離散數(shù)學(xué) 集合證明

1、2021-12-24集合論與圖論第4講1第4講 集合恒等式內(nèi)容提要 1. 集合恒等式與對(duì)偶原理 2. 集合恒等式的證明 3. 集合列的極限 4. 集合論悖論與集合論公理2021-12-24集合論與圖論第4講2集合恒等式(關(guān)于與)等冪律(idempotent laws)AA=AAA=A交換律(commutative laws)AB=BAAB=BA2021-12-24集合論與圖論第4講3集合恒等式(關(guān)于與、續(xù))結(jié)合律(associative laws)(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)

2、2021-12-24集合論與圖論第4講4集合恒等式(關(guān)于與 、續(xù))吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A2021-12-24集合論與圖論第4講5集合恒等式(關(guān)于)雙重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB2021-12-24集合論與圖論第4講6集合恒等式(關(guān)于與E)零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A2021-12-24集合論與圖論第4講7集合恒等式(關(guān)于,E)排中律(excluded middle)AA = E矛盾

3、律(contradiction)AA = 全補(bǔ)律 = EE = 2021-12-24集合論與圖論第4講8集合恒等式(關(guān)于-)補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律(difference as intersection)A-B=AB2021-12-24集合論與圖論第4講9集合恒等式(推廣到集族)分配律德摩根律)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(ABABSS)()(AASS )()(AASS 2021-12-24集合論與圖論第4講10對(duì)偶(dual)原理對(duì)偶式(dual): 一個(gè)集合關(guān)系式, 如果只含有, , E,=, , 那么, 同時(shí)把與互換, 把與E互換, 把與互換, 得到的式子稱(chēng)為原式的

4、對(duì)偶式. 對(duì)偶原理: 對(duì)偶式同真假. 或者說(shuō), 集合恒等式的對(duì)偶式還是恒等式.2021-12-24集合論與圖論第4講11對(duì)偶原理(舉例)分配律A (B C) = (A B ) (A C )A (B C) = (A B ) (A C )排中律A A=E矛盾律A A= 2021-12-24集合論與圖論第4講12對(duì)偶原理(舉例、續(xù))零律A E =EA = 同一律A =AA E=A2021-12-24集合論與圖論第4講13對(duì)偶原理(舉例、續(xù)) A B AA B A AE A2021-12-24集合論與圖論第4講14集合恒等式證明(方法)邏輯演算法: 利用邏輯等值式和推理規(guī)則集合演算法: 利用集合恒等式

5、和已知結(jié)論2021-12-24集合論與圖論第4講15邏輯演算法(格式)題目: A=B. 證明: x, xA (?) xB A=B. #題目: AB. 證明: x, xA (?) xB AB. #2021-12-24集合論與圖論第4講16分配律(證明)A(BC)=(AB)(AC)證明: x, xA(BC) xA x(BC) (定義) xA (xB xC) (定義) (xAxB)(xAxC) (命題邏輯分配律) (xAB)(xAC) (定義) x(AB)(AC) (定義) A(BC)=(AB)(AC)2021-12-24集合論與圖論第4講17零律(證明)A = 證明: x, xA xA x (定義

6、) xA 0 (定義) 0 (命題邏輯零律) A = 2021-12-24集合論與圖論第4講18排中律(證明)AA = E證明: x, xAA xA xA (定義) xA xA (定義) xA xA (定義) 1 (命題邏輯排中律) AA = E2021-12-24集合論與圖論第4講19集合演算法(格式)題目: A=B. 證明: A =(?) =B A=B. #題目: AB. 證明: A (?) B AB. #2021-12-24集合論與圖論第4講20吸收律(證明)A(AB)=A證明: A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = AE (零律) = A (同一

7、律) A(AB)=AAB2021-12-24集合論與圖論第4講21吸收律(證明、續(xù))A(AB) = A證明: A(AB) = (AA)(AB) (分配律) = A(AB) (等冪律) = A (吸收律第一式) A(AB) = AAB2021-12-24集合論與圖論第4講22集合演算法(格式,續(xù))題目: A=B. 證明: () AB () A B A = B. #說(shuō)明: 分=成與題目: AB. 證明: AB (或AB) =(?) = A (或B) AB. #說(shuō)明: 化成=AB=AABAB=BAB 2021-12-24集合論與圖論第4講23集合恒等式證明(舉例)基本集合恒等式對(duì)稱(chēng)差()的性質(zhì)集族(

8、AS)的性質(zhì)冪集(P( )的性質(zhì)2021-12-24集合論與圖論第4講24補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律A-B = AB證明: x, xA-B xA xB xA xB x ABA-B = AB. #2021-12-24集合論與圖論第4講25德摩根律的相對(duì)形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)證明: A-(BC) = A(BC) (補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律) = A(BC) (德摩根律) = (AA)(BC) (等冪律) = (AB)(AC) (交換律,結(jié)合律)= (A-B)(B-A) (補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律). #2021-12-24集合論與圖論第4講26對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)交換律: AB=BA結(jié)合律: A(B

9、C)=(AB)C分配律: A(BC)=(AB)(AC)A=A, AE=AAA=, AA=E2021-12-24集合論與圖論第4講27對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2)結(jié)合律: A(BC)=(AB)C證明思路： 分解成 “基本單位”, 例如: 1. ABC 2. A BC 3. A B C 4. ABCABCABC12342021-12-24集合論與圖論第4講28對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2、續(xù)1)結(jié)合律: A(BC)=(AB)C證明: 首先, AB = (A-B)(B-A) (定義) = (AB)(BA) (補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律) = (AB)(AB) (交換律) (*)A BAB2021-12-24集合論與圖論第4講29

10、對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2、續(xù)2) 其次, A(BC) = (A(BC)(A(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律)2021-12-24集合論與圖論第4講30對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2、續(xù)3) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律)2021-12-24集合論與圖論第4講31對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2、續(xù)4) 同理, (AB)C = (AB)C)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C)

11、(AB)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (德摩根律)2021-12-24集合論與圖論第4講32對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明2、續(xù)5) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律) A(BC)=(AB)C. #2021-12-24集合論與圖論第4講33對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(討論)有些作者用表示對(duì)稱(chēng)差: AB=AB 消去律: AB=AC B=C (習(xí)題一,23) A=BC B=AC C=AB對(duì)稱(chēng)差與補(bǔ): (AB) = AB = AB AB = AB問(wèn)題:

12、ABC=ABC ?2021-12-24集合論與圖論第4講34對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(討論、續(xù))如何把對(duì)稱(chēng)差推廣到n個(gè)集合: A1A2A3An = ? x, xA1A2A3An x恰好屬于A1,A2,A3,An中的奇數(shù)個(gè)特征函數(shù)表達(dá): A1A2An(x) = A1(x)+A2(x)+An(x) (mod 2) = A1(x)A2(x)An(x) (mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余數(shù))2021-12-24集合論與圖論第4講35特征函數(shù)與集合運(yùn)算: AB(x) = A(x)B(x)A(x) = 1-A(x)A-B(x) = AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x) = (A-B)B(x) =

13、 A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x) = A(x)+B(x) (mod 2) = A(x)B(x)AB2021-12-24集合論與圖論第4講36對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(討論、續(xù))問(wèn)題: ABC = ABC ? 答案: ABC = (ABC) = (ABC) = ABC ABCD = ABCD = ABCD = (ABCD) =A = (A)2021-12-24集合論與圖論第4講37對(duì)稱(chēng)差的性質(zhì)(證明3)分配律: A(BC)=(AB)(AC)證明 A(BC) = A(BC)(BC) = (ABC) (ABC)ABCA(BC)2021-12-24集合論與圖論第4講38對(duì)稱(chēng)差分配律(證明3、續(xù))(

14、續(xù)) (AB)(AC) = (AB)(AC)(AB)(AC) =(AB)(AC)(AB)(AC) =(ABC)(ABC) A(BC)=(AB)(AC). #2021-12-24集合論與圖論第4講39對(duì)稱(chēng)差分配律(討論)A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?A(BC)=(AB)(AC) ?2021-12-24集合論與圖論第4講40集族的性質(zhì)設(shè)A,B為集族集族, 則1. AB A B2. AB A B 3. A AB B A4. AB B A5. A A A2021-12-24集合論與圖論第4講41集族的性質(zhì)(證明1)AB A B證明: x,

15、 xA A(AA xA) (A定義) A(AB xA) (AB) xB (B定義) A B. #2021-12-24集合論與圖論第4講42集族的性質(zhì)(證明2)AB A B 證明: x, xA AB xA (AB, 合取) A(AB xA) (EG) xB A B. #2021-12-24集合論與圖論第4講43集族的性質(zhì)(證明3)A AB B A說(shuō)明: 若約定 =E, 則A的條件可去掉.證明: x, x B y( yB xy ) y( yA xy ) (AB) x A B A . #2021-12-24集合論與圖論第4講44集族的性質(zhì)(證明4)AB B A證明: x, x B y( yB xy

16、) AB x A (UI) xA (AB) B A . #2021-12-24集合論與圖論第4講45集族的性質(zhì)(證明5)A A A說(shuō)明: A的條件不可去掉!證明: A y(yA), 設(shè) AA. x, x A y( yA xy ) AA xA xA (AA) AA xA y( yA xy) x A A A . #2021-12-24集合論與圖論第4講46冪集的性質(zhì)AB P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) = P(AB)P(A-B) (P(A)-P(B)2021-12-24集合論與圖論第4講47冪集的性質(zhì)(證明1)AB P(A)P(B)證明: () x, xP(A) xA

17、 xB (AB) xP(B) P(A)P(B)2021-12-24集合論與圖論第4講48冪集的性質(zhì)(證明1、續(xù))AB P(A)P(B)證明(續(xù)): () x, xA xP(A) xP(B) (P(A)P(B) xB AB. #2021-12-24集合論與圖論第4講49冪集的性質(zhì)(證明2)P(A)P(B) P(AB)證明: x, xP(A)P(B) xP(A)xP(B) xAxB xAB xP(AB) P(A)P(B) P(AB)2021-12-24集合論與圖論第4講50冪集的性質(zhì)(證明2、續(xù))P(A)P(B) P(AB)討論: 給出反例, 說(shuō)明等號(hào)不成立: A=1, B=2, AB=1,2,

18、P(A)=,1, P(B)=,2, P(AB)= ,1,2,1,2 P(A)P(B) ,1,2 此時(shí), P(A)P(B) P(AB). #2021-12-24集合論與圖論第4講51冪集的性質(zhì)(證明3)P(A)P(B) = P(AB)證明: x, xP(A)P(B) xP(A) xP(B) xA xB x AB xP(AB) P(A)P(B) = P(AB). #2021-12-24集合論與圖論第4講52冪集的性質(zhì)(證明4)P(A-B) (P(A)-P(B)證明: x, 分兩種情況, (1) x=, 這時(shí) xP(A-B) 并且 x(P(A)-P(B) (2) x, 這時(shí) xP(A-B) x A-B xAxB xP(A)xP(B) xP(A)-P(B) P(A-B) (P(A)-P(B). #AB2021-12-24集合論與圖論第4講53集合運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)分三級(jí): 第一級(jí)最高, 依次降低第一級(jí): 補(bǔ), 冪P()第二級(jí): 廣義并, 廣義交 第三級(jí): 并, 交, 相對(duì)補(bǔ)-, 對(duì)稱(chēng)差同一級(jí): 用括號(hào)表示先后順序2021-12-24集合論與圖論第4講54集合列的極限2021-12-24集合論與圖論第4講55集合列的極限Infinite often( i.o.):Almost everywhere(a.e.