2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《等差數(shù)列》

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練等差數(shù)列【題型一】：等差數(shù)列的概念、公式、項(xiàng)的性質(zhì)【題型二】：等差數(shù)列的判斷與證明【題型一】：等差數(shù)列的概念、公式、項(xiàng)的性質(zhì)【例1】.(1)- 20是不是等差數(shù)列0, 7, - 7,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如2果不是，說明理由(2) 100是不是等差數(shù)列2, 9, 16,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由【思路點(diǎn)撥】題中要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù) n值，使得an等于這一數(shù).【解析】(1)由題意可知：63=7 ,2一此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：& = -7”7,22令-20 二 / n 7,解得 n 二

2、 47 f N , 227所以一 20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).(2)根據(jù)題意可得：& =2,d = 9-2=7.此數(shù)列通項(xiàng)公式為:a, =2 7(n1)=7-5( n_1,nN .).令 7n 5 =100 解得：n=15, 100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).【總結(jié)升華】1 根據(jù)所給數(shù)列的前2項(xiàng)求得首項(xiàng)ai和公差d，寫出通項(xiàng)公式an.2要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.【變式訓(xùn)練】：【變式1】求等差數(shù)列8, 5, 2的第21項(xiàng)【解析】由 3=8, d=5-8=2-5-3, a?i =8 (21-1) (-3)=-52.【變式2】求集合M二m|m=7n,nN*,m： ： ： 100)的元素的個(gè)數(shù)，并求

3、這些元素的和【解析】 7n : 100, n <142 ,n N*, M中有14個(gè)元素符合條件，又 滿足條件的數(shù)7, 14, 21,，98成等差數(shù)列，即 3i = 7 , d = 7 , 3i4 = 98 ,. Si4= 呻 98)=735. 2【例2】中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為【思路點(diǎn)撥】利用中位數(shù)性質(zhì)建立關(guān)系式【答案】5【解析】設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010X2解得：a=5【總結(jié)升華】在解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問題要熟悉其基本概念，基本公式及性時(shí),質(zhì)?！咀兪接?xùn)練】：【變式】設(shè)an是等差數(shù)列，下

4、列結(jié)論中正確的是(A .若 ai+a20,貝 U a2+aa>0B ,若 ai+a3V 0,貝”ai+a2V 0C.若 0<a<a2,貝 U a2D ,若 a< 0,則(a2- ai) (a2 - a3)> 0【答案】c【解析】若ai+a2>。,貝2ai+d>。，a2+a3=2a+3d2d, d0時(shí)，結(jié)論成立，即A不正確；若 ai+as< 0,貝 U ai+a2=2ai+2d<0, a2+a3=2ai+3d<2d, d<0 時(shí)，結(jié)論成立，即 B 不正確;an是等差數(shù)列，0< a< a2, 2a2=a+a32 寸厘S

5、，-a2> ?.，即 C 正確；二2若 a<0,貝 u(a2- ai) (a2- as) =- d<0,即 D 不正確.故選 C【例3.已知等差數(shù)列an的公差d0, a3=- 3, a2a4=5，則an=【答案】2n-9【解析】法一：令數(shù)列an的首項(xiàng)為a 一公差為d,則a? y 2d(d>0)即3 二ER 2d(d>0)az - a4Z：(ad)(a3d)15=(十)5)avi7解之有心，aAa (n -i)d = -7 2(n-1) =2n -9 .法二：a4 a3 d = -3 d由已知得a2a4=（七7）（/76=9y=5又 d>0,得 d=2所以 a

6、n =包（n - 3）d - -3 2（n -3） = 2 n - 9 .【總結(jié)升華】依條件恰當(dāng)?shù)倪x擇入手公式，性質(zhì)，從而簡潔地解決問題，減少運(yùn)算量 【變式訓(xùn)練】：【變式】若數(shù)列an為等差數(shù)列，aioa5o=100 , a45= 900,且公差d 0求a6o;【解析I： an為等差數(shù)列a®-a 50二a仆a45 =100又 T a45 al5 =900 a45、a 15 是方程 x2 -100x *900 =0 的根“5"°或弘二'I。（舍去） a 45 -90=令數(shù)列an）的首項(xiàng)為a I，公差為d，則=a<i+44d耳即見二a444d5 =a<

7、;i +14d JO =a<i +14d82 a1 ：解之有：-360 a 、 59d 130 .【題型二】：等差數(shù)列的判斷與證明【例4】.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且求證：數(shù)歹IJ an為等差數(shù)列.2【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，需要嚴(yán)格按照等差數(shù)列的概念或性質(zhì)進(jìn)行判斷。本題中已知條件是關(guān)于數(shù)列前n項(xiàng)和的，所以應(yīng)該從前n項(xiàng)和的思路著手考慮證明：由Sn（”1）佝am），所以2an 廠 SnV-%22整理得（n -1總i-na* = -a-又得（n2歸八（口 -1總二二-aAn 1）相減并整理得：3n 1 - 3n4 =2Sn（n2）所以數(shù)列an是個(gè)等差數(shù)列3【總結(jié)升華】判斷或

8、證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：定義法：an+ian=d(常數(shù))(nc N)u an是等差數(shù)列；. , (2)中項(xiàng)公式法:2an+i=an+an+2(n N )：=an是等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)公會法：an=kn+b(k、b是常數(shù))(n N )二仙是等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn=Aiv+Bn(A、B是常數(shù))(n N )二an是等差數(shù)列.【變式訓(xùn)練】：【變式】已知數(shù)列an , an N* , Sn=1(an2)2，求證：an是等差數(shù)列; 8【答案】an+1 = Sn+1n=J (ani - 2)2-!(an-2)2, 888an+l =(am 2)2(an 2產(chǎn)， *(3n 1 -2)2 -(3n 2)2 =0, -(3n 1 an )( 3n 1 - 3n - 4) = 0 , an N , an 1 a-=0 , an 1 _an_4 = 0，即口 an 1 _an = 4 ,二數(shù)列an是等差數(shù)列.【例5】設(shè)an是等差數(shù)列，證明以bn=3r(n£ N*)為通項(xiàng)公式的數(shù)列bn是等 n差數(shù)列.【思路點(diǎn)撥】等差數(shù)列的概念是以遞推關(guān)系的形式給出的，這也是判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的首要考慮。證法一:設(shè)等差數(shù)列an的公差是d(常數(shù))，當(dāng)n2時(shí)，ER+a2+, 七印+22 + -+玄.；bn - b n 4 -nn T二門 a) (n- 1)(aanJ2n