高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案新人教A版選修2-1

1、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握空間向量夾角概念及表示方法.2. 掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.3. 掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直.知識(shí)點(diǎn)一空間向量數(shù)量積的概念思考 1如圖所示，在空間四邊形OABC中， OA 8， AB 6， AC 4 ， BC 5， OAC45°， OAB60°，類比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量 OA與BC的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法.答案 BC AC AB， OA· BC OA· ACOA· AB | OA| AC|cos OA， AC

2、 | OA|AB|cos OA， AB8×4×cos 135 ° 8×6×cos 120 ° 24 162.求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長度不確定時(shí)，可用已知夾角和長度的向量來表示該向量，再代入計(jì)算.思考 2等邊 ABC中， AB與 BC的夾角是多少？1/13答案120°.梳理(1) 定義：已知兩個(gè)非零向量，則 |cos ，叫做a，b的數(shù)量積，記a baba b作 a· b.(2) 數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律( a) · b( a· b)交換律

3、3;·aa bb分配律a·(b c) a· b a·c(3) 空間向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作 OAa，OB b，則 AOB叫做向量 a， b 的夾角，記作 a， b .范圍： a， b 0 ，. 特別地：當(dāng) a， b 2 時(shí)， a b.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)若 a， b 是非零向量，則a b? a· b 0若 a 與 b 同向，則 a·b | a| ·|b| ；若反向，則a·b| a| ·|b|.兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)特別地， a· a| a| 2 或 |

4、a| a·aa·b若 為 a， b 的夾角，則 cos |a|b|a· b| |a| ·|b|類型一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算命題角度1空間向量的數(shù)量積基本運(yùn)算例 1(1) 下列命題是否正確？正確的請給出證明，不正確的給予說明. p2· q2 ( p·q) 2；|p q| ·|p q| | p2q2| ；若 a 與 ( a·b) · c ( a· c) · b 均不為 0，則它們垂直 .解此命題不正確.p2· q2 | p| 2·|q| 2，而( p· q) 2

5、 (| p| ·|q| ·cos p，q ) 2 | p| 2·|q| 2·cos 2 p，q，當(dāng)且僅當(dāng) p q 時(shí)， p2·q2 ( p· q) 2.2/13此命題不正確.|p2 q2| |( p q) ·(p q)| | pq| ·|pq| ·|cos p q， pq | ，當(dāng)且僅當(dāng) ( p q) (p q) 時(shí)， | p2 q2| | pq| ·|p q|.此命題正確 .a·( a·b) · c ( a·c) · b a·(a&#

6、183; b) ·c a·(a· c) ·b ( a· b)( a· c) ( a· b)( a· c) 0，且 a 與 ( a·b) · c ( a·c) · b 均為非零向量， a 與 ( a· b) · c ( a·c) · b 垂直 .(2) 設(shè) a， b 120°， | a| 3， | b| 4，求：a· b； (3 a 2b) ·(a 2b).解 a· b | a| b|cos a，b

7、， a· b3×4×cos 120 ° 6. (3 a 2b) ·(a 2b) 3| a| 2 4a· b 4| b| 23| a| 2 4| a| b|cos 120 ° 4| b| 2，1(3 a 2b) ·(a 2b) 3×94×3×4×( ) 4×16 27 24 64 61.2反思與感悟(1) 已知 a， b 的模及 a 與 b 的夾角，直接代入數(shù)量積的公式計(jì)算.(2) 如果欲求的是關(guān)于 a 與 b 的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展

8、開，再利用 a· a | a| 2 及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算 .跟蹤訓(xùn)練1已知 a，b 均為單位向量，它們的夾角為60°，那么 | a3b| 等于 ()A.7 B.10 C.13 D.4答案C解析| 3b| 2 (a3 )2a2 6·b 9 2 1 6×cos 60 °9 13，| 3| ababa b13.命題角度2利用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運(yùn)算問題例 2已知長方體ABCD A1B1C1 D1 中， AB AA1 2， AD 4， E為側(cè)面 AB1 的中心， F 為 A1D1 的中點(diǎn) . 試計(jì)算：(1)BC · ED1； (2

9、)BF ·AB1； (3)EF · FC1.解如圖，設(shè) AB a，AD b， AA1 c，則| |c| 2，|b|4，· ·· 0.aabb cca1c) |b22(1) BC·ED1· (| 4 16.b2ab3/13 12222(2) BF· AB1 c a2b ·(a c) | c| | a| 2 2 0.)·錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !|22(3) EF·FC1錯(cuò)誤 ! ·錯(cuò)誤 ! 錯(cuò)誤 ! ( | 錯(cuò)誤!| | 2.a bcab反思與感悟兩向量的數(shù)量積，其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，而不是

10、向量. 零向量與任意向量的數(shù)量積為 0.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 .跟蹤訓(xùn)練 2已知正四面體的棱長為1，求：OABC (1)( OA OB ) ·(CA CB) ；(2)| OA OB OC|.解 (1)(OA OB) ·(CA CB) ( OA OB) ·(OAOC OB OC) ( OA OB) ·(OA OB 2OC) 121×1×cos 60 ° 2×1×1×cos 60 ° 1×1×cos 60 ° 12 2×1×1×

11、;cos 60 ° 1.(2)| OA OB OC| 錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.類型二利用數(shù)量積求夾角或模命題角度 1 利用數(shù)量積求夾角例 3已知 BB平面 ABC，且 ABC是 B 90° 的等腰直角三角形，?ABBA、 ?BBCC 的11111對角線都分別相互垂直且相等，若，求異面直線1 與所成的角 .AB aBAAC解如圖所示. BA1 BA BB1， AC AB BC， BA1·AC ( BA BB1) ·(AB BC) BA· AB BA·BC BB1· AB BB1· BC. ABBC， BB AB

12、， BBBC，11 2 AB· BC0， BB1·AB 0，BB1· BC 0 且 BA· AB a .2BA1· AC a .又 BA1· AC | BA1| ·|AC|cos BA1，AC， a21cos BA1， AC .2a· 2a2又 BA1， AC 0 ° ， 180°， BA1，AC 120° ，又異面直線所成的角是銳角或直角，4/13 異面直線 BA1 與 AC所成的角為60°.反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法跟蹤訓(xùn)練 3已知： PO、 PA分別是平面

13、的垂線、斜線， AO是 PA 在平面 內(nèi)的射影，l?，且l .OA求證： l PA.證明如圖，取直線l 的方向向量 a，同時(shí)取向量PO， OA.因?yàn)?l OA，所以 a·OA 0.因?yàn)?，且l?，所以l，PO PO因此 a·PO 0.又因?yàn)?a·PA a·(PO OA) a·PO a· OA0，所以l .PA命題角度 2利用數(shù)量積求模 ( 或距離 )例 4如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1 中， AB 1， AD 2， AA1 3， BAD90° ，11 60° ，求1的長.BAADAAAC解因?yàn)?AC

14、1AB AD AA1，22222所以 AC1 ( AB AD AA1) AB ADAA1 2( AB·AD AB·AA1 AD·AA1).因?yàn)?BAD 90° ， BAA1 DAA1 60° ，5/13 所以 AB， AD 90° ， AB， AA1 AD，AA1 60° ， 2 14 9 2(1×3×cos 60 ° 2×3×cos 60 °) 23.所以 AC1 22 2因?yàn)?AC1 | AC1|，所以 | AC1| 23， | AC1| 23，即 AC123.

15、反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式| a| a· a求解即可 .跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知線段AB平面， BC? ， CD BC， DF平面 ，且 DCF30°， D與 A 在 的同側(cè)，若AB BCCD 2，求 A， D兩點(diǎn)間的距離 . 解 AD AB BC CD，22 22 2|AD| ( AB BCCD) | AB| BC| | CD| 2AB· BC 2AB· CD 2BC· C

16、D 12 2(2 ·2·cos 90 ° 2·2·cos 120 ° 2·2·cos 90 °) 8， 22，即 A， D兩點(diǎn)間的距離為2 2.|AD|類型三利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題例 5 如圖，在空間四邊形中， ， ，求證： .OABCOB OC AB ACOA BC證明因?yàn)?OBOC， ABAC， OAOA，所以 OAC OAB，所以.AOCAOB 又 OA· BC OA·(OC OB) OA· OCOA· OB·| OA|·|OC|

17、cos AOC | OA| OB|cos AOB 0， .所以 OABC，即OA BC反思與感悟(1) 證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0 來判斷兩直線是否垂直 .6/13(2) 證明與空間向量 a， b， c 有關(guān)的向量 m， n 垂直的方法先用向量 a， b， c 表示向量 m， n，再判斷向量m， n 的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練5已知向量a，b 滿足： | a| 2， | b| 2，且 a 與 2b a 互相垂直，則a 與 b的夾角為 _.答案45°解析a 與 2b a 垂直， a·(2 b a) 0，即 2a

18、3; b | a| 2 0.2| a| b| ·cos a， b | a| 2 0，24 2 cos a， b 4 0，cos a，b 2 ，又 a， b 0 °， 180° ， a 與 b 的夾角為 45°.1. 已知，c是兩兩垂直的單位向量，則|a2 3c|等于()a bbA.14 B.14C.4 D .2答案B解析 | a 2b 3c|2 | a|2 4| b|2 9| c|2 4a· b 6a·c 12b·c 14.2. 在長方體 ABCD A B CD 中，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()1111A. AD1&#

19、183; B1C B. BD1· ACC. AB·AD1 D. BD1· BC答案D解析 選項(xiàng) A，當(dāng)四邊形 ADD1A1 為正方形時(shí)，可得AD1 A1D，而 A1DB1C，所以1 1，此時(shí)有 AD1· B1C 0；ADB C選項(xiàng) B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，易得AC BD，可得 AC 平面 BB1D1D，故有 AC BD1，此時(shí) BD1· AC0；選項(xiàng) C，由長方體的性質(zhì)可得AB 平面 ADD1A1，所以 AB AD1，所以 AB· AD1 0. 故選 D.3. 在正方體 ABCD A1B1C1D1中，有下列命題：2 2(AA1

20、 ADAB)3AB； A1C·(A1B1 A1A) 0； AD1與 A1B的夾角為 60°.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.0答案B120° ， 不正確 . 故選 B.解析 易知 正確； AD1與 A1B的夾角為7/1324. 已知 a， b 為兩個(gè)非零空間向量，若| a| 2 2， | b| 2 ， a· b2，則 a，b_.答案34a·b23解析cos a， b |a|b|2 ， a， b 4 .5. 已知正四面體ABCD的棱長為 2，E， F 分別為 BC，AD的中點(diǎn)，則 EF的長為 _.答案2解析22 2| EF| EF (

21、 ECCD DF)22 2 EC CDDF2( EC· CD EC· DFCD· DF) 12 22 122×(1 ×2×cos 120 ° 0 2×1×cos 120 °)2，2， EF的長為2.|EF| 1. 空間向量運(yùn)算的兩種方法(1) 利用定義：利用a·b | a| b|cos a， b并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2) 利用圖形：計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.2. 在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1) 首先將各向量分解

22、成已知模和夾角的向量的組合形式.(2) 利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3) 代入 a· b| a| b|cos a， b求解 .40 分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1. 設(shè) a、b 為空間的非零向量，下列各式：a·bb a2 | a| 2 ； a2 a ； (a·b) 2 a2· b2； (a b) 2 a2 2a·b b2. 其中正確的個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律可知是正確的，故選B.8/132. 如圖，空間四邊形的各邊和對角線長均相等，E 是 BC的中點(diǎn)，那么 ()

23、A. AE· BC<AE· CDB. AE· BCAE· CD C. AE· BC>AE· CDD. AE·BC與 AE·CD不能比較大小答案 C解析1 易知 AE BC， AE· BC 0，AE· CD ( AB BE) ·CD AB·(BD BC) BC· CD21 | AB| ·|BD| ·cos 120° | AB| ·|BC| ·cos 120° 2|BC| ·|CD| &#

24、183;cos 120 °<0. AE· BC>AE· CD.3. 已知空間向量a，b， c 兩兩夾角為60°，其模都為 1，則 |a b 2c| 等于 ()A.5B.5 C.6 D.6答案A解析 | 2 |2|a| 2|b| 24|c|22 ·b 4 ·c 4 ·ca b caab12221 4×12·1·1·cos 60 ° 4·1·1·cos 60 ° 4·1·1·cos 60 °

25、; 5，| 2 | 5.a bc4. 如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn) E、F、 G分別是 AB、 AD、 DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2 的是 ()A.2 BA· ACB.2 AD·DBC.2 FG·ACD.2EF· CB答案C2212解析2BA· AC a ，故 A 錯(cuò)； 2AD·DB a ，故 B 錯(cuò)； 2EF· CB 2a ，故 D 錯(cuò)，只有C正確.9/135. 已知 a、 b 是異面直線， A、 B a， C、 Db， AC b， BD b，且 AB 2， CD 1，則 a 與 b所成的角是

26、 ()A.30° B.45 °C.60° D.90 °答案C解析AB AC CD DB，2 2 AB·CD ( ACCD DB) · CD AC· CDCD DB· CD 0 1 01，又| AB| 2，| CD|1.11AB· CDcos AB， CD .2×12|AB |CD |異面直線所成的角是銳角或直角， a 與 b 所成的角是 60°.6. 已知在平行六面體ABCDA CD 中，同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且彼此的夾角1111都是 60° ，則此平行六面體的對

27、角線AC 的長為 ()1A.3B.2 C.5D.6答案D解析 AC1AB AD AA1， 2 222 2 AC1( AB AD AA1) AB ADAA1 2AB·AD2AB·AA12AD·AA1 1 11 2(cos 60° cos 60 ° cos 60 °) 6， |AC1| 6.二、填空題7. 已知向量 a， b 滿足 | a| 1， | b| 2，且 a 與 b 的夾角為 ，則 | ab| _. 3答案7解析|a|2 22· 2 1 2×1×2×cos 22 7，| | 7.ba ab

28、b3ab8. 已知a，b是空間兩個(gè)向量，若|a| 2，|b| 2，|a | 7，則cos a，bb_.1答案821解析將 | a b| 7化為 ( a b) 7，求得 a·b 2，再由· |a|b|cos ， 求得 cos 1，.a babab89. 已知空間向量a， b，c滿足 a b c 0， | a| 3， | b| 1， | c| 4，則 a· bb·c10/13c· a 的值為 _.答案 13解析 a bc 0，2(a b c) 0，32 12 42 a· bb· c c·a 13.10. 將 AB2 3

29、， BC 2 的長方形 ABCD沿對角線 AC折成 60° 的二面角， 則 B， D 間的距離為 _.答案7解析作 DE AC于點(diǎn) E，BF AC于點(diǎn) F.由已知可得， AC 4， DE BF3， AE 1， CF1， EF 2.二面角的大小為60°，DE與 FB的夾角為120° ，22|DB| ( DE EFFB) 7，|DB| 7， B， D間的距離為7.三、解答題11. 如圖所示，已知空間四邊形，連接，若， ，F(xiàn)分別是ABCDACBDABCD ACBDEAD， BC的中點(diǎn)，試用向量方法證明EFAD且 EFBC.證明連接 AF，點(diǎn) F 是 BC的中點(diǎn)，1 AF ( ABAC) ，2111 EF AF AE 2( AB AC) 2AD 2( AB AC AD) ，11/13，又| AC| | BD| | ADAB|2 2 2， ACAD 2AD·AB AB 222 2，同理 AB CDAD 2AC· ADAC 2 222，將 代入 可得 ABAD