偏導(dǎo)數(shù)-0358792ppt課件

1、第三節(jié) 多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)繁啦！煩 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推廣, 其計算往往是借用一元函數(shù)的計算公式和方法, 但實際計算比較繁. 在推廣中有一些東西將起質(zhì)的變化. 我們通常介紹二元函數(shù)的情形, 所得結(jié)果可以推廣到更高元的函數(shù)中, 一般不會遇到原則性問題.工程和科學(xué)技術(shù)中, 遇到的大部分是多變量的問題, 在處理時往往需要知道在其它變量不變, 只有某一個變量變化時, 引起的事物反應(yīng) .一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xaxfsin)(xaaxfcos)(xaaxfsin),(xaaaxfxcos),(一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xaxfsin)(xaaxfcos)(xaaxfsin),(xaaaxfxcos),(xyyxf

2、sin),(xyyyxfxcos),( 假如 x , y 為自變量, 這就是二元函數(shù) f (x , y) 關(guān)于變量 x 的偏導(dǎo)數(shù).一. 多元函數(shù)的偏增量和全增量 函數(shù)的增量 的全增量和偏增量的改變量稱為函數(shù)的全增量和偏增量 .函數(shù)相應(yīng)于自變量),(yxfz yx 和 函數(shù)的偏增量 : 2中空間 R),(),(000yxfyxfzx),(),(0000yxfyxxfzx函數(shù)),(yxfz 在點),(00yx處的偏增量為:和),(),(000yxfyxfzy),(),(0000yxfyyxfzyOxyzD),(yxfz )0 ,(00yxQ0y),(000zyxP沿此曲線計算的函數(shù)在點 P 處的增

3、量為偏增量zx 函數(shù)的全增量 : 2中空間 R),(),(00yxfyxfz),(),(0000yxfyyxxfz函數(shù)),(yxfz 在點),(00yx處的全增量為:或 函數(shù)增量的點函數(shù)表示 : 2中空間 R函數(shù)在點處的全增量為)(Xfz 0X)()(00XfXXfz函數(shù)在點處的偏增量為)(Xfz 0X)()(00XfXXfzxx)()(00XfXXfzyy對于)3( nRn中的函數(shù)可仿此進行增量的定義)()(00XfXXfz)()(00XfXXfzkkxx),(21nkxxxxX其中例例1 1則設(shè) , zyxu 全增量zyxzyxxux)( 偏增量zyxzyyxuy)(zyxzzyxuz)(

4、xyzzzyyxxu)()( 函數(shù)的連續(xù)性能否用函數(shù)的全增量描述？想想： 函數(shù)的連續(xù)性能否用函數(shù)的全增量描述？能 0lim 0ZX怎么描述？三. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義且極限內(nèi)有定義在設(shè) , ), U( ),( 00yxyxfz axzxyxfyxxfxxx000000lim),(),(lim稱極限值可偏導(dǎo)處對則稱函數(shù)在點存在 , ),( ,00axyx記為的偏導(dǎo)數(shù)量為函數(shù)在該點的關(guān)于變 , x , 00axzyyxx , ),(00axyxf , 00azyyxxx , ),(00ayxfx . ),(001ayxf三. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義且極限內(nèi)有定義在

5、設(shè) , ), U( ),( 00yxyxfz byzyyxfyyxfyyy000000lim),(),(lim稱極限值可偏導(dǎo)處對則稱函數(shù)在點存在 , ),( ,00byyx記為的偏導(dǎo)數(shù)量為函數(shù)在該點的關(guān)于變 , y , 00byzyyxx , ),(00byyxf , 00bzyyxxy , ),(00byxfy . ),(002byxf變量 x 和 y 的偏導(dǎo)數(shù)均存在 , 則稱函數(shù)若函數(shù)),(yxf在點),(00yx處關(guān)于),(yxf在點),(00yx處可偏導(dǎo).在區(qū)域 內(nèi)的任一點若函數(shù)),(yxf內(nèi)可偏導(dǎo).處均可偏導(dǎo) , 則稱函數(shù)),(yxf在區(qū)域 與一元函數(shù)的情況類似, 函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)

6、數(shù)構(gòu)成一個偏導(dǎo)函數(shù), 一般仍稱為函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù).下面討論偏導(dǎo)數(shù)的計算方法xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出: 定義xz時, 變量 y 是不變的, 實際上,是對函數(shù)),(yxf, 將 y 視為常數(shù), 關(guān)于變量 x 按一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義進行的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 實質(zhì)上是求好爽哦！忘記了, 請趕快復(fù)習(xí)一下.如果一元函數(shù)的求導(dǎo)方法和公式多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算方法,沒有任何技術(shù)性的新東西.例例2 2. )2 , 1 ( 3 22處的偏導(dǎo)數(shù)在點求yxyxz解)2, 1(

7、22)2, 1()()3()(xxxyxyxxz)2, 1(22)2, 1()()3()(yyyyxyxyz8)32()2, 1(yx7)23()2, 1(yx例例2 2. )2 , 1 ( 3 22處的偏導(dǎo)數(shù)在點求yxyxz解 由定義也可用下列方式求解8)46(dd12)2, 1(xxxxxz7)31 (dd22)2, 1(yyyyyz000d),(d0),(xxyxxyxfxz例例3 3. arctan 的偏導(dǎo)數(shù)求yxz 解xyxyxxz211 22yxy2 1 y1yzxyxy 22yxx將 y 看成常數(shù)y1將 x 看成常數(shù)2yx例例4 4. )0( 的偏導(dǎo)數(shù)求xxzy解 1yxyxz

8、)( 1aaxax ln xxyzy ln)( aaaxx將 y 看成常數(shù)時, 是對冪函數(shù)求導(dǎo).將 x 看成常數(shù)時, 是對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo).以上的敘述雖然是對二元函數(shù) 元及其以上的多元函數(shù)中去.進行的, 但其結(jié)論可直接推廣到三例例5 5. 32的偏導(dǎo)數(shù)求zxyxeu解)1 (232yexuzxyxyxeyuzxyx232232( 3)x xyzuezz例例6 60 0 0 ),( 222222yxyxyxxyyxf討論函數(shù). )0 , 0( 處的連續(xù)性和可偏導(dǎo)性在點解則取 , xky 222220022001limlimkkxkxxkyxyxyxyx由 k 的任意性及極限的唯一性可知該極限不存在,

9、 故函數(shù)),(yxf在點)0,0(處不連續(xù).但是00lim)0, 0()0,(lim00 xxxfxf00lim) 0, 0(), 0(lim00yyyfyf, 0)0,0(xf),(yxf)0,0(在點即函數(shù)可偏導(dǎo), 且 0)0 , 0( ,) 0( ),( 2222fyxyxxyyxf. 0)0,0(yf想想是什么問題 ?該例說明了一個重要問題：該例說明了一個重要問題：對多元函數(shù)來說, 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關(guān)系.這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個本質(zhì)區(qū)別.對多元函數(shù)來說, 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關(guān)系.對多元函數(shù)來說, 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然

10、關(guān)系.這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個本質(zhì)區(qū)別.例例7 7在熱力學(xué)中, 已知壓強 P 、體積V、溫度 T 之間滿足關(guān)系 PV = k T , 其中, k為常數(shù), 證明：. 1PTTVVP證故,VTVP2k類似可得,PTVk從而PTTVVPkkkVPVT21PVTk由關(guān)系 P V=k T 得VTPk,kVPT, 警告各位！偏導(dǎo)數(shù)的符號yx,是一個整體記號,z與yx ,的商.不能像一元函數(shù)那樣將yzxz,看成是四. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyzO1T0y0 x2T.),(yxfz 0P.P tan),( 000yyxfxx平面上在 tan ),( 00 0 xyxfyy上在平面),(0yxfz ),(0yx

11、fz yyxf),(00就是平面0 xx 上的曲線01 I ),(xxyyxfz在點0yy , 即點),(00yx處切線的斜率.xyxf),(00就是平面0yy 上的曲線0 I ),(yyxyxfz在點0 xx , 即點),(00yx處切線的斜率. 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在 , 只是表明函數(shù)沿 x 軸和 y 軸方向是連續(xù)的 , 而二元函數(shù)在一點處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù), 故由偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明:五. 二元函數(shù)的微分中值定理定理),(11和),(22使得點偏導(dǎo), 那么),(U),(00yxyx至少存在一組 )(,()(,( ),(),(02201100yyfxxfyxfyxfyx設(shè)函數(shù)),(yxfz 在),(U00yx內(nèi)可其中, ),(11),(22),(U00yx.證),(U),(00yxyx),(U),(),(0000yxyxyx，),(),(00yxfyxf),(),(0yxfyxf),(),(000yxfyxf自己畫畫圖就知道了由一元函數(shù)的拉格朗日中值定理, 得)(),(),(),(010 xxxyfyxfyxf)(),(),(),(020000yyyxfyxfyxf在與之間,在與之間.1x0 x2y0y記, ),(),(111y, ),(),(2022x那么),(),(0