(16)1( 解解1 ?) 1 ( 展展開開式式有有多多少少項項)2(00031 )( ?中的一般項中的一般項是否是是否是ija四階行列式四階行列式kji,例例

17、若是五階若是五階行行列式的一項，列式的一項，ija4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa則為何值，則為何值，項符號是什么？項符號是什么？此時該此時該,3j解解此時此時5,1ki1,5ki或或(1)(1), 5, 1, 3kij)52314()14325(NN若若則則9取負號取負號(2)(2)若若, 1, 5, 3kij則則)52314()54321(NN16取正號取正號01111aajnnnjjjjjjNaaa 212121)()1(nnnnnaaaaaaaaaa 321333231222111000000例例計算計算n n階行列式階行列式其中其中0iia), 2

18、 , 1(ni 解解記行列式的一般項為記行列式的一般項為011312 naaa022423 naaa且且11 j02222aajnnnjjNaaa 2211)12()1(依次下去，可得依次下去，可得,iiijaaini , 4 , 3nnnNaaa 2211)12()1(nnaaa 2211nnnjjjjNaaa 22211)1()1(nnaaa 2211稱上面形式的行列式為稱上面形式的行列式為 下三角形行列式下三角形行列式Dnnnnnaaaaaaaaaa 000000333223221131211nnaaaa 000000000000332211nnaaa 22110iia), 2 , 1(

19、ni nnaaa 2211其中其中:特殊情況特殊情況對角形行列式對角形行列式同理可得同理可得上三角形行列式上三角形行列式取遍取遍njjj 212)1()1(nn,形行列式的值形行列式的值三角形行列式及其對角三角形行列式及其對角注：注：nnnnnjjnjjjjjjNaaaa121121121)()1( 000000112111222211111211 nnnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111122121000000 12na1na級排列級排列所有的所有的n12 nana1)211()1( nnN1121nnnaaa 都等于主都等于主.對角線上元

20、素的乘積對角線上元素的乘積類似可得類似可得000000000000112121 nnnnaaaa2)1()1(nn1121nnnaaa 同理有同理有:出出由由行行列列式式的的定定義義不不難難得得:注注一一個個行行列列式式如如果果有有一一,零零行行或或一一列列中中的的元元素素全全為為.則則此此行行列列式式必必為為零零ija)4 , 3 , 2 , 1,(ji例例用行列式的定義來計算行列式用行列式的定義來計算行列式解解1100001001011010設設1100001001011010 級級排排列列所所有有的的取取遍遍44321)(432143214321)1(jjjjjjjjjjjjNaaaa4

21、3a14a32a21a)4123()1(N)1(3110100111010100111練習：練習： 級級排排列列所所有有取取遍遍443214321432143211jjjjjjjjjjjjNaaaa)()(34a1 11aija43a)1243()1(N 22a4311aa32a24a)1423()1(N 1 0 階行列式的定義：階行列式的定義：n111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL:3等等價價定定義義:的的一一般般項項可可以以記記為為階階行行列列式式ijaDn 1 21 2()()( 1)nnN i iiNj jjLL:1等等價價定定義義:2等等價價定定義義n

22、nnjjjjjjNaaa 2121211)()( 的級排列的級排列所有所有n 取遍取遍njjj 21niiiiiiNnnaaa 21)(2121)1( 的級排列的級排列所有所有n取遍取遍niii 211 212.nniiij jjnLL其中與均為 級排列1 12 2n ni ji ji jaaaL 例例用行列式定義計算用行列式定義計算xxxxx111123111212 中中的的系系數(shù)數(shù)，并并說說明明理理由由與與中中34xx解：解：)()(12341N xxx 1xxxx )(242x )()(21341N 3x nx xyyxyxyxyxD000000 練習練習：解：解：計算計算n n階行列式

23、階行列式xx x )123()1(nN yy y x x y y nny1)1( 的性質(zhì)來解題。的性質(zhì)來解題。較少時一般用行列式較少時一般用行列式定義來解題，而零元素定義來解題，而零元素中零元素較多一般用中零元素較多一般用計算行列式時候，若其計算行列式時候，若其注：注：1.3 1.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì):1性性質(zhì)質(zhì),行行列列式式的的值值不不變變將將行行列列式式轉轉置置,行列式行列式的行和列互換后得到的的行和列互換后得到的將行列式將行列式D111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMMML用定義證明！用定義證明！.DDT 即即.DDDT 或或記記為為的的轉轉置置行行列列

24、式式稱稱為為11121naaaM21222naaaM12nnnnaaaMMMMM TD:證明證明 )1(的的等等價價定定義義行行列列式式D112111222212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLLijTbD ijb111212122212nnijnnnnaaaaaaDaaaaLLLLLLL級級排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21則則111212122212nnnnnnbbbbbbbbbLLLLLLL1 212()12( 1)nnN j jjjjnjb bbLL級級排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21jia 1 212()12( 1)nnN j jjjjnja aaLL

25、1 212()12( 1)nnN j jjjjj na aaLL )2(的的等等價價定定義義行行列列式式D級級排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21TDD 3421 如如3241 ,同同的的地地位位行行列列式式中中的的行行列列具具有有相相11 11 注：注：從從而而對對行行成成立立的的性性質(zhì)質(zhì)，:2性性質(zhì)質(zhì).),(行行列列式式的的值值變變號號列列交交換換行行列列式式的的兩兩行行對對列列也也成成立立。11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLL11121112nnnnnaaaDaaaLLLLLLLLLLLLLLL)( 行行i)(

26、 行行s)( 行行i)( 行行s snssaaa21iniiaaa21 2345452322 :推論推論,)(對對應應元元素素相相同同列列如如果果行行列列式式中中有有兩兩行行1D11121121212nnnnnnnaaabbbDbbbaaaLLLLLLLLLLLLLLLL:3性質(zhì)性質(zhì)),(列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用數(shù)數(shù)k, 2由由性性質(zhì)質(zhì).則則此此行行列列式式的的值值為為零零:證明證明D D D 0 D,DD 1則則即即若若,ijaD 乘乘以以行行列列式式。k等等于于數(shù)數(shù)2021-12-231112111212niiinnnnnaaaDkakakaaaaLLLLLLLLLLL

27、111211212niiinnnnnaaak aaaaaaLLLLLLLLLLLkD 用用定定義義證證明明！1112111212niiinnnnnaaaDkakakaaaaLLLLLLLLLLL:證證明明1 21()1( 1)()ninN j jjjijnjakaaLLL取取遍遍njjj21級級排排列列所所有有的的 n111211212niiinnnnnaaak aaaaaaLLLLLLLLLLLkD :1推論推論:2推推論論,)(的的對對應應元元素素成成比比例例列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行的的推推論論）以以及及性性質(zhì)質(zhì)（利利用用了了性性質(zhì)質(zhì)231 21()1( 1)()ninN j

28、jjjijnjakaaLLL取取遍遍njjj21級級排排列列所所有有的的 n1 21()1( 1)ninN j jjjijnjkaaaLLL取取遍遍njjj21級級排排列列所所有有的的 n.則則行行列列式式的的值值為為零零,)(的的所所有有元元素素有有公公因因子子列列如如果果行行列列式式某某行行.的的外外面面則則公公因因子子可可提提到到行行列列式式111211212niiinnnnnaaabbbaaaLLLLLLLLLLL111211212niiinnnnnaaacccaaaLLLLLLLLLLL11121112212niiiiininnnnnaaaDbcbcbcaaaLLLLLLLLLLL：

29、性性質(zhì)質(zhì)4用用定定義義證證明明！21DD 對對列列兩兩個個數(shù)數(shù)為為所所在在行行這這兩兩個個行行列列式式分分別別以以這這)(的的每每一一個個元元素素列列行行如如果果將將行行列列式式中中的的某某一一)(,都都寫寫成成兩兩個個數(shù)數(shù)的的和和個個行行列列式式則則此此行行列列式式可可以以寫寫成成兩兩即即對對應應位位置置的的元元素素，,的的和和列列式式相相同同。其其它它位位置置的的元元素素與與原原行行:證證明明1 21()1( 1)ninN j jjjijnjaba LLL的的一一般般項項可可表表示示為為D1 21()1( 1)()niinNj jjjijijnjabcaLLL1 21()1( 1)ninN

30、 j jjjijnjaca LLL111211212niiinnnnnaaabbbaaaLLLLLLLLLLL111211212niiinnnnnaaacccaaaLLLLLLLLLLL21DD :推推論論個個的的每每個個元元素素都都寫寫成成列列行行列列式式某某一一行行m)(.個個行行列列式式的的和和則則此此行行列列式式可可寫寫成成 m),(2 m數(shù)數(shù)之之和和如如510312 510312 512031333222111 cbacbacba321aaa510312332211 bababa321aaa321bbb512031 512031 512031 321bbb321ccc:5性質(zhì)性質(zhì)后后

31、的的所所有有元元素素同同乘乘以以數(shù)數(shù)列列將將行行列列式式某某一一行行k)(11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLL)( 行行i)( 行行s1112111221212nisisinsnsssnnnnnaaaakaakaakaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLL .,)(行行列列式式的的值值不不變變對對應應元元素素上上列列加加于于另另一一行行1112111221212nisisinsnsssnnnnnaaaakaakaakaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLLiniiaaa.21snsskakaka.21D 4性性質(zhì)

32、質(zhì)23推推論論性性質(zhì)質(zhì)0證明：證明：111211212nsssnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLL111211212nsssnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLL:1性質(zhì)性質(zhì).,DDT 即即行列式的值不變行列式的值不變將行列式轉置將行列式轉置:推論推論2021-12-23:2性質(zhì)性質(zhì).),(行行列列式式的的值值變變號號列列交交換換行行列列式式的的兩兩行行,)(對對應應元元素素相相同同列列如如果果行行列列式式中中有有兩兩行行.則則此此行行列列式式的的值值為為零零:3性質(zhì)性質(zhì)kk等等于于數(shù)數(shù)列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用數(shù)數(shù)),(.乘乘以以行

33、行列列式式:1推論推論,)(所所有有元元素素有有公公因因子子列列如如果果行行列列式式某某行行.式式的的外外面面則則公公因因子子可可以以提提到到行行列列:2推論推論,)(的的對對應應元元素素成成比比例例列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行.則則行行列列式式的的值值為為零零:4性性質(zhì)質(zhì)的的每每一一個個元元素素列列行行如如果果將將行行列列式式中中的的某某一一)(個行列式個行列式則此行列式可以寫成兩則此行列式可以寫成兩都寫成兩個數(shù)的和都寫成兩個數(shù)的和,)(列列別別以以這這兩兩個個數(shù)數(shù)為為所所在在行行的的和和，這這兩兩個個行行列列式式分分.相相同同位位置置的的元元素素與與原原行行列列式式對對應應位位置置

34、的的元元素素，其其它它:1例例:解解.0112012121102011的值的值計算計算 D0112012121102011 D4130 011221102011 2110 211021102011 3 4200 2200 21102011 )1( )( 2 44434234333224232214131211000bbbbbbbbbaaaa )()()(2211 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa2200420021102011 )1( 420021102011 2000 4 .化化為為三三角角形形行行列列式式算算往往往往某某些些字

35、字母母型型行行列列式式的的計計解解題題方方法法：數(shù)數(shù)字字型型以以及及)(1121aa )(1131aa )(1141aa 011 a.0112012121102011的值的值計算計算 D44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa.化化為為三三角角形形行行列列式式算算往往往往某某些些字字母母型型行行列列式式的的計計解解題題方方法法：數(shù)數(shù)字字型型以以及及)(1121aa )(1131aa )(1141aa 011 a44434234333224232214131211000bbbbbbbbbaaaa 022 b)(2232bb )(2242bb

36、 444334332423221413121100000ccccbbbaaaa )(3343cc 44343324232214131211000000dccbbbaaaa 44332211dcba 033 c：例例2dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba 3610363234232計計算算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba 3610363234232解解：)( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )( 3 cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 cbabaacbabaacbabaadcba361

37、0363023423200 )( 2 )( 3 baabaacbabaadcba373002000 abaacbabaadcba0002000 4a )( 3 .的值的值計算計算2164729541732152 D:3例例:解解2164729541732152 D2461759243712251 )( 2 )( 1 2251 6120 31100210 0210612031102251 )( 2 0210612031102251 )( 2 0300 31102251 3300030031102251 30003311 )(9 4例例333231232221131211aaaaaaaaa設設解：

38、解：33323123222113121153531026aaaaaaaaa 求求, 1 33323123222113121153531026aaaaaaaaa 3332312322211312115353532aaaaaaaaa 5)3()2( 30 :5例例.:值值為為零零奇奇數(shù)數(shù)階階反反對對稱稱行行列列式式的的證證明明:注注,時時當當ji :反反對對稱稱行行列列式式為為( ,1,2, ),ijjiaai jn L:,如如果果它它的的元元素素滿滿足足階階行行列列式式一一個個n則則稱稱其其為為反反.對對稱稱行行列列式式1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaa

39、aaLLLLLLLLL0(1,2, )iiainL證明：證明：1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLL:3由性質(zhì)由性質(zhì)1由由性性質(zhì)質(zhì)1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa LLLLLLLLL1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLn)( 1 ,為奇數(shù)為奇數(shù)當當n1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLDn)( 1 DD 0 DDn)1( D即即：例例6階階行行列列式式計計算算nx

40、aaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxMMMMM解解：xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxMMMMM(1)(1)(1)(1)(1)xnaaaaaxnaxaaaxnaaxaaxnaaaxaxnaaaaxMMMMM(1)(1)(1)(1)(1)xnaaaaaxnaxaaaxnaaxaaxnaaaxaxnaaaaxMMMMM)1(anx )1( )1( 11111aaaaxaaaaxaaaaxaaaaxMMMMM)1( )1( 3)23)(233( 3222232222322223例如例如100000000(1) 00000000aaaaxaxaxnaxaxaMMMMM1)(

41、)1( naxanx9 1122110001 10001100000100011nnnaaaaaaaMMMMM7例例計計算算行行列列式式:解解1122110001 10001100000100011nnnaaaaaaaMMMMM1211000010000100000100011nnnaaaaaMMMMM12211000010001 100000100011nnnaaaaaaMMMMM再再將將第第三三行行加加到到, 第第四四行行，行行加加到到直直到到第第 n,行行上上第第1 n得得 121000010000100000100001naaaMMMMM1 解方程解方程8例例0,1121 aaaan且

42、且為為互互不不相相同同的的常常數(shù)數(shù)其其中中123111231122311232112310nnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax aaaaaaMMMMM0 2021-12-23123111231122311232112311nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxMMMMM)( 1 )( 1 )( 1 )( 1 123112210000000000000000nnnnaaaaaaxaxaxaxMMMMM 111niixaa)(iax 1, 2 , 1 ni1.4 行列式按行行列式按行( (列列) )展開展開.降

43、降階階法法行行列列式式計計算算將將高高階階行行列列式式降降為為低低階階 333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa 131312121111MaMaMa 322113312312332211aaaaaaaaa 322311332112312213aaaaaaaaa )(3123332112aaaaa )(3122322113aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 11M12M13M)(3223332211aaaaa 引例：引例：的余子式的余子式ijijaM 133113122112111111)1()1()1(MaM

44、aMa 333231232221131211aaaaaaaaa133113122112111111)1()1()1(MaMaMa ijjiM )1( ijA的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija 1212Aa1111Aa1313Aa11111111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaMaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL,)1(ijjiM 余余子子式式和和代代數(shù)數(shù)余余子子式式定定義義:3 . 1. 1行行i列列j行行所所在在的的第第去去掉掉元元素素中中階階行行列列式式在在iaaDnijij, ,

45、1,階階行行列列式式余余下下的的列列和和第第 nj的的中元素中元素稱為稱為ijaD即即記為記為余子式余子式.,ijM ijA.的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式稱稱為為ijaA22M 22A32M 32aa1113aa1113aa3133 M32() 3 21aa2123M22() 2 21例如例如 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD :4 . 12、定定理理1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa AinLL或或按行展開按行展開 按列展開按列展開 12.()iiinDaaaiMMMMMM行的的各各列列等等于于

46、它它的的任任意意一一行行階階行行列列式式)(ijaDn 即即子子式式乘乘積積的的和和元元素素與與其其對對應應的的代代數(shù)數(shù)余余.12.jjnjaaDaM)( 列列j1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa AjnLL證證明明：11122221200(1)nnnnnaaaaDaaaLLLLLLL若)0(11 a其中其中22232132323111213nnnnnnaaaaaaMaaaLLLLLLL1111Aa 1111Ma )(從從特特殊殊到到一一般般11121121222111111211nnnnnnbbbbbbMbbbLLLLLLL222323233323nnnnnnaaaaaa

47、aaaLLLLLLL11 jiijab1 211211 21()1211( 1)nnnN j jjjjnjj jjnb bbLLL取遍所有級排列1211211211(1)(1) (1)21 311(1,1, ,1)(2,3,)( 1)nnnNjjjjjnjjjjnaaaLLLL取遍所有 11122221200nnnnnaaaaDaaaLLLLLLL222(1)112(,)(2, )( 1)nnnNjjjnjjj,na aaLLLL取遍所有222(1)112(,)(2, )( 1)nnnNjjjnjjjnaaaLLLL取遍所有)1(1111111111MaMa 1111Aa nAA1120.0

48、價價等等1 2121 2()12()( 1)nnnN j jjjjnjj jjna aaLLL取遍所有 級排列 1211211211(1)(1)(1)21 311(1,1,1)(2,3,)( 1)nnnNjjjjjnjjjjnaaaLLLL取遍所有11M .)2(情情形形不不為為零零，其其余余全全為為零零的的行行中中除除第第討討論論ijaiD111121211,11,1000( 1)ijjnijnjnnnnjnnnaaaaaaaaaaa LLLLLLLLLLLijijjiMa )1(2性質(zhì)性質(zhì)次次行行交交換換，做做1 i次次列列交交換換。再再做做1 j11122221200nnnnnaaaaa

49、aaLLLLLLL1111Ma 1111111111111(0)00jnijiinijijiijinnnjnnaaaaaaDaaaaaaaaLLMMMLLLLLLLLijijAa 是一般行列式是一般行列式若若D)3(1112111200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML1112121200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML111211200ninnnnnaaaaaaaLMMMLLMMML1122iiiiinina Aa Aa AL:4由性質(zhì)由性質(zhì)1112112nnnnnaaaDaaaLLLLLLLLLLL1ia2iaina100ia L200iaL0 0ina L項項構造構

50、造0 :5 . 1. 3 定定理理)()(列列的的元元素素與與另另一一行行列列某某一一行行階階行行列列式式ijaDn 11220()isisinsna Aa Aa AisL11220()jtjtnjnta Aa Aa AjtL或行行第第行行第第siaaaaaaaaaDnnnniniin.212111211 01122isisinsna Aa Aa AL12sssnaaaL.乘乘積積的的和和等等于于零零對對應應元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式即即:由由以以上上兩兩個個定定理理可可得得 njsjijAa1)(按按行行展展開開)(按按列列展展開開注：注：si si njiaDij, 2 , 1, 若

51、若D0 niisijAa1sj sj D0,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 131331131MMA）（444241343231242221aaaaaaaaa 323223321MMA）（ 例例3213, AA求求444341242321141311aaaaaaaaa:2例例554535251500020AAAAA 252A 252M 53204140132021352 0005)2(41312111AAAA 1110A 53241413210 13210 270 660002)10(312111AAA 662720 0532

52、004140013202527102135 1110M )2( 1120M 1080 :3例例5021011321014321 D求求:1解解242322212101AAAAD 2423212AAA 化化為為僅僅有有一一個個非非零零元元列列先先將將行行列列式式中中某某一一行行解解)(:22423212MMM 5021011321014321 D)1( 9300502101132101 021113101300 )3( 按按第第二二行行展展開開將將D5310 133A 5213131013 5021311311010300 133M )8(3 24 僅僅有有一一個個非非零零元元；列列用用性性質(zhì)質(zhì)

53、化化此此行行列列選選擇擇某某行行)()(2,)(. 1依依此此類類推推化化成成低低一一階階行行列列式式展展開開列列按按一一行行的方法：的方法：利用展開式計算行列式利用展開式計算行列式注：注：.,二二階階直直至至三三階階.)(，依依此此類類推推展展開開化化為為低低一一階階行行列列式式列列而而后后按按此此行行:4例例階階行行列列式式計計算算n直直接接展展開開降降階階方方法法 :na nD0000000000nababDabbaLLMMMMMMLLLL解：解：按按第第一一列列展展開開 b a(1)00000nbabbLLLLLLL11) 1( (1)00000nabaaLLLLLLL1) 1( nn

54、nb 1)1(兩兩線線形形行行列列式式兩兩線線形形行行列列式式:5例例階階行行列列式式計計算算n nD(1)1000100010001nxxxLLLLLLLLL1 nDx:則則可可得得遞遞推推公公式式)(三三線線形形行行列列式式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaaxLLLLLLLLLLL:解解xna nnnaDxD 11) 1( nna按按第第一一列列展展開開1221(1)100010001nnnxxxaaaaxLLLLLLLLLnnnnnnaaxDxaDxD )(121nnnaxaDx 1221221221nnnnnxDa xaxaxaLL)(11xaD 12

55、121nnnnnxa xaxaxaL,1nnnaDxD ,121 nnnaDxD稱為稱為n n階的范德蒙階的范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式。行列式。行列式行列式.1111.naaaa123.naaaa2222123.nnnnnaaaa1111123MMMM用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：123222212311111231111LLLMMMMLnnnnnnnaaaaaaaaaaaa()()()()()111112341Lnnaaaaaaaaaa ()()()()2222341Lnnaaaaaaaa ()()()41333Lnnaaaaaa L L L L(

56、)nnaa 1ijaa()nij1 結論成立結論成立. .設對設對n-1n-1階的范德蒙行列式結論成立階的范德蒙行列式結論成立. .aa 21時時，當當3 naaaaaa123222123111()()aa aa aa 2231131110)(1a 0()aa a 221()aa a 331)(1a aaa 1231110()aa 21()aa 31A 11()()aaa aaaaaaa 1113223312()aa21a21a31()()2113aaaa結論成立結論成立. .()aa 311211aa證證2n 當當 時時,()32aa 1111L MMMM.12322221233333123

57、222212311111231111MMMMnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 0)(1a 0()naaa 2212()naaa 2313()nnnaaa 21)(1a ()naaa 3212()naaa 3313()nnnaaa 31)(1a )(1a 0()aa a 221()aa a 331()nna aa 1.0()aa 21()aa 31()naa 1.()()()()()()()()()2322333332233221111111111122213311110000LLLMMMMLLnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa aa aa

58、 aaaaaaaaaaaaaaaaaa A 111()()()()()()()()()23223333322332222231111111111311LLMMMLLnnnnnnnnnnnnnaaaa aa aa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa12()( (根據(jù)歸納假設根據(jù)歸納假設) )2224123()()()()Lnnaaaaaaaa41333()()()LnnaaaaaaL L L L()nnaa 1aa31()naa11.()naa1()232221Mnnaaa333231Mnnaaa.321Mnnnnnaaa()()()()()()()()()23223333

59、322332222211111111133111LLMMMLLnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa aa aa aaaaaaaaaaaaa()()()()()234111111Lnnaaaaaaaaaa =12=12333(0)( 2)( 1) ( 2)(01)0 (21) ()()()131412()()2342 () 43=120=1206427811694143211111練習練習18027140912031111 方方法法計計算算行行列列式式的的三三種種常常用用總總結結:;. 1 利利用用定定義義公公式式計計算算;. 2列列式式利利用用性性質(zhì)質(zhì)化化為為三三角角形形

60、行行. 3 利利用用展展開開式式定定理理降降階階1.5 1.5 克萊姆法則克萊姆法則 22221211212111bxaxabxaxaD 1211222bbaDa1221121baDab當系數(shù)行列式當系數(shù)行列式D0D0時，時，線性方程組線性方程組11DxD稱為方程組的稱為方程組的系數(shù)行列式系數(shù)行列式。1112aa2122aa方程組有唯一解：方程組有唯一解：22DxD當系數(shù)行列式當系數(shù)行列式D0D0時，時，線性方程組線性方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa212223aaa1213122233231233aaDabaaba