高考數(shù)學數(shù)列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結(jié)

1、1.均值不等式法例 1設(shè) Sn1 22 3n(n 1) .求證 n( n 1)Sn( n 1) 2 .22例 2已知函數(shù)f ( x)1，若 f (1)4 ，且 f ( x) 在 0 ， 1 上的最小值為 1 ，求證：a2bx152f (1) f (2)11f ( n) n.2n12n1例 3求證 Cn1Cn2Cn3C nnn 2 2 ( n1, n N ) .例 4已知 a 2a2a21 ， x2x2x21 ，求證： a1x1a2 x2an xn 1.12n12n2利用有用結(jié)論例 5求證 (11)(11)(11 )(111)2n1.352n例 6已知函數(shù) f ( x)lg1 2 x3x(n 1

2、) xa n x,0a1, 給定 nN , n2.n求證： f (2x)2 f (x)( x0) 對任意 nN且 n2恒成立。例 7已知 a11,an 1(121)an1n .nn2( I ) 用數(shù)學歸納法證明 an2(n2) ；( II ) 對 ln(1 x)x 對x0 都成立，證明 ane2（無理數(shù) e2.71828）例 8已知不等式 1111log 2 n , nN,n2。 log 2 n 表示不超過 log 2n 的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列23n2 an 滿足： a1 b(b0), annan1, n2.求證 an2b, n3.2blog 2 nn an 1再如： 設(shè)函數(shù) f ( x)ex

3、x 。f (x) 最小值；（）求證：對于任意nNn( k )ne .（）求函數(shù)，有k 1ne1例 9設(shè) an(11) n ，求證：數(shù)列 an 單調(diào)遞增且 an4.n3. 部分放縮例 10設(shè) an1111, a 2, 求證： an2.a3ana2例 11設(shè)數(shù)列an滿足 an 1 an2na n1 nN ，當 a13 時證明對所有 n1, 有：(i )ann2 ；1111(ii )1a21 an.1 a1214 .添減項放縮例 12設(shè) n 1, nN ，求證 ( 2) n(n82).31)(n例 13設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1 2,an 1 an1(n1,2,). 證明 an2n 1 對一切正整數(shù)

4、n 成立；an5利用單調(diào)性放縮:構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù) f ( x) ax3x21，又當 x111例 14的最大值不大于4, 時 f ( x).2628（）求 a 的值；（）設(shè) 0a11f (an ),n N，證明 an1, an 1.2n 1例 15數(shù)列 xn 由下列條件確定：x1a 0 ， xn 11 xna, n N 2xn（I ） 證明：對 n2 總有 xna ；(II)證明：對 n2 總有 xnxn 16 . 換元放縮例 16求證 1n n 12 ( n N , n2).n1例 17設(shè) a1 ， n 2, nN ，求證 a nn 2 (a 1) 2.47 轉(zhuǎn)化為加強命題放縮1例 18設(shè) 0

5、a1，定義 a1 1a, an1a ，求證：對一切正整數(shù)n 有 an 1.an例 19數(shù)列xn滿足 x11 , xn 1xnxn2.證明 x20011001.2n 2例 20已知數(shù)列 an 滿足： a1 3 ，且 an3nan 1 （ n2， nN ）22an1 n1（ 1）求數(shù)列 an的通項公式； （2）證明：對一切正整數(shù)n 有 a1 a2 an 2n！8.分項討論例 21 已知數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 滿足 Sn2an(1)n ,n 1.na ,a ,a；（）求數(shù)列 an的通項公式；（）寫出數(shù)列 a 的前 3 項123（）證明：對任意的整數(shù) m4，有 1117 .a4a5am829

6、. 借助數(shù)學歸納法例 22（）設(shè)函數(shù)f ( x)x log 2 x(1 x) log 2 (1x)(0 x1) ，求 f ( x) 的最小值；（）設(shè)正數(shù)p1 , p2, p3 , pn 滿足 p1p2p3pn1，求證：22p1 log 2p1p2 log 2p2p3 log 2p3p2 n log 2p2nn10. 構(gòu)造輔助函數(shù)法例 23 已知 f (x) = 3 4x2 x ln 2 , 數(shù)列 an 滿足1a10, 21 an 1f ann N *2（1）求f ( x)在0（2）證明：1an0;1 ， 上的最大值和最小值 ;22（3）判斷 an 與 an 1 (nN ) 的大小，并說明理由

7、.例 24已知數(shù)列 an 的首項 a13， an 13an， n12， 52an1（）求 an 的通項公式；x0 ， an 112， n12， ；（）證明：對任意的1 x(12nxx)3（）證明： a1a2ann2n 1例 25已知函數(shù) f(x)=x 2 -1(x>0)，設(shè)曲線 y=f(x)在點（ x n,f(xn ) ）處的切線與x 軸的交點為（ x n+1 ,0 ）(n N* ).()用 x n 表示 xn+1 ；（）求使不等式xn 1xn 對一切正整數(shù) n 都成立的充要條件，并說明理由；（）若 x 1 =2，求證：1x11112n1 .11 x2xn3例 1此數(shù)列的通項為 akk(

8、k 1) ,k1,2,n.kk( k1)k k 11解析2k，2nk Snn( k1) ，即 n(n 1)Snn( n 1) n(n 1)2.k1k122222注： 應(yīng)注意把握放縮的 “度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式ababk(k1) k 1則，若放成2n( n1)(n3)(n 1)2得 Sn( k 1)22，就放過“度”了！k1根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里nn a1ana1ana12an2，其中， n2,3 等的各式及其變式公式均可供選用。1nn1a1an例 2 簡析3f ( x)4xx11x11x( x0)f (1)f (n)(11)(11)(11n)1

9、414222222222n1111 )n11.(12nn12422例 3簡析 不等式左邊 Cn1Cn2Cn3Cnn =2n11 2222n1n 1nn 12222n 1= n 2 2 ，故原結(jié)論成立 .例 4 【解析】使用均值不等式即可：因為xyx2y2( x, yR) ，所以有2a1x1a2 x2an xna12x12a22x22an2xn2222a12a22an2x12x22xn21 11.2222其實，上述證明完全可以改述成求a1 x1a2 x2an xn 的最大值。本題還可以推廣為：2222220) ， 試求 a1 x1a2 x2an xn 的最大值。若 a1a2anp， x1x2xn

10、q( p, q請分析下述求法：因為x2y2R) ，所以有 a1 x1a2 x2an xna12x12a22x22an2xn2xy( x, y2222a12a22an2x12x222xn2p q .22pqxk (k1,2,n) 。故 a1 x1a2 x2an xn 的最大值為2，且此時有 aknak2nxk2上述解題過程貌似完美，其實細細推敲， 是大有問題的： 取“”的條件是 akxk (k1,2, n) ，即必須有 k1k1，即只有 p=q 時才成立！那么，pq 呢？其實例 6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化：222222a12a22an 21, x1 2x2 2xn 21,( p )(

11、p )( p )( q )( q )( q )a1x1a2 x2an xnpq a1x1a2 x2an xn則有pq222222pqa1a2an2 ) (x1x 2xn2 )pq(2( p )222(2( p )( p )( q )( q )q )于是， (a1 x1a2 x2an xn )maxakxk(k1,2, n).pq ，當且僅當pq結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)m( a1 ,a2 ,an ), n ( x1, x2 , xn ) ，則由 | m n | m | n | 立刻得解：| a1x1a2 x2an xn |a12a22an2x12x22xn2pq.x1x2xn且取“”

12、的充要條件是：a1a2an 。42利用有用結(jié)論例 5 簡析本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法 1 利用假分數(shù)的一個性質(zhì)bbm (b a 0, m 0) 可得aam2462n3572n11352n1 (2n1)( 2462n ) 22n12462n1352n12462n1352n1即 (11)(11)(11)(111)2n1.352n法 2利用貝努利不等式 (1x) n1nx(nN , n2, x1, x0) 的一個特例(11)2121( 此處 ) 得 n 2, x1，12k 1n1n2k 12n 1.112k2k2k112k 12k1k 1(12k1)k12k1nnn例 6簡析高考標準用數(shù)學歸納

13、法證明， ；這里給出運用柯西（Cauchy ）不等式 (ai bi )2ai2bi2 的簡捷證i1i1i 1法：2 x2 x2 x2 xxxxx123( n1)a nf (2 x)2 f (x)2lg 1 23(n1)anlgnn1 2 x3 x(n 1) xa n x 2n 1 22 x32 x(n 1)2 xa n2 x 而由 Cauchy 不等式得 (1 112 x13x1 ( n1) xan x ) 2(1212 )122 x32x(n1) 2 xa 2n2 x ( x0時取等號 )n12 2 x32x(n1)2 xan2 x （0a1），得證！例 7解析(II ) 結(jié)合第 (I )問

14、結(jié)論及所給題設(shè)條件ln(1x)x （ x0）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：an 1(111n )anln an 1ln(12 11n )ln anln an11。n2nnn2n2n2n2于是 ln an 1ln an1n1，n 22nn 1n11111( 1 )n 111即2i 1(ln ai1ln ai )i1( i 2i2i )ln anln a11n112n2 n2.2ln a nln a12ane 2 .【注】：題目所給條件 ln(1x)x （ x0 ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論 2nn(n1)( n2) 來放縮： an1(11)an1an11

15、(11n1)n(n1)n(n1)(an(n1)ln( an11)ln( an1)ln(11)1.n( n1)n(n1)n1n 1 ln( a i 1 1) ln( ai1)i 2i 211ln( an 1) ln( a 2 1) 11，i (i 1)n5即 ln(an1)1ln 3an312 .ee例 8【簡析】當 n2 時 annan 11nan 111，即n an 1anan 1an 1n111n11n11112b). 于是當 n3log 2 nan.anan 1n(akk時有a12k 2ak1k2an2 blog 2 n注：本題涉及的和式111為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用

16、所給題設(shè)結(jié)論23n1111log2 n 來進行有效地放縮；23n2再如：【解析】（） 1；（）證明：由（）得exx1 ，對 x>1 有 (1x) nenx ，利用此結(jié)論進行巧妙賦值：取k1(1 )nx1,k1,2, n ，則有 ( 1 ) n( 2) n( n ) n(1 )n1(1 )n 2(1)1(1)0e1ennnneeee11e 111ee即對于任意 nN ，有n( k )ne .k 1ne1例 9 解析 引入一個結(jié)論： 若 ba0 則 bn1an1(n1)bn (ba) ，（可通過構(gòu)造一個等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得 an1b n ( n1)anb. （），以 a 1

17、1,b11代入（）式得n 1n(11) n1(11 )n .。即 an 單調(diào)遞增。以 a1,b11代入（）式得n1n2n1(11 ) n1(11 ) 2n4.。此式對一切正整數(shù)n 都成立，即對一切偶數(shù)有(11 ) n4 ，又因為數(shù)列 an 2n22nn單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)n 有 (11 ) n4。n注：上述不等式可加強為2(11) n3. 簡證如下：利用二項展開式進行部分放縮：nan(11 )n1Cn11C n21Cnn 1. 只取前兩項有 a n1Cn112.對通項作如下放縮：nnn2nnnk11 nn1n k11111 111121 1(1/ 2) n1Cnnkk! n nnk! 1

18、 2 2 2k 1 .故有 a n2 222n 121 1/23.3. 部分放縮an11111111例 10 解析2aaa222 .3n23n又 k2kkk( k1), k2 （只將其中一個k 變成 k11111，進行部分放縮） ，2k(k 1)k 1，kk6于是 an11111 (11) (1 1)(11)212.2232n 222 3n 1 nn例 11【解析】 (i ) 用數(shù)學歸納法：當n1 時顯然成立，假設(shè)當nk 時成立即 akk2 ，則當 nk1時 a k1ak (a kk )1ak (k2k)1(k2)21k3 ，成立。(ii ) 利用上述部分放縮的結(jié)論ak12ak1 來放縮通項，可得ak 112(ak1)ak12k 1 (a1)2k1 42k111111111n1nn(2)ak1 2k 1i 11 aii 12i 14112.2【注】上述證明 (i) 用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：a k 1( k2)( k2k)1k 3 ；證明 (ii )就直接使用了部分放縮的結(jié)論a k12a k1 。例 12簡析觀察 ( 2) n 的結(jié)構(gòu)，注意到( 3 )n(11) n ，展開得3221n1121311nn(n1)(n1)