層次分析法論文

1、歐洲五大足球俱樂部的數(shù)學建模分析論文統(tǒng)計學 楊子清 101202110117前言：縱觀當今歐洲足壇, 風起云涌, 豪強并起.巴薩皇馬,稱雄西甲；德甲拜仁, 一枝獨秀；藍黑軍團國際米蘭,逐鹿意甲之天下；英超一霸切爾西,竟然也能在 高手如林的歐冠賽場捧杯. 歐洲的足球水平為何如此之高？五大豪強的經驗又帶 給了我們什么樣的啟示呢？這便是本文要探討的問題. 本文引用了數(shù)學建模的思 想,采用了層次分析法對歐洲五大足球俱樂部的綜合實力進行理性而深入的分 析.所謂數(shù)學建模,就是對現(xiàn)實世界中的某一特定現(xiàn)象,為了某一特定的目的, 做的簡化假設,運用數(shù)學工具,得到一個數(shù)學結構.而層次分析法,是建模中常 用的方法之

2、一.通過層與層之間的比照分析,得出實際問題中的某些結論.本文所研究的問題是關于五大足球俱樂部的綜合實力排名情況. 現(xiàn)實的足球 世界中,影響一支球隊的綜合水平有許多. 例如進攻水平、 防守水平、球員水平、 教練的執(zhí)教水平、 裁判的執(zhí)法水平等. 這些因素都是對于一支的球隊綜合實力有 著或多或少的影響. 但他們各自的權重并不一樣, 所以,如何篩選這些因素是本 文分析的關鍵所在.眾所周知, 當數(shù)學模型建立之后, 還不能馬上用于實際分析, 必須對模型做 進一步的檢驗.由于本文數(shù)據分析過程較為繁瑣,所以檢驗局部并非人工完成, 而是運用電腦軟件 R 來完成的.采用了 Satty 的檢驗方法對模型進行分析,

3、使模 型分析的可信度大大提升.關鍵詞 ：數(shù)學模型、層次分析法、歐洲足球7數(shù)學建模的根本過程:如下列圖所示圖1:數(shù)學建模根本流程圖層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化,并用數(shù)學為分析、決策、預報或控 制提供定量的依據.這一方法的特點是在對復雜決策問題的本質、 影響因素以及 內在關系等進行深入分析之后,構建一個層次結構模型,然后利用較少的定量 信息,把決策的思維過程數(shù)學化,從而為求解多目標、多準那么或無結構特性的復 雜決策問題提供一種簡便的決策方法,尤其適合于人的定性判斷起重要作用 的、對決策結果難于直接準確計量的場合.二、問題重述本文將對歐洲五大足球俱樂部巴塞羅那、皇家馬德里、國際米蘭、切爾西、

4、拜仁慕尼黑的綜合實力進行分析.利用層次分析法,把問題分成三個層次,即 目標層、準那么層、方案層.其根本思想是：通過準那么層各因素對目標層的重要程 度比擬的量化,經過適當?shù)臄?shù)學推導,得出前述的各權系數(shù).三、問題分析首先本文的研究目的是為了評價歐洲五大球隊巴薩、皇馬、拜仁、國米、 切爾西的綜合實力.對于一支球隊來說,球員是組成球隊的重要局部,因此, 球員水平上下將直接影響球隊的實力.其次,球隊在比賽的過程中是通過進球來獲得比賽的勝利的,而要想進球, 就要攻破對手的防線,所以進攻水平也是綜合實力的表達.最后,球隊的防守的效果,是決定球隊立于不敗之地的關鍵所在, 也是球隊 綜合實力的一個評價指標.四、

5、做出假設,畫出層次分析圖基于以上的分析：1、假設球隊的綜合實力主要表達在自身的進攻實力、防守實力已經球員能 力.2、假設影響一支球隊獲勝的其他因素均視為隨機誤差.3、假設足球比賽中獲勝、平局、落敗的概率相等沒有暗箱操作. 故層次分析圖如下所示：目標層f>五支歐洲俱樂部足球隊綜合實力Ak準那么層防守指數(shù)B2方案層員身價總值B切 爾 西C5圖2:層次分析圖五、方案說明1、符號說明:表1:符號說明圖A五支球隊的綜合實力B1進攻指數(shù)B2防守指數(shù)B3球員的身價總值C1巴薩羅那C2皇家馬德里C3拜仁慕尼黑C4國際米蘭C5切爾西六、兩兩比擬、建立判別矩陣構建層次分析結構之后,將問題歸結為各支俱樂部球隊

6、三個表達綜合實力的 指標進行排序.所以,我們要在各層中對元素進行兩兩比擬,構建判別矩陣.層 次分析法主要是人們對每一層次中各因素相對重要性給出的判斷,這些判斷通 過引入適宜的標度,用數(shù)值表示出來,寫成判斷矩陣.判別矩陣表示針對上一層 次因素,本層次與之有關因素之間的相對重要性的比擬.因此,首先判斷B1、B2、B3對于A的重要性.眾所周知,每一支球隊都是由 每一個足球運發(fā)動組成的.所以,球隊實力的表達最重要的局部,應該是球員的 身價總值；其次,評價一支球隊的強弱,應該看球隊的進攻水平,倘假設一支球隊 進球多,那么它獲勝的可能性也就比擬大： 同樣球隊的防守水平也很重要,只要 簡單地設想一下就知道,

7、如果這支球隊失球數(shù)越少,那么它獲勝的可能性也就大.接著就是確定各元素的權重,考慮都各元素對目標元素的影響,可用下表數(shù) 值表示：表2:權重的對應的數(shù)值Xi/Xj相等較強強很強絕對強aij13579假設介于上述二者之間,那么取2、4、6、8,由此得到的矩陣A為正互反矩陣 依據上文的分析,球員身價的權重應該是最大的.其次是球隊的進攻指數(shù).權重最小的應該是防守指數(shù).所以,基于上表的數(shù)據,我們確定A-B矩陣為:AB1B2B3B1131 /3B21/311/5B3351各球隊數(shù)據如下,通過對一下數(shù)據的粗步分析表3:五支球隊的具體數(shù)據排各球從奶、倍球成功率搶斷戒功率1巴塞羅那175763%75%69%192

8、皇家馬德里17d179%7£%53%173葬仁專尼黑174465%92%63%7din誹蘭1730m71%52%191726m01%55%17巴薩羅那的進球數(shù)主要指標最多,傳球成功率也最高,其次是拜仁、皇馬、 國米、切爾西.失球數(shù)最多的是巴薩和國米,其次是皇馬和切爾西、最后是拜仁 所以我們可以做出如下矩陣：B1-CB1C1C2C3C4C5C113245C21/311/223C31/23134C41/41/21/212C51/51/31/41/21從數(shù)據上看,巴薩和國米失球最多,17場比賽共失球19個,其次是皇馬和切爾西,共失球17個,而拜仁失球最少,只有7個.以此建立B2-C矩陣為：

9、B2-CB2C1C2C3C4C5C111/31/511/3C2311/331C353153C411/31/511/3C5351/331從體育網站上獲得的數(shù)據：目前,各支球員身價總值為歐元：巴薩5.4億、皇馬5.245億、國米3.6725億、切爾西3.62億、拜仁3.031億.所以B3-C矩陣：B3C1C2C3C4C5C113957C21/31735C31/91/711/51/3C41/51/3513C51/71/531/31七、一致性檢驗對于判別矩陣的一致性檢驗,本文采用 Saaty提出的平均隨機一致性檢.假設 某矩陣為一致性矩陣,其最大特征根為n,其余特征根為0.通常用CI來衡量一致 性.如

10、果CI越小,那么一致性越好.但這種方法用缺陷,所以,Saaty提出平均隨機,引入了 RI概念,并用CR=CI/RI來衡量矩陣的一致性,當CRvO.1時,那么認為矩 陣有較滿意的一致性.其中：C=凡mu -M=兒“小 1"注：Satty給出的RI標準為N12345RI000.580.91.12運用R軟件可以求的矩陣的特征值和特征向量.并可從中確定最大特征根, 將其代入公式,就可以求的CR勺取值.運用R軟件計算得：A-B矩陣的CR«0.07<0.1,所以矩陣A通過一致性檢驗.B1-C矩陣的 CR=2.232143e-0.8<0.1,二 B1-C也通過檢驗.B2-C矩

11、陣的CR=0<0.1A B2-C矩陣通過一致性檢驗.B3-C矩陣的 CR=-2.232143e-0.8<0.1 二 B3-C矩陣通過一致性檢驗.八、模型的優(yōu)缺點該模型主要運用了層次分析法進行數(shù)據分析,其優(yōu)點是：1、通過層與層之間的比照分析,使讀者對于這五大足球俱樂部的綜合 實力有了進一步的熟悉主要通過判別矩陣.2、從過層次分析法得到五支球隊的綜合實力評價,要比根據自己的主 觀分析得都的綜合實力評價顯得客觀一些.3、通過建模分析實際問題可以到達深入簡出的效果.其缺點是: 1、由于本人學藝不精,沒能完全掌握層次分析法的精髓,故在做一致性 別時沒能采用最好的方法.導致分析的結果與實際的結

12、果有所不同. 2、判別矩陣中的各元素自己全是本人憑經驗臆測得出的.沒有經過專業(yè)人 士的認證.所以得出的判別矩陣可能與真實的判別矩陣略有不同.九、結論 基于模型本身,通過以上的分析可以得出最終的綜合實力排名情況為： 巴薩、拜仁、皇馬、切爾西、國米.在這五大俱樂部球隊中,巴薩羅那隊擁有豪 華的球員陣容, 進攻水平是五支球隊當中最強的, 但防守的水平比擬弱； 皇馬同 樣擁有豪華的球員陣容, 但進攻水平稍弱, 防守水平也稍弱 或許是由于這幾場 比賽是狀態(tài)低迷的原因；拜仁雖然沒有豪華的球員陣容,但進攻水平比擬強, 而防守水平又是這五支球隊中最好的, 歷來都是歐冠的一支勁旅. 因此, 個人認 為拜仁擁有很

13、強的實力； 國米最近幾場比賽中所表達的進攻水平和防守水平都偏 弱,可以說球隊正處于下滑期, 但就此判斷國米的真實實力為時尚早, 再怎么說, 畢竟也是當年叱咤綠茵場的米蘭雙雄中的一員；切爾西也是沒有豪華的球員陣 容,所以進攻水平偏弱是可以理解的, 但切爾西的防守水平還是可以跟五大球隊 抗衡的. 2021年,切爾西正是憑借自己的防守水平擊敗各路豪強, 奪得歐冠聯(lián)賽 的冠軍.因此,切爾西的實力也不容小覷.十、附錄1 、陳汝棟 于延榮 ?數(shù)學某型與數(shù)學建模? 國防工業(yè)出版社 20212 、王宗軍 ? 綜合評價的方法、問題及其研究趨勢理科學學報? 高等教 育出版社 20213 、李虎 ?足球天下? 第五

14、頻道出版社 20214 、陶路 ?歐洲五大聯(lián)賽球隊排行榜? 新浪體育 xinlang R軟件運行結果如下：> anuarr 1xCc(1.1/3. 3,3 B1.5 B1/3 1/5 Bl> ,nrow-3 Bncol-3> AIE-1 . 2 JdJ1p 1-OOOOOOO 3 oa13333332, O33333331 O20000003. m OOOOOOO 5 丄.OOOOOOO> A,ei gen-ei genfA B symmerr1c-T)> A.ei genSvalues15981874907060961 -4a 679711vectorsC.l

15、1p -OB 3817072 2. -O6047305 3.1 -O979039f2J-30.8S787978 -O.341776351313907 -0.6090890 -OL 02702927.7156S1Z> CIC(6r 9S1S?4&+Ot 7-4r 6J-3>/2> CI1 0B 04093745> CR-CT/O 58> CiR1 Q,0708181圖3: A-B矩陣運行結果r.ur.2jr3,451.11.00000003.00000002.004.052.0.50000001,00000000+502,033.0.33333333+000

16、0000l + 003.044 J0.25000000+5OOOQQ00+501.0250,20000000.33333330.250. 51> B> B. eigen=ei gen(eTsymmetric)> B.eigena 日 te 彳 gi gie nB f s-ymmt1 亡=T)> b.1genSvalues|14. 3G02477 X. 31B5S41 O. >249O.4SS42O0 -2,00572101 09Svet.ors.1 1B=O丄9丄呂1242 -G-6675537 3 p -OB 6604696 4 . -D 2 3 53170 5

17、 B 一O16139242951104O,2130609O亠 24 5054 8-O.5833&346334<&06L.3Q 9349 346 -Ch 04124139 -Oa 08841579 -D 2丄292920 二O 26644673.4O"02391565O.060620076 03638985 一右.74759159Q 6599233b50392633330,7O5&O5215 -0.7032423970.005279513-0. 01B458534> CI=(36S24 77+ le 319Sa41 + 0, &32469?+

18、 0, 4854200 -2= 00 57210>-5/4> CI1王.5e-08A CiR-CT/1 JL2> CR1 2.232143e-08圖4: B1-C矩陣運行結果.1,2,3.4,51J10.33333330.200000010.333333331.00000000.333333331.00000003J53.00000001.000000053.00000004 J10.33333330.200000010.3333333535.00000000.333333331.0000000> t. eigerd gen<C pSymmetr ic»

19、T>> t.eigen$valuesCL 11. 2620074 52.38108445 Ox O220341S -3. -48923522 -5. 67 5B9085$vectorspl-2p3-4pSC1.1O 52073770.30043861-0.254581506560725O 3785842E2.O 51S4137-O.O54O852S0. 5 37124 9Q4561000O4814475L3. J04251500,56172762-0,2963748=04349S91O4761061E4,l(J. 2167790-0,5853615S-0,6963450+ 0 2908601O 20214 SICs. J-048200490,498523430.27193880 2962307-O 5977814A CI=C<11.26200745 + 2.BB106445 + O02203斗IE -3.43923523 -S,67SS9085 + 3-5V4> CR=CI/1.12a CR圖5: B2-C矩陣運行結果11 山1J 1.0000000 3-00000002J G33333J3 1.00000003J 0.1111111 0,14285714J 0.2000000 0,33333335J 0.142