123__角的平分線的性質(zhì)

1、從一個角的頂點引出一條射線，把這從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線線叫做這個角的角平分線12.3 角的平分線的性質(zhì)1.1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過程中，掌握在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)角平分線的作法和角平分線的性質(zhì). .2.2.提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力；掌提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力；掌握簡單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應用握簡單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應用. . 不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩

2、個相不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角等的角. .你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC再打開紙片再打開紙片 ，看看折痕與這個角有，看看折痕與這個角有何關系？何關系？ 對折對折 如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？角，又該怎么辦呢？ 觀察下面簡易的平分角的儀器，其中觀察下面簡易的平分角的儀器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.將點將點A A放在角的頂點，放在角的頂點，ABAB和和ADAD沿著角的兩邊放下，沿沿著角的兩邊放下，沿ACAC畫一條射線畫一條射線AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平

3、分線的平分線. .你能說明它的道你能說明它的道理嗎？理嗎？B BD DA AC CE E 【證明證明】 在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）B BD DA AC CE E 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角個角的平分線？（不用角

4、平分儀或量角器）器）尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)作角的平分線畫法：畫法：1.1.以以O O為圓心，適當長為半徑作弧，交為圓心，適當長為半徑作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB于于N N2.2.分別以，為圓心大于分別以，為圓心大于 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在AOBAOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于3.3.作射線作射線OCOC射線射線OCOC即為所求即為所求OABNMC12證明證明: :連接連接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)，AOC=BO

5、CAOC=BOC，即即OC OC 是是的平分線的平分線. .為什么為什么OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線? ?OABNMC 將將AOBAOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？你能得出什么結(jié)論？猜想猜想: :角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .證明證明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一點（已知），上一點（已知），D DP=BP=BP P（角平分線定義），（角平分線定義），P

6、DOA,PEOB PDOA,PEOB （已知），（已知），ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定義），（垂直的定義），在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=BOP DOP=BOP （已證），（已證）， ODP=OEP ODP=OEP （已證），（已證），OP=OPOP=OP（已知），（已知）， OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)，PDPDPEPE（全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E，求證求證: PD=PE.: PD=

7、PE.P PA AO OB BC CE ED D12定理：定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .用符號語言表示為：用符號語言表示為：1= 21= 2， PD OA PD OA ，PE OBPE OB，PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)1.1.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC

8、. BAEDCF【解析解析】根據(jù)角的平分線的性質(zhì)根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得得DE=DFDE=DF，再根據(jù)，再根據(jù)HLHL證明證明BEDBEDCFD,CFD,從而得到從而得到EB=FC.EB=FC.2.2.（寧德（寧德中考）如圖，已知中考）如圖，已知ADAD是是ABCABC的角平分線，在不的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使添加任何輔助線的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一個，需添加一個條件是：條件是：_，并給予證明，并給予證明. . B D AEFc【解析解析】解法一：解法一：添加條件：添加條件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAEDAFDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加條件：添加條件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAEDAFDAFD（ASAASA）.