中考數(shù)學(xué)專題提升(十三)以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

1、專題提升 (十三 ) 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明經(jīng)典母題】如圖 Z131，DB為半圓的直徑， A為BD 延長線上的一點(diǎn)， AC切半圓于點(diǎn)E，BCAC 于點(diǎn) C，交半圓于點(diǎn) F.已知AC12，BC9，求 AO 的長經(jīng)典母題答圖解：如答圖，連結(jié) OE，設(shè)O 的半徑是R，則 OE OB R.在 RtACB 中，由勾股定理，得AB AC2BC2 15.AC切半圓 O于點(diǎn) E，OEAC，OEA90°C，OEBC， AEO ACB，OEAO， R15R，解得 R45，BCAB， 9 15 ，解得 R 8 ，75 AOABOB15R 8.【思想方法】 利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角

2、三角形，從而得 到相似三角形，利用比例線段求 AO 的長中考變形】圖 Z13 21如圖 Z132，在 RtACB 中， ACB90°， O 是AC邊上的一點(diǎn)，以 O 為圓心， OC 為半徑的圓與 AB 相切于點(diǎn) D，連結(jié) OD.(1) 求證： ADO ACB；(2) 若O的半徑為 1，求證： ACAD·BC. 證明： (1)AB是O 的切線， ODAB， C ADO90°， A A， ADO ACB；AD OD(2)由(1)知， ADOACB.ACBC， AD·BCAC·OD，OD1，ACAD·BC.22017·德州如圖 Z

3、133，已知 Rt ABC， C90°， D 為 BC 的中點(diǎn)，以 AC為直徑的 O交 AB于點(diǎn) E.(1)求證： DE 是O的切線；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的長圖 Z13 3中考變形 2 答圖解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OE，EC，AC是O 的直徑， AECBEC 90°， D 為 BC的中點(diǎn)， EDDCBD， 12， OE OC， 3 4， 1324，即OEDACB，ACB90°，OED90°，DE 是O的切線； (2)由(1)知BEC90°，在 Rt BEC與 Rt BCA中， BB，BECBCA， BEC BCA，

4、 BBCE BBCA，BC2BE·BA，AEEB12，設(shè) AE x，則 BE2x， BA3x， BC6， 622x·3x，解得 x 6，即 AE 6.3如圖 Z134，已知 AB是 O的直徑， BCAB，連結(jié) OC，弦 ADOC，直線 CD 交 BA 的延長線于點(diǎn) E. (1)求證：直線 CD 是O 的切線； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值中考變形 3 答圖解： (1)證明：如答圖，連結(jié) DO. ADOC，DAOCOB，ADOCOD. OAOD， DAOADO， COD COB.又COCO，ODOB， CODCOB(SAS)， CDOCBO90°，即 O

5、DCD. 又點(diǎn)D在O上，直線 CD 是O的切線；(2)由(1)知， CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC， EDA ECO，ADDE DE 2.OCCEDECD3.42016 ·廣東如圖 Z135，O 是 ABC的外接圓， BC是 O 的直徑，ABC30°.過點(diǎn) B作O的切線 BD，與CA的延長線交于點(diǎn) D，與半徑 AO的延長線交于點(diǎn) E.過點(diǎn) A 作O 的切線 AF(1)求證： ACF DAE；3(2)若 SAOC 4 ，求 DE 的長；(3) 連結(jié) EF，求證： EF 是O 的切線與直徑 BC 的延長線交于點(diǎn) F圖 Z13 5中考變形 4 答圖BAC

6、90解： (1)證明： BC 為O的直徑， 又 ABC 30°， ACB60°，又OAOC，OAC 為等邊三角形，即 OACAOC60AF 為O 的切線， OAF90°， CAF AFC 30°，DE 為O 的切線， DBCOBE90°，DDEA30°， DCAF，DEAAFC， ACF DAE；(2)AOC 為等邊三角形，OA1，BC2，OB1，又DBEO30BD2 3，BE 3， DE3 3；(3)證明：如答圖，過點(diǎn) O 作 OMEF 于點(diǎn) M， OAOB，OAFOBE90°， BOEAOF， OAF OBE(SAS)，

7、 OEOF， EOF120°， OEMOFM30°， OEBOEM30°，即 OE 平分BEF， 又OBEOME90°，OMOB，EF 為O 的切線52017 ·株洲如圖 Z136，AB 為O 的一條弦，點(diǎn) C 為劣弧 AB 的中點(diǎn)， E 為優(yōu)弧 AB 上一點(diǎn)，點(diǎn) F 在 AE 的延長線上，且 BEEF，線段 CE 交弦 AB 于點(diǎn) D.(1)求證：CEBF；(2)若 BD2，且 EAEBEC31 5，求 BCD 的面積解： (1)證明：如答圖，連結(jié) AC，BE，作直線 OC，BEEF， F EBF，AEBEBFF，1 F 2AEB，C 是AB

8、的中點(diǎn)， ACBC， AEC BEC， AEBAECBEC， 1AEC2AEB， AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB， ADE CBE，CBDCEB，BCDECB， CBE CDB，BD BE 2 1CBCE，即 CB 5，CB2 5，AD6， AB8，點(diǎn) C為劣弧 AB 的中點(diǎn)，1OCAB，設(shè)垂足為 G，則 AGBG2AB 4，CG CB2 BG22，11 SBCD2BD·CG2×2×22.6如圖 Z137，AB是 O的直徑， C 為O 上一點(diǎn)， AE 和過點(diǎn) C 的切線互相 垂直，垂足為 E，AE 交O 于點(diǎn) D，直線 EC交 AB 的延長線

9、于點(diǎn) P，連結(jié) AC，BC，PBPC12.(1)求證： AC 平分 BAD；(2)探究線段 PB，AB 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由圖 Z13 7中考變形 6 答圖解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OC. PE是O的切線， OCPE， AEPE，OCAE， DAC OCA，OAOC， OCAOAC， DAC OAC， AC 平分 BAD；(2)線段 PB，AB 之間的數(shù)量關(guān)系為 AB3PB.理由： AB 是O 的直徑， ACB90°， BACABC90°， OBOC， OCBABC，PCBOCB90°， PCBPAC，P 是公共角， PCB PAC，PCPB， PA

10、PC， PC2PB·PA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.P是O 外一BC 的長72016 ·棗莊如圖 Z138，AC 是 O的直徑， BC 是 O的弦， 點(diǎn)，連結(jié) PA，PB，AB，已知 PBAC.(1)求證： PB是 O 的切線；圖 Z13 8(2)連結(jié) OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半徑為 2 2，求中考變形 7 答圖解： (1)證明：如答圖，連結(jié) OB， AC 是O 的直徑， ABC90°， CBAC90OAOB， BACOBA， PBA C， PBAOBA90°，即 PBOB. PB 是O 的切線；(2)O 的半徑為

11、2 2， OB 2 2，AC4 2， OPBC， BOPOBCC， 又ABCPBO90°， ABC PBO， BC2.BCAC，即 BC 4 2， BOPO，即 2 2 8 ， BACAB 的82017·聊城如圖 Z139，O是ABC的外接圓， O點(diǎn)在 BC邊上， 的平分線交 O于點(diǎn) D，連結(jié) BD，CD，過點(diǎn) D 作 BC的平行線，與 延長線相交于點(diǎn) P.(1)求證： PD 是O的切線；(2)求證： PBD DCA；(3)當(dāng) AB6，AC8 時(shí)，求線段 PB的長圖 Z139中考變形 8 答圖解： (1)證明： 圓心 O在 BC上，BC 是O 的直徑， BAC90°

12、;，如答圖，連結(jié) OD，AD 平分 BAC，BAC2DAC，DOC2DAC， DOCBAC90°，即 ODBC，PDBC，ODPD，OD 為O的半徑，PD 是O 的切線；( 2)證明： PDBC， P ABC， ABC ADC， PADC，PBDABD180°， ACDABD180°， PBD ACD， PBD DCA； (3)ABC 為直角三角形， BC2AB2AC26282100，BC10， OD 垂直平分 BC， DBDC， BC為O的直徑， BDC90°， 在 RtDBC 中， DB2DC2BC2，即 2DC2BC2100， DCDB5 2， PBD DCA， PBBD，即 PBDC·BD5 2×5 225.DCAC，即 PB AC 8 4.中考預(yù)測】2017 ·黃岡模擬如圖 Z1310，AB為 O的直徑， CD 與O 相切于點(diǎn) C， 且 ODBC，垂足為 F，OD 交O 于點(diǎn) E.證明：(1)DAEC； (2)OA2OD·OF.圖 Z