二向量空間的基與維數(shù)ppt課件

1、二、向量空間的基與維數(shù) 定義定義9 設(shè)設(shè)V為向量空間，假設(shè)為向量空間，假設(shè) r 個向量個向量 1, 2 , r V , 且滿足且滿足(1) 1, 2 , r 線性無關(guān)； (2) V中任一向量都可由1, 2 , r 線性表示，那末，向量組1, 2 , r 就稱向量空間V的一個基，r 稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r 維的向量空間。1、假設(shè)向量空間V沒有基，那末V的維數(shù)為0。2、0維的向量空間只含有一個零向量0。 3、假設(shè)把向量空間V看作向量組，那么V的基就是向量組的極大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。 4、V0 = x = (0, x2, , xn)T | x2, xn R的一個基為：20010

2、,01nee 所以V0是一個n1維的向量空間。5、由向量組1,2,m所生成的向量空間V = x = 11 + 22 + +mm | 1, 2, , m R 。顯然，向量空間V與向量組 1, 2, m 等價，所以向量組1,2,m 的極大無關(guān)組就是V的一個基， 1,2,m 的秩就是V的維數(shù)。 6、假設(shè)向量空間VRn,那么V的維數(shù)不會超越 n 。并且，當 V 的維數(shù)為 n 時，V = Rn 。 7、假設(shè)向量組 1,2,r 是向量空間 V 的一個基，那么 V 可表示為V = x = 11 + 22 + +rr | 1, 2, , r R 。這就清楚地顯示出一個向量空間V的構(gòu)造。例例6 設(shè)設(shè)A = (

3、1,2,3 ) = 221212,122 B = ( b1,b2 ) =1403 ,42 驗證 1,2,3是R3的一個基，并把 b1,b2 用這個基線性表示. 解解 要證要證1,2,3 是是R3的一個基，只需證的一個基，只需證 1,2,3 線性線性無關(guān)，即證無關(guān)，即證A E 即可。即可。設(shè) b1 = x111+x212+x313 b2 = x121+x222+x323即( b1,b2 ) (1,2,3 )111221223132,xxxxxx記作 B = AX。 對矩陣A|B施行初等行變換，假設(shè) A 能變?yōu)?E，那么1,2,3為R3的一個基，且當 A變成 E 時，B 變?yōu)閄 = A-1B.(

4、A|B ) = 221142120312242 111130302303355 111130302300332 11113201013200113 711003201013200113 241003320101.3200113 顯然，A E，故 1,2,3 是 R3 的一個基，且( b1,b2 ) (1,2,3 )243321 .3213 三、過渡矩陣與坐標變換三、過渡矩陣與坐標變換1、過渡矩陣設(shè)n維向量空間V的兩組基為A : 1 , 2 , , nB : 1 , 2 , , n由于A組基與B組基等價，所以11112121212122221122 nnnnnnnnnnccccccccc即(1

5、, 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )C. 稱矩陣 C 為由基1 , 2 , , n到基 1 , 2 , , n的過渡矩陣。其中C =111212122212nnnnnncccccc.cccv = ( 1 , 2 , , n)12nxxx= (1 , 2 , , n )C12nyy,y從而，得1122, nnxyxyCxy或11221. nnyxyxCyx例例7 知知R3的兩組基分別為的兩組基分別為A : 123001011a,b ,c B :123111111y,z,x 且由基 1,2,3到基 1, 2, 3 的過渡矩陣為111012020, C求a、b、c、及x、y、z。解解 由基變換公式由基變換公式110011111