中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)——中點(diǎn)專題

1、可倍長例 1、 如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E 是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC點(diǎn)F，AF=EF，求證：AC=BE.變式、 如下圖所示，在ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EFAD交CA的延長線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn) G，若AD為ABC的角平分線，求證：BG CF.例2、如圖 , 在 Rt ABC 中 , BAC 90 , 點(diǎn)D為BC中點(diǎn), 點(diǎn)E、F 分別為AB、AC上的點(diǎn), 且 ED FD . 以線段BE、 EF、 FC為邊能否構(gòu)成一個三角形?若能, 請判斷此三角形的形狀.變式 1 、 如圖所示，已知M為ABC中 BC邊上的中點(diǎn)，AMB、AMC 的平分線分別交AB、 AC于

2、點(diǎn)E、F，連接EF求證：BE+CF>EF變式2、如圖所示，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DMDN，如果BM 將圖 1 中的 ADE 繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)到圖2 的位置 , 此時 AC/ DE 判斷 (1) 中的結(jié)論是否仍然成立, 并說明理由.+CN2=DM2+DN2，求證：AD2= 1(AB2+AC2) 。4例 3、 已知 : ABC和 ADE 是兩個不全等的等腰直角三角形, 其中 BA BC , DA DE , 連接EC,取 EC的中點(diǎn)M,連接BM和 DM.(1) 如圖 1, 如果點(diǎn)D、 E 分別在邊AC、 AB上 , 那么BM、 DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是檢測1、 在 ABC中 ,AD 是邊B

3、C上的中線, 已知 AB 4, AC 6 , 則中線AD的取值范圍是。檢測2、如圖，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF。求證：BE CF> EF。(4 分)【類型二】見等腰三角形，想“三線合一”例 4、 如圖所示: 一幅三角板如圖放置, 等腰直角三角板ABC固定不動, 另一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)D處 , 且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) , 在旋轉(zhuǎn)過程中, 兩直角邊的交點(diǎn)G、 H始終在邊AB、 BC上 .(1) 在旋轉(zhuǎn)過程中線段BG和 CH大小有何關(guān)系?證明你的結(jié)論.(2) 若 AB BC 4cm, 在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的

4、面積是否改變?若不變, 求出它的值; 若改變 , 求出它的取值范圍.(3) 若交點(diǎn)G、 H 分別在邊AB、 BC的延長線上, 則 (1) 中的結(jié)論仍然成立嗎?請畫出相應(yīng)的圖形, 直接寫出結(jié)論例5、如圖，點(diǎn)P是等腰RtABC底邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P 作BA、AC的垂線，垂足為E、F，設(shè)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，求證：DEF是等腰直角三角形檢測1、如圖 ,ABC是等腰直角三角形, AB AC ,D 是斜邊BC的中點(diǎn),E、 F 分別是AB、AC邊上的點(diǎn), 且.(1) 請說明: DE DF ;(2) 請說明: BE 2 CF 2 EF 2 ;(3) 若 BE 6, CF 8, 求 DEF 的面積 (直接寫結(jié)果).

5、【類型三】見斜邊想中線例 6、 如圖 , 在 ABC中 , 若 B 2 C, AD BC,E 為 BC邊中點(diǎn), 求證 : AB 2DE .例 7、 如圖， 在 Rt ABC中 , ACB 90 , 點(diǎn) D、 E分別為AB、 BC的中點(diǎn), 點(diǎn) F在 AC的延長線上, FEC B .請問 CF DE 成立嗎?試說明理由.( 提示 : 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.)1檢測 1、 在 ABC 中 , ACB 90 ,M 是 AB的中點(diǎn),E、 F 分別是AC、 BC延長線上的點(diǎn), 且 CE CF 1 AB ,2則 EMF 的度數(shù)為 檢測 2、 如圖在 Rt ACB中，C為直角頂點(diǎn)， ABC=2

6、5°，O為斜邊中點(diǎn)，將 OA繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)° ( 0<< 180)至OP，當(dāng)BCP恰為軸對稱圖形時，的值為.【類型四】見多個中點(diǎn)，想中位線例8、如圖1 ，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F 分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、 N，則BME= CNE（不需證明）.與 BA的延長線交于點(diǎn)G，若EFC=60°，連結(jié)GD，判斷AGD的形狀并證明例9、如圖, 在 ABC 中 , AB AC ,E 是AB的中, 點(diǎn),D 為AB的延長線上一點(diǎn), BD AB連接CD,CE.求證:CE 1 CD .2檢測1、如圖 ,在 A

7、BC中 , 點(diǎn)O是重心, BC 10, 連接AO并延長交BC于點(diǎn) D, 連接BO并延長交AC于點(diǎn)E,AD BE . 若 BE 2OD 6, AO 6 , 則 AC的值為 。MN的長不可檢測 2、 如圖 , 四邊形ABCD中 ,AB 與 CD不平行 ,M,N 分別是 AD,BC的中點(diǎn) , AB 4 , DC 2, 則 能是 (A.3 B.2.5 C.2 D.1.5Q、 R分別是1、如圖所示, 在等腰梯形ABCD中 , AB/CD, AD BC,AC 與 BD交于點(diǎn)0, AOB 60 ,P、OA、 BC、 OD的中點(diǎn). 求證 : PQR 是正三角形.2、 如圖，在五邊形ABCDE中，ABC= AE

8、D=90°，BAC= EAD，點(diǎn)F 為 CD的中點(diǎn)，求證：BF=EF.3、已知: ABD 和ACE 都是直角三角形, 且 ABD ACE 90 . 如圖甲 , 連接DE,設(shè) M為 DE的中點(diǎn).(1) 說明 : MB MC ;(2) 設(shè) BAD CAE , 固定 ABD , 讓 Rt ACE 繞頂點(diǎn) A 在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置, 試問 : MB MC4、探究AE， B問題1 、已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AEBC，BFAC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn) 交于點(diǎn)M，連接DE， DF若DE=kDF，則k 的值為 。拓展MAC=問題2、已知：如圖2，三角形ABC中，CB=C

9、A，點(diǎn)D是 AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且 MBC，過點(diǎn)M分別作MEBC，MFAC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF求證：DE=DF推廣DF之問題3、如圖3，若將上面問題2 中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B CA”，其他條件不變，試探究DE與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論1、如圖ABC中 , AB 5， AC 3, 中線AD 2,則 BC長為 2、如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BEAC，延長BE交AC于F，AF與EF相等嗎？為什么？請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；DF .4、 如圖, 在 ABC中 , AB AC , 點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DE、D

10、F分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F.求證: DE6、如圖，CED CDE , ACE B AM CM , MN /AB, 求證：7、 如圖，在ABC中，AC BC， C 90 ， D 是 AB 的中點(diǎn)，DE上，求證：DE DF ?！绢愋腿?、 如圖, 已知銳角ABC 中 ,CD、 BE分別是AB、 AC邊上的高,M、 N分別是線段EN DN .DF ，點(diǎn) E,F 分別在AC, BCBC、 DE的中點(diǎn). 求證: MN DE ;5、 如圖 , 點(diǎn) D、 E在 ABC的 BC邊上, AB AC , AD AE. 求證 : BD CE.9、 如圖，ABC=ADC=90°，M、N分別是AC、BD

11、的中點(diǎn)求證：（1） BM=D；（M2）MNBD。10、 如圖 , ABC中 ,AD 是邊BC上的高,CF 是邊 AB上的中線, 且 DC BF , DE CF 于 E, 問 E是 CF的中點(diǎn)嗎?試說明理由.【類型四】11、 已知 , 如圖 , 四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn), 試問 , 四邊形EFGH是什么四邊形 ?為什么?要使四邊形EFGH是矩形, 對角線AC,BD有何關(guān)系?12、 如圖 ,D 是ABC中AB邊的中點(diǎn), BCE 和 ACF 都是等邊三角形,M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).(1) 求證 : DMN 是等邊三角形;(2) 連接EF,Q是 EF中點(diǎn)

12、 , CP EF 于點(diǎn) P.求證 : DP DQ .同學(xué)們 , 如果你覺得解決本題有困難, 可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考:小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn), 因此考慮構(gòu)造三角形的中位線, 添加出了一些輔助線; 小慧同學(xué)想到要證明線段相等, 可通過證明三角形全等, 如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢?她考慮將NCM 繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對應(yīng)線段的位置, 由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.13、 如圖, 已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AB、DC,E為OB的中點(diǎn),F 為OC的中點(diǎn), 連接 EF.若 A D ,OEF OFE, 求證 : AB DC .114、 已知ABC是等腰直角三角形，BAC 90 ， CD BC ， DE CE ， DE CE ，連接 AE ，2點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)。（ 1 ）如