高中數學第二章圓錐曲線與方程2.1.2橢圓的幾何性質(一)教學案新人教B版選修1-1

1、21.2橢圓的幾何性質 ( 一) 學習目標 1. 根據橢圓的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形；2. 根據幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質，畫圖 知識鏈接 觀察橢圓 x2y2 1 (> >0) 的形狀，你能從圖中看出x和y的范圍嗎？它具有怎樣的對稱a2b2a b性？橢圓上有哪些特殊點？答案(1) 范圍： a xa， b y b；(2) 對稱性：橢圓關于x 軸、 y 軸、原點都對稱；焦點的位置圖形標準方程范圍頂點(3) 特殊點：頂點 A1( a, 0) ， A2( a, 0) ， B1(0 ， b) ， B2(0 ，b) 預習導引 1橢圓的幾何性質焦點在

2、x 軸上焦點在 y 軸上x2y21( > >0)y2x2 1(> >0)a2b2a ba2b2a b a x a， b y b b xb， ay a1( a,0)， 2(a,0) ，1(0， )， 2(0， )，AAAa AaB1(0 ， b) ， B2(0 ， b)B1( b, 0) ， B2( b, 0)軸長長軸長 2 ，短軸長 2ba焦點( ± a2 b2，0)(0 ，± a2 b2)焦距2c | F F | 2 a2 b212對稱性對稱軸： x 軸、 y 軸對稱中心：原點c離心率ea (0,1)1 / 62. 離心率的作用當橢圓的離心率越接近

3、1，則橢圓越扁；橢圓離心率越接近0，則橢圓越接近于圓.要點一橢圓的幾何性質例 1求橢圓 9x2 16y2 144 的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標x2y2解已知方程化成標準方程為16 9 1，于是 a 4， b 3， c 16 9 7，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a 8 和 2b 6，c7x 軸上，離心率 e ，又知焦點在a4兩個焦點坐標分別是1( 7，0) 和2(7，0) ，FF四個頂點坐標分別是A(4,0)，A (4,0)，B(0 ， 3)和 B(0,3) 1212規(guī)律方法解決此類問題的方法是將所給方程先化為標準形式，然后根據標準方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，

4、c 之間的關系和定義，求橢圓的基本量跟蹤演練 1 求橢圓22 42 21(>0) 的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心mxmym率解橢圓的方程22 42 21(>0) 可轉化為mxmymx2y21. 2211，11m<4m， >m2 4m2m24m2橢圓的焦點在x 軸上，并且長半軸長1b13a ，短半軸長，半焦距c .m2m2m橢圓的長軸長22b12 ，短軸長 ，amm33焦點坐標為 ( 2m， 0) ， ( 2m， 0) ，頂點坐標為 (1111， 0)，( ，0)，(0 ，)，(0，) mm2m2m3c2m3離心率 e .a12m要點二由橢圓的幾何性質求方程例

5、 2求滿足下列各條件的橢圓的標準方程2 / 6(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y 軸上，若其離心率為1，焦距為 8.2(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為3.c41解 (1) 由題意知， 2c 8， c 4， ea a 2， a 8，222y2x2從而 b a c 48，橢圓的標準方程是 1.(2) 由已知 a 2c， a c3， a 23，c 3.從而 b2 9，x2y2x2y2所求橢圓的標準方程為12 9 1 或 9 121.規(guī)律方法在求橢圓方程時，要注意根據題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論，然后列

6、方程( 組 ) 確定 a， b.跟蹤演練2 橢圓過點 (3,0)，離心率 e6，求橢圓的標準方程3解 所求橢圓的方程為標準方程，又橢圓過點 (3,0)，點 (3,0) 為橢圓的一個頂點當橢圓的焦點在x 軸上時， (3,0)為右頂點，則a 3，c666e a 3 ， c 3 a 3 ×3 6，b2 a2 c2 32 (6) 2 9 6 3，x2y2橢圓的方程為931.當橢圓的焦點在y 軸上時， (3,0)為右頂點，則b 3，c66e a 3 ， c 3 a， b2 a2 c2 a2 2a2 1a2，33 a2 3b2 27，橢圓的方程為 y2 x2 1. 27 9x2y2y2x2綜上可

7、知，橢圓的標準方程是9 31或27 91.要點三求橢圓的離心率x2y2例 3設 F1，F2 分別是橢圓E： a2 b2 1( a>b>0) 的左、右焦點，過點F1 的直線交橢圓E 于A， B 兩點， | AF1| 3| F1B|.(1) 若 | AB| 4， ABF2的周長為 16，求 | AF2| ；3(2) 若 cos AF2B 5，求橢圓 E 的離心率解 (1) 由 | AF1| 3| F1B| ， | AB| 4，得| AF1| 3，| F1B| 1.3 / 6因為 ABF2 的周長為 16，所以由橢圓定義可得4a 16，| AF1| | AF2| 2a 8.故| AF2|

8、 2a| AF1| 83 5.(2) 設 | F1B| k，則 k>0 且 | AF1| 3k， | AB| 4k.由橢圓定義可得| AF2| 2a 3k，| BF2| 2a k.在 ABF中，由余弦定理可得2| |2|2| 2|2|2 2|2| ·| 2|cos 2 ，ABAFBFAFBFAFB2226即(4 k) (2 a 3k) (2 a k)5(2 a 3k)·(2 a k) ，化簡可得 ( )(a3 )0.a kk而 a k>0，故 a 3k.于是有 | AF2| 3k | AF1 | ， | BF2| 5k.因此 | BF2|2 | F2A| 2 |

9、 AB| 2，可得 F1A F2A，故1 2 為等腰直角三角形AFF2從而 c 2 a，c2所以橢圓 E的離心率 e a 2 .規(guī)律方法求橢圓離心率的方法：cb2直接求出 a 和 c，再求 ea，也可利用 e1 a2求解若 a 和 c 不能直接求出，則看是否可利用條件得到ac和 c 的齊次等式關系，然后整理成a的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e 的方程，進而求解x2y2跟蹤演練3 設橢圓 C： a2 b2 1( a>b>0) 的左右焦點為F1， F2，過 F2 作 x 軸的垂線與 C相交 于 A， B 兩 點 ， F1B 與y 軸 相 交 于點D， 若ADF1B， 則 橢

10、 圓C 的 離 心 率 等 于_答案33解析直線：，代入 x2 y2 1，得y± b2.AB xca2b2ab2b2A( c， a ) ， B( c， a ) b2b2 a 0 ab2kBF1 c c 2c 2ac .4 / 6b2直線 BF1： y 0 2ac ( xc) 令 x 0，則 y b2， 2ab2b2b2a2a3b2D(0 ， 2a) ， kADc 2ac.b2·3b2由于 AD BF1， 1，2ac2ac3 442 2，ba c 3b2 2ac，即 3( a2 c2) 2ac， 3e2 2e 30，2± 44× 3× 32

11、77;4e3.2232423 e>0， e 2 3 2 3 3 .1橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是( 10,0) ，則焦點坐標為()A( ±13,0) B (0 ，± 10)C (0 ，± 13) D (0 ，±69)答案D解析由題意知橢圓焦點在y 軸上，且 a 13，b 10，則 c a2 b2 69，故焦點坐標為 (0 ，±69) 2如圖，直線l ： x 2y 2 0 過橢圓的左焦點F1 和一個頂點B，該橢圓的離心率為()12A. 5B. 5525C.D.55答案D5 / 6解析 x 2y 20，1 y

12、 2x1，b1而 c 2，即a2 c2 1， a25c25c2，.2c24a53若一個橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是()43A. 5B. 521C.D.55答案B解析由題意有 2a2c 2(2 b) ，即a2 ，又c222，cbab消去 b 整理得5c2 3a2 2ac，即 5e2 2e 30，3 或 1(舍去)e5ex2y2P 為直線x 3a4 設 F ， F 是橢圓 E： a2 b2 1( a b 0) 的左、右焦點，2 上一點，12 F PF 是底角為30° 的等腰三角形，則E 的離心率為 ()2112A.B.2334C. 4D. 5答案C解析由題意可得 | PF| | F F | ， 2