大一線性代數(shù)的知識點

1、2021年線性代數(shù)必考的知識點1、行列式1. n行列式共有n2個元素,展開后有n!項,可分解為2n行列式; 2代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、Aj和aj的大小無關(guān)； 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0； 、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為A ；33代 數(shù) 余 子 式和 余 子 式 的Mj ( 1)j jAjA (仃 Mj4. 設n行列式D :n(n 1)將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為D,那么Di( 1) 2 D ；n (n 1)D3,那么將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90°,所得行列式為 D2,那么D2( 1) 2 D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為D4

2、,那么D4D5.行列式的重要公式：、主對角仃列式:主對角兀素的乘積；n(n 1)(1)2、副對角仃列式:副對角兀素的乘積；、上、卜二角行列式(k):主對角元素的乘積;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置),所得行列式為n (n 1) 、匚和丄：副對角元素的乘積(1) 2、拉普拉斯展開式：c b o b(1)mgn A B、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;、特征值;6.對于n階行列式A,恒有:n(1)k Skn k,其中S為k階主子式；7. 證實A 0的方法:、A A、反證法; 、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0,證實其有非零解； 、利用秩,證實 r(A) n ； 、證實0是其特征值；2、矩陣1. A是n階可

3、逆矩陣：A 0 (是非奇異矩陣)；r (A) n (是滿秩矩陣)A的行(列)向量組線性無關(guān)；齊次方程組Ax 0有非零解；b Rn,Ax b總有唯一解；A與E等價；A可表示成假設干個初等矩陣的乘積；A的特征值全不為0; ata 是正定矩陣；A的行(列)向量組是 Rn的一組基；A 是 Rn中某兩組基的過渡矩陣；* *AA A A A E2. 對于n階矩陣A ：1-無條件恒成立；3. (A 1)* (A*) 1(A 1)T (At) 1(A*)T (At )*(AB)t BtAt(AB)* B*A*(AB) 1 B 1A 14. 矩陣是表格,推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和；5. 關(guān)

4、于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均 a、b可逆：AAA2假設0,那么：AsI、AA1 A2L As；A1n、A 1A210；1As、A010BA100 .B 1；(主對角分塊)、0B1A00A 1B 1；0 ；(副對角分塊)、AO、AA 1oB SA 1 B 1 ；(拉普拉斯)A 1 a 1cb 1A；(拉普拉斯)O B93、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個m n矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形,其標準形是唯一確定的:ErOFO O m n等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；2.3.4.對于同型矩陣A、 B,假設 r(A) r(B)行最簡形矩陣

5、： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1 ； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為A: B ；初等行變換的應用：(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)、假設(A,E) : (E ,X),那么 a可逆,且 X A 1 ；71 c、對矩陣(A,B)做初等行變化,當 A變?yōu)镋時,B就變成,即: (A,B)r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax b,如果(A,b). (E,x),那么A可逆,且初等矩陣和對角矩陣的概念：初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;、,左乘矩陣A, i乘A的各行元素；右乘,乘A的各列元素;對調(diào)兩行或兩列,

6、符號E(i,j),且 E(i, j) 1E(i, j),例如：1倍乘某行或某列,符號E(i(k),且 E(i (k) 11E(i(),例如: k(k倍加某行或某列,符號E(ij (k),且 E(ij(k)E(ij( k),如:(E,A1B)；0),(k 0)；矩陣秩的根本性質(zhì):、0 r(Am n) min(m,n)； r(AT) r(A)；、假設 p、q可逆,那么 r(A) r(PA)max(r(A),r(B) r(A,B)r(AQ) r(PAQ)r(A) r(B)；宀(可逆矩陣不影響矩陣的秩 )假設 A : B,那么 r(A) r(B)；、r(A B) r(A) r(B)；宀 、r(AB)

7、min(r(A),r(B)；(探) 、如果A是m n矩陣,B是n s矩陣,且AB 0,那么：(I、B的列向量全部是齊次方程組 AX 0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；n、 r(A) r(B) n 、假設A、B均為n階方陣,那么r(AB) r(A) r(B) n ;6.三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量) 式,再采用結(jié)合律；行矩陣(向量)的形、型如1 a co i b的矩陣：利用二項展開式;0 0 1二項展開式:(a b)nc0an C；an 1b1 LcmanC；bnnm m. n mCn a b ；m 0注：I、 (a b)展開后有n 1項;n、Cm n(n 1)L L

8、(n m 1)n1g2g3g_ gm組合的性質(zhì)：Cnm C；m、利用特征值和相似對角化：7伴隨矩陣：* r(A) 、伴隨矩陣的秩： 、伴隨矩陣的特征值：n!0nCnCn1m!(n m)!CmcmCn 1Cncm1n亠rjCn2r 0nr(A)n1r(A)n10r(A)n1 ；(AX*X, AAA 1rcn n c：1；*/>lA X X). 、8. 關(guān)于a矩陣秩的描述： 、r(A) n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0;(兩句話) 、r (A) n , A中有n階子式全部為0 ； 、r(A) n , A中有n階子式不為0 ；9. 線性方程組：Ax b,其中A為m n矩陣,

9、貝卩： 、m與方程的個數(shù)相同,即方程組Ax b有m個方程； 、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同,方程組Ax b為n元方程;10. 線性方程組Ax b的求解： 、對增廣矩陣B進行初等行變換(只能使用初等行變換)； 、齊次解為對應齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；bn11. 由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:a11 x1a12 x2La1n xnb1a21x1a22 x2La2n xnb2LLLLLLLLLLL；am1x1am2x2Lanmxnbna11a12La1nx1b1a21a22La2nx2b2AxbMMOMMM向量方程, A 為 mam1am2Lamnxmbmb1x1

10、b2a1 a2Lanx2M12nM全部按列分塊,其中；、n 個未知數(shù)、n 矩陣, m 個方程,xn、有解的充要條件：rA rA, n n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)、 a1x1 a2 x2 L線性表出anxn4、向量組的 線性 相關(guān)性1. m 個 n 維列向量所組成的向量組 A : m個n維行向量所組成的向量組 B : 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2,L , m 構(gòu)成 n m 矩陣 A ( 1, 2,L2T,L , mT 構(gòu)成 m n 矩陣 BT2；m)2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 、向量的線性表出 、向量組的相互線性表示Ax 0 有、無非零解；齊次線性方程組Ax b是否有解；線性方程組

11、AX B 是否有解；矩陣方程3.矩陣Am n 與 Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組AX 0和BX 0同解；Roi例 144. r(ATA) r(A) ； (PWi 例 15)5. n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、 線性相關(guān)0 ； 、 , 線性相關(guān), 坐標成比例或共線平行； 、 , , 線性相關(guān), , 共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：假設!, 2丄,s線性相關(guān),那么1, 2,L , s, s 1必線性相關(guān)；假設 1, 2,L , s 線性無關(guān),那么 1, 2,L , s 1必線性無關(guān)；向量的個數(shù)加加減減,二者為對偶假設r維向量組A的每個向量上添上 n r個分量,構(gòu)成n維向量

12、組B :假設 A 線性無關(guān),那么 B 也線性無關(guān)；反之假設 B 線性相關(guān),那么 A 也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減) 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān),反之,不確定；7. 向量組A (個數(shù)為r )能由向量組B (個數(shù)為s)線性表示,且A線性無關(guān), 那么 r s；向量組A能由向量組B線性表示,那么r(A) r(B)； 向量組A能由向量組B線性表示AX B 有解； r(A) r(A,B)向量組A能由向量組B等價 r(A) r(B) r(A,B)8. 方陣A可逆 存在有限個初等矩陣Pi,P2丄,P,使A P1P2LR；r 、矩陣行等價：AB PA B (左乘,P可逆) AX 0與Bx 0同解 、矩陣列

13、等價：AB AQ B (右乘,Q可逆)； 、矩陣等價：A B PAQ B ( P、Q可逆)；9. 對于矩陣Am n與Bm : 、假設A與B行等價,那么A與B的行秩相等； 、假設A與B行等價,那么Ax 0與Bx 0同解,且A與B的任何對應的列向量組 具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10. 假設 Am sBsn Cm n,貝/ 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示,B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示,AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11. 齊次方程組 Bx 0的解一定是 ABx 0的解, 測試中可以直接作為定理使用,而 無需證實 ；

14、、 ABx 0 只有零解 Bx 0只有零解； 、 Bx 0 有非零解 ABx 0一定存在非零解；12. 設向量組Bn r : b1,b2,L ,br可由向量組An s ： 4 ,比,Ls線性表示為：(b1,b2,L ,br) (a1,a2,L,as)K( B AK )其中K為s r,且A線性無關(guān),那么B組線性無關(guān)r(K) r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性 )(必要性： Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ；充分性：反證法)注：當r s時,K為方陣,可當作定理使用；13. 、對矩陣Amn,存在Qn m ,AQEm(A) m、Q的列向量線性無關(guān)；、對

15、矩陣Amn,存在Pn m ,PAE.(A) n、P的行向量線性無關(guān)；14. 1, 2,l , s線性相關(guān)存在一組不全為 0的數(shù)k1,k2,L ,ks ,使得k1 1 k2 2 L ks s 0成立；(定義)x1 ( , ,L, ) x20有非零解,即 Ax 0有非零解；1 2 s Mr( i, 2,L , s) s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù);Ax 0的解集S的秩為:15.設m n的矩陣A的秩為r,那么n兀齊次線性方程組r(S) n r ；16.假設*為Ax b的一個解,l,2,L,nr為Ax 0的一個根底解系,那么*,1,2丄,nr線性 無關(guān)；5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣 AtA E

16、或A 1 At (定義),性質(zhì)： 、A的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即aTaj1ij(i,j1,2丄n)；j0ij, 、假設A為正交矩陣,貝U A1 AT也為正交陣,且A 1 ； 、假設A、B正交陣,那么AB也是正交陣；注意：求解正交陣,千萬不要忘記 施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化：佝丄,ajb a1 ；b2a2b1,b1pL L Lbrb,arb2,argLbr 1,arb,b S b2,b2gb2br 1,br 13. 對于普通方陣,不同特征值對應的特征向量線性無關(guān); 對于實對稱陣,不同特征值對應的特征向量正交；4. 、A與B等價A經(jīng)過初等變換得到B ；PAQ B , P、Q 可逆；r(A