D25一元函數(shù)積分學一ppt課件

1、 第二章 四、考點分析四、考點分析五、歷年試題解析五、歷年試題解析 一、考試基本要求一、考試基本要求第三節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一元函數(shù)積分學(一)(27)二、知識點與考點二、知識點與考點 三、歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布三、歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布 1.理解原函數(shù)的概念,的性質(zhì)及定積分中值定理,分法.3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、考試基本要求一、考試基本要求積分.2.掌握不定積分的基本公式, 掌握不定積分和定積分掌握換元積分法和分部積4.理解積分上限的函數(shù),會求它的導數(shù),理解不定積分和定積分的概念.掌握牛頓萊布尼茲公式.

2、5.了解反常積分的概念,會計算反常積分.6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量引力、機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 及側面積、(平面圖形的面積、 平面曲線的弧長、 旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體體積、 功、壓力、 質(zhì)心、 形心等)及函數(shù)的平均值.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、知識點與考點二、知識點與考點(一一)不定積分不定積分( )( ),F xf x假設1.原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義:xI 有則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個原設函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,( )( ),dF xf x dx或 函數(shù)函數(shù).( )( )f x dx

3、F xc.( )( )kf x dxkf x dx.稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分, 記為f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù) F (x) + c ,2. 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì): ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx.(1)(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (1). 4.基本積分公式基本積分公式(2)(互逆運算)(1)3.不定積分與微分的關系不定積分與微分的關系( )df x dxkdxkxc.( )F x dx( )f x dx. ( )d F xc( )F x dx( )f x dx( )F xc.(2).11(1)1x dxxc.

4、2, 21dxc.xx 1,2 2dxxc.x(3).lndx|x| c.x(4).xxe dxec.(5).lnxxaa dxc.a(6).sincosxdxxc. (7).cossinxdxxc.(8).tanln cosxdx|x| c. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 cotln sinxdx|x| c.(9).(10).secln sectanxdx|xx| c.(11).cscln csccotxdx|xx| c.(12).sec tansecxxdxxc.(13).csc cotcscxxdxxc. (14).2arctan1+dxxc.x(15).221arctan+dxx

5、c.axaa(16).2arcsin1dxxc.x(17).22arcsindxxc.aax22sectancosdxxdxxc.x22csccotsindxxdxxc.x (18).(19).(20).(21).(22).2222ln|dx|xxac.xa2222ln|dx|xxac.xa221ln |2dxxa| c.xaaxa5.基本積分法基本積分法:(1).直接積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2).換元積分法第一類換元積分法(湊微分法) ( ) ( )fx x dx常用湊微分公式: ( ) ( )fx dx( )xu( )f u du( )F uc( )ux ( )Fxc1

6、() ;dxd axba2211() =(+ ) ;22xdxd xd axba(ln ) ;dxdxx() ;xxe dxd ecos(sin ) ;xdx= dxsin(cos ) ;xdx=dx22sec(tan ) ;cosdxxdxdxx22csc(cot ) ;sindxxdxdxx 第二類換元積分法(變量代換法)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 21( ) ;dxdxx 2 () ; dxdxx( )f x dx( )xt ( )( )ft t dt( )F tc1( )tx1( )Fxc()fax+b dx;axbt令22()faxdxsin ;x= at令22()fxadx

7、tan ;x= at令22()fxadxsec ;x= at令(正弦代換)(正切代換)(正割代換)(根式代換)三角代換令那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 萬能代換:積分步驟:tan,2xt湊微分選 u , v ;(3) 分部積分法(sin ,cos )fxx dx= 2arctan ,xt22=,1+dxdtt22sin =,1+txt221cos =,1+txtudvuvvdu代公式;算微分 ;求積分.lnx xdx2ln()2xxduv22ln(ln )22xxxdx221ln22xdxxxx211ln22xxxdx2211ln24xxxc.例如:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

8、(4) 有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR有理函數(shù): mmmbxbxb110nnnaxaxa110)(xRnm時,為真分式;nm時,)(xR為假分式 .利用多項式綜合除法, 總可以將一個假分式化為一個多項式與一個真分 式之和的形式 . 例如:32223256xxxxx32232xxx256xxx3256xxx _2732xx7273542xx _3240 x 23240756xxxx 任何有理真分式通過部分分式均可化為下列四種類型:(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 240pq.;()nAxalnAdxA|xa| c.xa2+;AxBxpxq;Axa其中有理真分式的積分(1)2()n

9、AxB.xpxq1()(1()1nnAAdxxacn).xan機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (3)(需用遞推公式計算,不作要求)22222lnarctan244AppBxA|xpxq|c.ppqq(4)2AxBdxxpxq2222()()22()24Ad xpxqApdx=Bppxpxqxq2()nAxBdxxpxq注注:但計算相當復雜. 解題時應尋求更為簡便的方法,如湊微分法、倒代換法等,2(2)22AApxpBdxxpxq有理函數(shù)雖然一定可積,盡量避免使用一般方法.1.定積分的定義定積分的定義:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (二二) 定積分定積分1201( )lim( )max

10、,nbiinaif x dxfxxxx (七條性質(zhì)二條推論)2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義:3.定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì):曲邊梯形面積的代數(shù)和.(1)( )( )bbaak f x dx= kf x dx. ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dx=f x dxg x dx.,acb若 (2)(3)( )( )( )bcbaacf x dx=f x dx+f x dx.則有(4)( )1, , f xxa b若 則有badx=ba.(5)( )0, , f xxa b若 則有( )0baf x dx.推論1.那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (6). (定積分估值定理

11、)假設 M 和 m 分別是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,則有: (7).(定積分中值定理)若f (x) 是a , b上的連續(xù)函數(shù),則在a , b上至少存在一點 ,( )( )()baf x dx= fba()( )()bam baf x dxM ba .使等式( )( ), , f xg x xa b若 ( )( )bbaaf x dxg x dx.推論2.( )( )|,()bbaa|f x dx| f xdx ab .成立. 并稱1( )( )baff x dxba為f (x)在a ,b區(qū)間上的平均值.補充規(guī)定:(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( )( )baab

12、f x dxf x dx. ( )( )bbaaf x dxf t dt4. 定積分計算法定積分計算法(1)牛頓-萊布尼茲公式(2) 當a = b 時,( )baf x dx(2) 定積分換元積分法( )0aaf x dx.( )( )( )( )bbaaf x dxF x |F bF a .=( ) , =( )xtdx t dt(3),;,xa txb t ( )( )ft t dt (3).定積分分部積分法定積分分部積分法5.重要公式重要公式(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 bbbaaaudvuv|vdu.( )( ).xadf t dtf xdx( )( )bxdf t dtf

13、 x .dx ( )( ) ( )( )xadf t dtfx xdx( )0aaf x dx.(2)2200sincosnnxdxxdx134 2125 3nnnn若f (x)為a , a上的奇函數(shù), 那么若f (x)為a , a上的偶函數(shù), 那么0( )2( )aaaf x dxf x dx.(3)133 124 2 2nnnnn為奇數(shù)n為偶數(shù)200sin2sinnnxdxxdx注意注意:余弦函數(shù)無此性質(zhì)余弦函數(shù)無此性質(zhì)!(4) 若f (x)是周期為T的周期函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 a為任意實數(shù),( (三三) ) 廣義廣義( (反常反常) )積分積分2. 無界函數(shù)的廣義積分

14、無界函數(shù)的廣義積分那么1.無窮區(qū)間的廣義積分無窮區(qū)間的廣義積分則有:0( )( )a TTaf x dxf x dx.( )lim( )taatf x dxf x dx.( )lim( )bbttf x dxf x dx.( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx.,( ),+xaf x若( )lim( )bbattaf x dxf x dx.,( ),xbf x若那么( )lim( )btaatbf x dxf x dx.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( )( )( )bcbaacf x dx=f x dx+f x dx.2.定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用:(

15、1). 平面圖形的面積平面圖形的面積=1=niiUU則有(四四) 定積分的應用定積分的應用 直角坐標1.定積分微元法定積分微元法,( ),acb xc f x 若若整體量U在區(qū)間a , b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx 那么=( )bbaaUdu=f x dx.= ( )( )bbaaAdAf xg x dxxyoxx+dx( )y= f x( )y= g xdAab機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 起點x = a 對應參數(shù) t = 按順時針方向決定起點與終點.參數(shù)方程極坐標xyocdyydy( )xy( )xydA ( )( )ddccAdAyy dy.( )x

16、t( )yt終點x = b 對應參數(shù) t = bbaaAdAydx( )( )t t dt21( )2AdArdxyoabdAyxdxxxo( )rrdA(2)旋轉體的體積旋轉體的體積機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 y( )yf xaobxxxdxy2bbaaVdvy dx2( )bafx dx2ddccVdvx dy2( )bay dyxyocd( )xyyydyx(3)平面曲線的弧長平面曲線的弧長弧長元素(弧微分)22()()dsdxdy21( )bbaaSdsf x dx.,axb機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若曲線方程為y = f (x) , 則有則有 直角坐標若曲線方程為x

17、 = (y) , 21( )ddccSdsy dy.,cydxyoab( )yf x參數(shù)方程若曲線方程為參數(shù)方程 ( )xt( )yt,t 則有22( )+( )Sdstt dt.極坐標則有3. 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的作用下(1) 變力作功變力作功 設物體在變力從點 a 沿直線移動到點b, (如圖示)則在此過程中變力所作的功為:= ( ),rr( )F x.(力的大小改變方向不變)( )bbaaW =dWF x dx.若變力函數(shù) F (x) 不易確定,也可用微元分析法直接若曲線方程為極坐標方程 確定功的微元dW.注注:22( )( )S

18、 =ds=rrdxab( )F x(2) 水壓力水壓力機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 窄條的壓力微元壓強窄條面積則薄板受到的側壓力為其中 為水的比重. ( )( )dp=x f xg x dx ( )( )bbaaP=dpx f xg x dxxyobaxxdx( )yf x( )yg xdp(3) 引力引力22cosxm dydFGay 2222m dyaGayay 22322222()llllxxdyFdFGamay 小段細棒的引力微元22214Gm laal 0yF.yxyo2l2ly+dyaMr由于對稱性年份機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布三、歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布考點分值定積分應用幾何積分中值定理物理87888990919293949596979833+3337365合計93125141338123變上限積分不定積分計算 定積分計算3+333148+3355555156定積分性質(zhì)3+63+69機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 年份分值考點99000102030405060708合計3合計984612668271033161631034206118415434431074不定積分計算定積分計算變上限積分定積分應用幾何 物理定積分性質(zhì)積分中值定理1010219