高中數(shù)學(xué)4.1坐標(biāo)系4.1.2極坐標(biāo)系知識導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-4

1、極坐標(biāo)系自主整理1. 在平面上取一個定點 O，自點 O 引一條射線 OX，同時確定一個 _和計算角度的 _ （通常取逆時針方向為正方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系. 其中點O稱為 _，射線 OX稱為 _.答案 : 長度單位正方向極點極軸2. 設(shè) M 是平面上任一點， 表示 OM的_ ， 表示以射線 OX為始邊，射線 OM為終邊所成的 _. 那么，有序數(shù)對（，）稱為點M 的極坐標(biāo) . 顯然每一個有序?qū)崝?shù)對 ( , ) 決定一個點的位置. 其中，稱為點M 的 _， 稱為點M 的_.答案:長度角極徑極角3. 平面內(nèi)任意一點 P 的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為（ x,y ）和（，），則由三角函數(shù)的定義可以得

2、到如下兩組公式：_;_.通常情況下，將點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，取_， _.答案 :(x 0) 0 0 2高手筆記1. 極坐標(biāo)是用“距離”與“角度”來刻畫平面上點的位置的坐標(biāo)形式. 極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系一樣，都是刻畫點的位置和運動的參照物，是建立點的集合與坐標(biāo)的集合的對應(yīng)關(guān)系的橋梁 .2. 建立極坐標(biāo)系的要素是 : 極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向, 四者缺一不可 . 極軸是以極點為端點的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角 的始邊是極軸，它的終邊隨著 的大小和正負(fù)而取得各個位置；的正向通常取逆時針方向， 的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點M 的極徑 表示點 M 與極點O

3、的距離OM，因此 0；但必要時，允許 0.3. 建立極坐標(biāo)系后，給定 和 ，就可以在平面內(nèi)惟一確定點M；反過來，給定平面內(nèi)的任意一點，也可以找到它的極坐標(biāo)（，）. 一般地，極坐標(biāo)（，）與（，+2k）（ k R）表示同一個點. 特別地，極點O的坐標(biāo)為（ 0，）（ R） . 和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定 0，0 2，那么除極點外，平面內(nèi)的點可以用惟一的極坐標(biāo)（，）表示；同時，極坐標(biāo)（，）表示的點也是惟一確定的 .4. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的三個前提條件是：（1）極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；（2）極軸與直角坐標(biāo)系橫軸的正半軸重合；（3）兩坐標(biāo)系中的長度單位相同. 由

4、2=x2+y2 求 時， 不取負(fù)值；由tan =(x 0) 確定 時，根據(jù)點（x,y ）所在的象限取最小正角.當(dāng) x0時， 角才能由tan =按上述方法確定. 當(dāng) x=0 時， tan 沒有意義，這時又分為三種情況：（1）當(dāng) x=0,y=0時，可取任何值；（2）當(dāng) x=0,y 0 時，可取=；（3）當(dāng) x=0,y 0 時，可取 =.1 / 45. 研究直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，可以從定義出發(fā)，極坐標(biāo)M（，）中，是 M 到極點 O 的距離，是以極軸OX 為始邊，射線OM為終邊的角，把直角坐標(biāo)系的原點作為極點， x 軸的正半軸為極軸，那么（，）與（x,y ）之間的聯(lián)系可以用三角函數(shù)表示：cos=,s

5、in =,tan =, 由這兩組式子可以方便地在兩種坐標(biāo)之間互化.名師解惑平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但為什么它并不是確定點的位置的惟一方法，為什么要使用極坐標(biāo)？剖析： 我們已經(jīng)知道，確定平面內(nèi)一個點的位置時，有時是依靠水平距離與垂直距離（即“長度”與“長度”，這就是直角坐標(biāo)系的基本思想）這兩個量，有時卻是依靠距離與方位角（即“長度”與“角度”，這就是極坐標(biāo)系的基本思想）這兩個量. 在生活中，如在臺風(fēng)預(yù)報、地震預(yù)報、測量、航空、航海中，甚至更貼近我們生活的如我們聽聲音，不但有高低之分，還有方向之分，我們能夠辨別出聲源的相對位置，這些都要用距離和方向來確定一點

6、的位置 .有些復(fù)雜的曲線，比如說環(huán)繞一點作旋轉(zhuǎn)運動的點的軌跡，用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡單且便于處理. 在應(yīng)用上有重要價值的等速螺線，它的直角坐標(biāo) x 與 y 之間的關(guān)系很難確定，可是它的極坐標(biāo) 與 卻有一個簡單的一次函數(shù)關(guān)系，我們將在后一節(jié)的內(nèi)容中學(xué)習(xí)極坐標(biāo)形式下的一些簡單曲線方程.總之，使用極坐標(biāo)是人們生產(chǎn)生活的需要. 平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點的位置的惟一方法.講練互動【例題1】設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點處，當(dāng)此彗星離地球為30（萬千米）時，經(jīng)過地球和彗星的

7、直線與拋物線的對稱軸的夾角為，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時的極坐標(biāo).思路分析： 如圖所示 , 建立極坐標(biāo)系，使極點O 位于拋物線的焦點處，極軸OX 過拋物線的對稱軸，由題設(shè)可得下列四種情形：（1）當(dāng)= 時, =30（萬千米） ; （ 2）當(dāng) =時, =30（萬千米） ;(3) 當(dāng) =時, =30(萬千米 );(4) 當(dāng) =時, =30( 萬千米 ).解： 彗星此時的極坐標(biāo)有四種情形：(30,),(30,),(30,),(30,).黑色陷阱彗星此時的極坐標(biāo)是四個，不能忽略了夾角的概念. 如果只找到了一個極坐標(biāo)，這是對2 / 4三角概念不清，需要我們認(rèn)真審題.變式訓(xùn)練1. 如圖，寫出極坐標(biāo)系

8、中 A，B， C， D，E， F， G各點的極坐標(biāo)（ 0，0 2） .思路分析： 確定各點的極徑 和極角 ，并注意給定的范圍.解： 在極坐標(biāo)系中，A， B， C， D， E， F， G 各點的極坐標(biāo)分別是（4， 0 ），（ 2，），（3，），（ 1，），（, ），（ 6，），（ 5，） .【例題 2】在極坐標(biāo)中，若等邊ABC 的兩個頂點是A(2,) 、 B(2,), 那么頂點 C 的坐標(biāo)可能是 ()A.(4,)B.(,)C.(2, )D.(3,)解析： 如圖，由題設(shè)可知A， B 兩點關(guān)于極點O 對稱，即O 是 AB的中點 . 又|AB|=4， ABC為正三角形， |OC|=2， AOC=， C

9、對應(yīng)的極角= + =或+=，即 C 點極坐標(biāo)可能為 (,)或(,).答案： B綠色通道在找點的極坐標(biāo)時，把圖形畫出來，可以幫助我們解決問題，從圖形中很容易找到極角和極徑 . 這一點跟直角坐標(biāo)系中的思想方法是一致的數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練2. 設(shè)點A（ 2，），直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A 關(guān)于極軸、直線l 、極點的對稱點的極坐標(biāo)（限定 0， - ） .【例題 3】把點 M的極坐標(biāo)（ 2，）化為直角坐標(biāo)形式.3 / 4思路分析： 利用坐標(biāo)變換公式.解： 由坐標(biāo)變換公式，得即點 M的直角坐標(biāo)為（-1 ，） .思路分析： 首先建立極坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點，通過數(shù)形結(jié)合求解.解： 如圖所示，點A 關(guān)于極軸的對稱點為B（ 2，-），點 A 關(guān)于直線l 的對稱點為 C（2，），點A 關(guān)于極點 O的對稱點為D（2，-） .綠色通道利用坐標(biāo)變化公式可實現(xiàn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.變式訓(xùn)練3. 把點 M的直角坐標(biāo)（ 1， -1 ）化為極坐標(biāo)形式（限定 0， - ） .思路分析： 由坐標(biāo)互化公式=,tan =及點 M的象限直