MATLAB在復變函數(shù)與積分變換的應用

1、用Matlab解決復變函數(shù)與積分變換中的問題摘要：復變函數(shù)與積分變換理論性較強,又是解決實際問題的強有力的工具.該課程已深入到數(shù)學的各個分支,如微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等多個學科.然而該課程的很多內容比較抽象,學起來比較枯燥且難學.本文利用MATLAB討論了復變函數(shù)與積分變換中的復數(shù)運算、泰勒級數(shù)的展開、留數(shù)、有理函數(shù)展開、Fourier變換、Laplace變換和復變函數(shù)圖形繪制等幾個問題.這樣不僅提高和完善復變函數(shù)與積分變換方法的實用性,同時可以培養(yǎng)學習者運用MATLAB語言編程的能力,對學習者以后的專業(yè)課及工作中使用數(shù)學軟件進行數(shù)據(jù)處理有很大幫助.關鍵詞：MATLAB; 復變函數(shù);

2、 積分變換目 錄1 引言(1)2 復常數(shù)的運算(1) 2.1 求復數(shù)的實部、虛部、模、幅角、共軛復數(shù)(1) 2.2 對于兩個復常數(shù)之間進行乘法、除法運算及復方程求根(2)3 泰勒級數(shù)的展開(3)4 留數(shù)計算及積分計算和有理函數(shù)的部分分式展開(4) 4.1 留數(shù)計算及積分計算(4) 4.2 有理函數(shù)的部分分式展開(5)5 Fourier變換及其逆變換(6)6 Laplace換變換及其逆變換(8)7 復變函數(shù)圖形繪制(9)參考文獻（10）1 引言復變函數(shù)與積分變換是電力工程、控制領域和通訊等理工科必備的重要課程,同時在解決實際問題中也有十分重要的作用.但是大多數(shù)人在學習這門課程時都會感覺內容抽象,

3、學起來感覺枯燥且難學.如何應用現(xiàn)代高科技信息技術,讓比較難理解的理論與繁雜枯燥的內容變得生動有趣,激發(fā)學習的興趣,以及可以提高計算能力、實踐能力就相當重要.在國際學術界,MATLAB已經被接受為一種準確、可靠的標準計算軟件.用戶可以直接在Command Window內輸入執(zhí)行命令，或者可以建立一個M文件，輸入較大應用程序，編譯完成后一起運行.現(xiàn)在常用的MATLAB語言是基于最為流行的C+語言基礎之上的，因此語法與C+語言有很大的相識，而且較C+語言更加簡單，更符合研究人員對數(shù)學表達式的書寫格式.使之更便利與非專業(yè)人員的使用.并且這種語言可拓展性極強，具有良好的可移植性，這也是在各個領域流行MA

4、TLAB的重要原因.本文把復變函數(shù)與積分變換的學習過程和MATLAB結合起來，把復雜的計算交于計算機，目的是為了提高學生學習的興趣與愛好同時也可以減輕學習的負擔，縮短學習時間，大大提高了教學效果與質量.2 復常數(shù)的運算2.1 求復數(shù)的實部、虛部、模、幅角、共軛復數(shù)在MATLAB中的求解格式為：real(x) %回車x的實部imag(x) %回車x的虛部abs(x) %回車x的模angle(x) %回車x的幅角conj(x) %回車x的共軛復數(shù) 例1 求下列復數(shù)的實部、虛部、模、幅角、共軛復數(shù). (1) (2) (3) 解：在編輯器中建立M文件001.m如下：format rat X=5/4+7

5、i,3*exp(2i*pi/5),i7+i(3/7)+5re=real(X)im=imag(X)ab=abs(X)an=angle(X)co=conj(X)運行結果如下：Z = 5/4 + 7i 305/329 + 2565/899i 7765/1343 - 561/1490ire = 5/4 305/329 7765/1343im = 7 2565/899 -561/1490ab = 2055/289 3 4305/743an = 283/203 142/113 -82/1261co = 5/4-7i 305/329- 2565/899i 7765/1343+561/1490i2.2 對于兩

6、個復常數(shù)之間進行乘法、除法運算及復方程求根 在MATLAB中，兩個復數(shù)之間的乘法、除法可以使用“*”、“/”來實現(xiàn)，求復方程的解使用solve(f(x)=0)來實現(xiàn). 例2 (1) a= b=+ 計算a*b. (2) +5=0求所有根. 解:在命令窗口中輸入如下：>> a=2/(1+5i);>> b=3/5i+3i/(2+4i);>> c=a*bc= -0.0692 - 0.2538i>> solve('x3+5=0')ans= -5(1/3)5(1/3)*(3(1/2)*i)/2 + 1/2)-5(1/3)*(3(1/2)*i)

7、/2 - 1/2)3 泰勒級數(shù)的展開 定理1 （泰勒展開定理） 設在區(qū)域內解析，,為到D的邊界上各點的最短距離當時，為在處的泰勒級數(shù).其中：= =0，1，2， 用函數(shù)taylor來實現(xiàn)泰勒級數(shù)的展開，taylortool可以進行泰勒級數(shù)逼近分析. 例3 求函數(shù)在x=0的泰勒展開式的6次冪多項式和16次冪多項式，并分別進行泰勒級數(shù)逼近分析. 解：在命令窗口中輸入：>> clear>> syms x>> f=exp(-x);>> T1=taylor(f,7) T1 =x6/720 - x5/120 + x4/24 - x3/6 + x2/2 - x

8、+ 1>> T2=taylor(f,17) T2 =x16/20922789888000 - x15/1307674368000 + x14/87178291200 - x13/6227020800 + x12/479001600 - x11/39916800 + x10/3628800 - x9/362880 + x8/40320 - x7/5040 + x6/720 - x5/120 + x4/24 - x3/6 + x2/2 - x + 1 然后運用taylortool命令進行泰勒級數(shù)逼近分析，圖（1）為6次冪多項式泰勒級數(shù)逼近分析，圖（2）為16次冪多項式泰勒級數(shù)逼近分析.

9、圖（1）圖（2） 由上圖可知，泰勒級數(shù)展開的項數(shù)越多，函數(shù)值越接近原函數(shù)，4 留數(shù)計算及積分計算和有理函數(shù)的部分分式展開4.1 留數(shù)計算及積分計算 定義1 設f(x)在0<-<R解析，即a是f(x)的孤立奇點，則稱積分值為f(x)關于點a的留數(shù)，記作Resf(x),a.其中c為在0<-<R內包含在點a的任何一條正向簡單閉曲線. 定理2 設函數(shù)f(x)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點z,z,z.,z處處解析，c是D內包圍所有奇點的一條正向簡單閉曲線，那么=f(x),z 在MATLAB中可用如下方法：假設以知奇點a和m重數(shù)，則用下面的MATLAB語句可求出相應的留數(shù)Limit(f

10、*(x-a),x,a) %返回x=a的一級極點的留數(shù)Limit(diff(f*(x-a)m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m級極點的留數(shù) 例4 求積分dx,C為正向圓周：=4. 解：可知x=0為的一級極點,x=1為的二級極點在編輯器中建立M文件002.m如下：syms xf=exp(x)/x*(x-1)2a1=limit(f*x,x,0)a2=limit(diff(f*(x-1)2,x,1)/prod(1:1),x,1)結果如下：a1 =1 a2 =0所以dx=2iResf(x),0+Resf(x),1=4.2 有理函數(shù)的部分分式展開 在MATLAB的函數(shù)語言中有

11、數(shù)值函數(shù)residue()來求取有理函數(shù)的部分分式展開表示，該函數(shù)的調用格式為：R,P,K=residue(B,A): %回車R為留數(shù) %回車P為極點 %回車K為兩個多項式的比值B(s)/A(s)的部分分式展開的直接項 向量B是分子的系數(shù)、向量A是分母系數(shù)，向量R是返回的留數(shù)，向量P是返回的極點，向量K由的商的多項式系數(shù)組成，若，則為空向量，否則，. 如果存在級極點則有，展開式包括以下形式： 例5 試求函數(shù)的部分分式展開 解：在命令窗口中輸入如下:>> B=1,0;>> A=1,0,-3,-2;>> R,P,K=residue(B,A);>> B

12、,A1=rat(R);>> B,A1,Pans = 2.0000 9.0000 2.0000 -2.0000 9.0000 -1.00001.0000 3.0000 -1.0000結果為: 5 Fourier變換及其逆變換我們平常所用到的積分變換,就是把函數(shù)乘上一個確定的二元函數(shù),然后計算積分,即這樣變成另一個函數(shù).定理3 若f(t)在上滿足：（1）在任何的有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；（2）在無限區(qū)間上絕對可積（即收斂）：則有= 定義2 如果函數(shù)f(t)滿足定理3，由 (1)設 (2)則 (3)(2) 式稱為的傅里葉變換，記為 稱為的象函數(shù)，并且這樣的積分運算稱為取的Fo

13、urier變換，式(3)稱作的傅里葉逆變換式，記為 使用fourier函數(shù)來實現(xiàn)Fourier變換,格式為fourier(f),逆變換可用ifourier(F)來實現(xiàn). 例6 求鐘形脈沖函數(shù)的頻譜函數(shù),然后繪制頻譜圖. 解：在命令窗口中輸入如下：>> syms t w>> f=4*exp(-2*t2);>> F=fourier(f) F =(2*2(1/2)*pi(1/2)/exp(w2/8)>> ezplot(F,-6,6)所得頻譜圖（2）所示圖（2）6 Laplace變換及其逆變換 定義3 如果函數(shù)當時有定義，并且廣義積分 (4)在s的某一區(qū)

14、域內收斂，則由（4）式所確定的參數(shù)為s的函數(shù) 叫做函數(shù)的Laplace變換. 使用laplace函數(shù)來實現(xiàn)Laplace變換，使用ilaplace函數(shù)來實現(xiàn)拉普拉斯逆變換. 例7 證明Laplace變換的時移性質.其中，f為任意的一個函數(shù)，u是階躍函數(shù)，L表示的是Laplace變換. 解：在命令窗口中輸入:>> syms t s>> syms t0 positive>> ft=heaviside(t-t0)*sym('f(t-t0)');>> FS=laplace(ft,t,s);>> FS_t=ilaplace(FS

15、,s,t);>> ft ft =f(t - t0)*heaviside(t - t0)>> FS FS =laplace(f(t), t, s)/exp(s*t0)>> FS_tFS_t =f(t - t0)*heaviside(t - t0) 從運算過程中可以看出，ft=,FS為ft函數(shù)對應的Laplace變換的結果.最后,FS_t的結果為FS函數(shù)的Laplace逆變換,結果為ft=.7 復變函數(shù)圖形繪制 設有所學知識可知繪制復變函數(shù)的圖形，需要四維空間才能滿足.為了避免這一困難，借用兩張復平面：z平面與w平面點集間的對應關系來來描述復變函數(shù). 例8 做圓

16、周=5在映射下的象. 解：在編輯器中建立M文件003.m如下：syms x y z tt=-pi:0.001:pix=5*cos(t)y=5*sin(t)z=x+i*yw=z+5./zsubplot(2,1,1)plot(z)title(z=5*cos(t)+i*5*sin(t)axis equalsubplot(2,1,2)plot(w)title(w=3*z+5./z)axis equal運行結果如圖(3)所示：圖（3）參考文獻：1葛美寶.利用MATLAB促進復變函數(shù)與積分變換的教學改革J.科技信息，2009，314（30）：36-40.2霍新霞,張世唯.復變函數(shù)與積分變換課程教學探究J.

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