常見的勾股數(shù)及公式

1、常見的勾股數(shù)及公式武安市黃岡實(shí)驗學(xué)校翟升華搜集整理我們知道，如果/ C=90°, a、b、c是直角三角形的三邊，則由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2,則該三角形是直角三角形，c為斜邊與此相類似，如果三個正整數(shù)2 2 2a、b、c滿足a +b =c，則稱a、b、c為勾股數(shù)，記為(a， b，c).勾股數(shù)有無數(shù)多組，下面向同學(xué)們 介紹幾種：一、三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)(3, 4, 5)是我們所熟悉的一組三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，除此之外是否還有第二組或更多組呢？設(shè)三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組為(x-1， X，x +1)，則由勾股數(shù)的定義，得(x+1

2、) 2+X= (x+1)，解得x =4或x =0 (舍去)，故三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)只有一組(3，4， 5);類似有3n,4n,5n(n是正整數(shù))都是勾股數(shù)。二、后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)易知：(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),，都是 勾股數(shù)，如此許許多多的后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，它的一般形式究竟是什么呢？2oa=2n+1,b=2n +2n,c=2n +2n+1 (其特點(diǎn)是斜邊與其中一股的差為1).分別取 n =1,2,3,就得勾股數(shù)組(3,4,5 ),( 5,1 2,1 3 ),( 7,2 4,2 5 ),三、前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)你知道(20, 21

3、, 29) , (119, 1 2 0, 1 6 9 ) , ( 4 0 5 9, 4 0 6 0, 5 7 4 1 )，這些都是前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組。其公式為：(x, x +1,2x2 2x 1 )( x為正整數(shù))。設(shè)前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組為(x, x+1, y), y=j2x2+2x+1則x2+(x + lf = y2(*)整理，得 2x2 2x 1 = y2，化為 2x 1 2 - 2y2 ，即 2x 1 、一 2y 2x 1 -2y =-1,又 1 2 1 - 、2 =-1,.1、一 2 "J 1 一 2 " 1 =-1(n N),故取 2x 1 亠-2y

4、 = 1'2, 2x 1 -、2y = 1 -2,1 j* gn 十 / gnHyf 2 i gn 出 (* 2nH解之，得 x= _ 12+ 1-22，y= 12- 1 - 、2 丨，44故前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組是(1 14411 一血廿-2+1,叵(1+圧嚴(yán)-(1 一血嚴(yán)).4四、后兩數(shù)為連續(xù)奇數(shù)的勾股數(shù)如(8 , 15, 17),(12 , 35, 37)其公式為：4(n+1),4(n+1) 2-1,4(n+1) 2+1(n 是正整數(shù)).五、其它的勾股數(shù)組公式：（其中m>n且是1 11.a=2m,b=m2 1,c=m2+1 (m大于 1 的整數(shù)).2.a= (m n2)

5、 ,b=mn,c= (m+n2)2互質(zhì)的奇數(shù)）.3.a=2m,b=m2 n2,c=m2+n2 （m>n,互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)） 下面我們把100以內(nèi)的勾股數(shù)組列岀來，供同學(xué)們參考：345; 51213;6810; 72-425 ;81517;91215; 94041;102426 ; 116061;12 1620 ;123537; 138485 ;144850 ;152025 ;153639; 15112113; 163034 ;166365171,44145 ; 182430 ;188082 ;19180181 ;202129 ; 204852 ; 209910121283521

6、7275; 21220221 ;22120122;23264265 ;243240 ; 244551 ; 247074 ;24143145256065; 25312313 ;26168170;273645 ;2712!0123; 27364365 ; 284553 ;289610028195197 ; 29420421 ;304050 ;307278 ;30224226 ; 31480481 ; 326068 ;3212613032255257 ; 334455 ;335665 ;33180183 ;33544545 ; 34288290 ; 358491;3512012535612613 ;

7、 364860 ;367785 ;36105111 ;36160164 ; 36323325 ; 3768468538360362395265; 398089 ;39252255;39760761 ;404258 ; 407585 ; 4096104?4019820240399401 ; 41840841 ;425670 ;42144150 ;42440442 ; 43924925 ; 441171254424024444483485 ; 456075 ;45108117;45200205 ;45336339 ; 46528530 ; 485573 ;4864804890102; 481401

8、48 ;48189195;48286290 ;48575577 ; 49168175 ; 5012013050624626516885 ; 51140149 ;51432435;52165173 ;52336340 ; 52675677 ; 547290 ;5424024654728730 ; 55132143 ;55300305;5690106 ;56105119 ; 56192200 ; 5639039456783785577695; 57176185 ;57540543;58840842 ;606387 ; 6080100; 6091109?6014415660175185 ; 6022

9、1229 ;60297303;60448452 ;60899901 ; 62960962 ; 6384105?6321622563280287 ; 63660663 ;64120136;64252260 ;64510514 ; 657297 ; 65156169?654204256688110; 66112130 ;66360366;68285293 ;68576580 ; 6992115; 69260269?6979279570168182 ; 70240250 ;7296120;72135153 ;72154170 ; 72210222 ; 72320328?724294357264665

10、0 ; 75100125 ;75180195;75308317 ;75560565 ; 75936939 ; 7635736576720 72477264 275 ； 77420427；78104130 ； 78160178 ； 78504510 ； 8084116；8080192 20880315 325 ； 80396404；80798802 ； 81108135 ； 81360369 ； 84112140 ；8484187 20584245 259 ； 84288300；84437445 ； 84585591 ； 84880884 ； 85132157 ；8585720 72587116

11、 145 ； 87416425；88105137 ； 88165187 ； 88234250 ； 88480488 ；8890120 15090216 234 ； 90400410；90672678 ； 91312325 ； 91588595 ； 92525533 ；9393476 48595168 193 ； 95228247；95900905 ； 96110146 ； 96128160 ； 96180204 ；9696280 29696378 390 ； 96572580；96765771 ； 98336350 ； 99132165 ； 99168195 ；9999540 54910010

12、5 145 ； 100240260；100495505 ； 100621629.以下是大于 100 的勾股數(shù)：150 170 ；135 159 ；204 221 ；966 970 ；124 155 ；247 265 ；440 451 ；第 223 組 第 224 組 第 225 組 第 226 組 第 227 組 第 228 組 第 229 組 第 230 組 第 231 組 第 232 組 第 233 組 第 234 組 第 235 組 第 236 組 第 237 組 第 238 組 第 239 組 第 240 組 第 241 組 第 242 組 第 243 組 第 244 組 第 245

13、組 第 246 組 第 247 組 第 248 組 第 249 組 第 250 組102 136 170102 280 298102 864 870104 153 185104 195 221104 330 346104 672 680105 140 175105 208 233105 252 273105 360 375105 608 617105 784 791108 144 180108 231 255108 315 333108 480 492108 725 733108 969 975110 264 286110 600 610111 148 185111 680 689112 18

14、0 212112 210 238112 384 400112 441 455112 780 788第 251 組 第 252 組 第 253 組 第 254 組 第 255 組 第 256 組 第 257 組 第 258 組 第 259 組 第 260 組 第 261 組 第 262 組 第 263 組 第 264 組 第 265 組 第 266 組 第 267 組 第 268 組 第 269 組 第 270 組 第 271 組 第 272 組 第 273 組 第 274 組 第 275 組 第 276 組 第 277 組 第 278 組 第 279 組 第 280 組 第 281 組 第 2

15、82 組 第 283 組 第 284 組 第 285 組 第 286 組 第 287 組 第 288 組 第 289 組 第 290 組 第 291 組 第 292 組 第 293 組 第 294 組114 152 190114 352 370115 252 277115 276 299116 837 845117 156 195117 240 267117 520 533117 756 765119 120 169119 408 425120 126 174120 160 200120 182 218120 209 241120 225 255120 288 312120 350 37012

16、0 391 409120 442 458120 594 606120 715 725120 896 904121 660 671123 164 205123 836 845124 957 965125 300 325126 168 210126 432 450126 560 574128 240 272128 504 520129 172 215129 920 929130 144 194130 312 338130 840 850132 176 220132 224 260132 351 375132 385 407132 475 493132 720 732第 295 組 第 296 組

17、第 297 組 第 298 組 第 299 組 第 300 組 第 301 組 第 302 組 第 303 組 第 304 組 第 305 組 第 306 組 第 307 組 第 308 組 第 309 組 第 310 組 第 311 組 第 312 組 第 313 組 第 314 組 第 315 組 第 316 組 第 317 組 第 318 組 第 319 組 第 320 組 第 321 組 第 322 組 第 323 組 第 324 組 第 325 組 第 326 組 第 327 組 第 328 組 第 329 組 第 330 組 第 331 組 第 332 組 第 333 組 第 33

18、4 組 第 335 組 第 336 組 第 337 組 第 338 組133 156 205133 456 475135 180 225135 324 351135 352 377135 600 615136 255 289136 273 305136 570 586138 184 230138 520 538140 147 203140 171 221140 225 265140 336 364140 480 500140 693 707140 975 985141 188 235143 780 793143 924 935144 165 219144 192 240144 270 3061

19、44 308 340144 420 444144 567 585144 640 656144 858 870145 348 377145 408 433147 196 245147 504 525150 200 250150 360 390150 616 634152 285 323152 345 377152 714 730153 204 255153 420 447153 680 697154 528 550154 840 854第 339 組 第 340 組 第 341 組 第 342 組 第 343 組 第 344 組 第 345 組 第 346 組 第 347 組 第 348 組 第

20、 349 組 第 350 組 第 351 組 第 352 組 第 353 組 第 354 組 第 355 組 第 356 組 第 357 組 第 358 組 第 359 組 第 360 組 第 361 組 第 362 組 第 363 組 第 364 組 第 365 組 第 366 組 第 367 組 第 368 組 第 369 組 第 370 組 第 371 組 第 372 組 第 373 組 第 374 組 第 375 組 第 376 組 第 377 組 第 378 組 第 379 組 第 380 組 第 381 組 第 382 組155 372 403155 468 493156 208

21、260156 320 356156 455 481156 495 519156 667 685159 212 265160 168 232160 231 281160 300 340160 384 416160 630 650160 792 808161 240 289161 552 575162 216 270162 720 738165 220 275165 280 325165 396 429165 532 557165 900 915168 224 280168 270 318168 315 357168 374 410168 425 457168 490 518168 576 600

22、168 775 793168 874 890170 264 314170 408 442171 228 285171 528 555171 760 779174 232 290174 832 850175 288 337175 420 455175 600 625176 210 274176 330 374第 383 組 第 384 組 第 385 組 第 386 組 第 387 組 第 388 組 第 389 組 第 390 組 第 391 組 第 392 組 第 393 組 第 394 組 第 395 組 第 396 組 第 397 組 第 398 組 第 399 組 第 400 組 第

23、401 組 第 402 組 第 403 組 第 404 組 第 405 組 第 406 組 第 407 組 第 408 組 第 409 組 第 410 組 第 411 組 第 412 組 第 413 組 第 414 組 第 415 組 第 416 組 第 417 組 第 418 組 第 419 組 第 420 組 第 421 組 第 422 組 第 423 組 第 424 組 第 425 組 第 426 組176 468 500176 693 715176 960 976177 236 295180 189 261180 240 300180 273 327180 299 349180 385

24、 425180 432 468180 525 555180 663 687180 800 820180 891 909182 624 650183 244 305184 345 391184 513 545185 444 481185 672 697186 248 310186 952 970189 252 315189 340 389189 648 675189 840 861190 336 386190 456 494192 220 292192 256 320192 360 408192 494 530192 560 592192 756 780195 216 291195 260 32

25、5195 400 445195 468 507195 748 773196 315 371196 672 700198 264 330198 336 390198 880 902第 427 組 第 428 組 第 429 組 第 430 組 第 431 組 第 432 組 第 433 組 第 434 組 第 435 組 第 436 組 第 437 組 第 438 組 第 439 組 第 440 組 第 441 組 第 442 組 第 443 組 第 444 組 第 445 組 第 446 組 第 447 組 第 448 組 第 449 組 第 450 組 第 451 組 第 452 組 第 4

26、53 組 第 454 組 第 455 組 第 456 組 第 457 組 第 458 組 第 459 組 第 460 組 第 461 組 第 462 組 第 463 組 第 464 組 第 465 組 第 466 組 第 467 組 第 468 組 第 469 組 第 470 組200 210 290200 375 425200 480 520200 609 641201 268 335203 396 445203 696 725204 253 325204 272 340204 560 596204 595 629204 855 879205 492 533205 828 853207 22

27、4 305207 276 345207 780 807207 920 943208 306 370208 390 442208 660 692208 819 845210 280 350210 416 466210 504 546210 720 750213 284 355215 516 559215 912 937216 288 360216 405 459216 462 510216 630 666216 713 745216 960 984217 456 505217 744 775219 292 365220 231 319220 459 509220 528 572220 585 6

28、25222 296 370224 360 424第 471 組 第 472 組 第 473 組 第 474 組 第 475 組 第 476 組 第 477 組 第 478 組 第 479 組 第 480 組 第 481 組 第 482 組 第 483 組 第 484 組 第 485 組 第 486 組 第 487 組 第 488 組 第 489 組 第 490 組 第 491 組 第 492 組 第 493 組 第 494 組 第 495 組 第 496 組 第 497 組 第 498 組 第 499 組 第 500 組 第 501 組 第 502 組 第 503 組 第 504 組 第 50

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