直線與圓位置關(guān)系知識點與經(jīng)典例題

1、直線與圓位置關(guān)系知識點與經(jīng) 典例題直線與圓位置關(guān)系一.課標要求1 .能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的 位置關(guān)系;2 .能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題;3 .在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代 數(shù)方法處理幾何問題的思想。相離二.知識框架幾何法弦長直線與圓的位置關(guān)系 相交代數(shù)法切割線冠理相切直線與/代數(shù)法求切線向方法幾何法的切線方程過圓上一點的切線方程線方程切點弦過圓外一點的切線方程方程明切三.直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法L利用圓心。"到直卻+=。的距離仁舞某與半徑，的大小來判定。(1)(2)(3)直線與圓相交直線與圓相切直線與圓相離2.聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組

2、，消去其中一個未知量，得到關(guān)于另外一個未知量的一元二次方程，通過解的個數(shù)來判定。（1）有兩個公共解（交點），即3。=相交直線與（2）有且僅有一個解（交點），也稱之為有兩個 相同實根，即A = 0O直線與圓相切（3）無解（交點），即A<0=3.等價關(guān)系直線與圓相離相交相切<=>d<r<=>S>0= d >r<=> A<0練習(xí)(位置關(guān)系)L已知動直線 '.和圓C：(x-l)2 + y2 = l, 試問我為何值時，直線與圓相切、相離、相交?(位置關(guān)系)2.已知點M(a/) 在O ： X2 + 丁 = 1 外，則直線 ax-by

3、 = 與A.相切確定。的位置關(guān)系是OB.相交C.相離D.不(最值問題)3.已知實數(shù)一)滿足方程x1 + y2 -4x + l = 0 9(1)求上的最大值和最小值;x(2)求一的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值。K分析II考查與圓有關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題目條件將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的幾何問題求解，運用數(shù)形結(jié)合的方法，直觀的理解。轉(zhuǎn)化為求斜率的最值;轉(zhuǎn)化為求直線廠田截距的最 大值；轉(zhuǎn)化為求與原點的距離的最值問題。(位置關(guān)系)4.設(shè)若直線(? + l)x +。? + l)y - 2 = 0 與(X 1)2+()， 1)2=1相切，貝+的取值氾圍是()（位置關(guān)系）5.在平面直角坐標系mv中

4、，已知|xf上有且僅有四個點到直線12x-5y +( = 0 的距離為1，則實數(shù)0的取值范圍是6.直線底+）,一2/=0截+y2=4得的劣弧所對的圓心角是（A £A、6B、？D、乃2（位置關(guān)系）7.Il x2 +y2 -2x-2y + = 0上的點到直線.尸2的距離最大值是（A. 2B . 1+C.D. 1+2V2（最值問題）8,設(shè)A為(x-2)2+(y-2)2=l上一動點,則A到直線 a - 5 = 0的最大距離為9.星州圓C的半行為2,您心很 直線 3x + 4v + 4 = 0與圓C相切，貝( )A. x2 + y2 2x 3 = 0B x2 +y2 +4x = 0C. x1

5、+ y2 +2x 3 = 0D x2- 4x = 010.若曲線戶口與直線產(chǎn)"始終有兩個交點, 則方的取值范圍是.（對稱問題”LG：3 3）2+（y + l）2=4關(guān)于直線.廣。對稱的圓G的方程為：（A. （x + 3）2+（y-l）2 =4)B> (x + l)2+(y-3)2 =4C. (x-l)2+(y + 3)2 =4D(x-3)2+(y + 1)2 =412.直線 y = kx +3與圓(x-2)2+(y - 3)2=4相交于M,N兩點,則的取值范圍是（A. B.一,百)C D ,0J13.圓 Ct U-l)2+(y-2)2=25,直線 7：(2。+ l)x+y=7n

6、H-4 (r£R).（1）證明：不論"取什么實數(shù)，直線/與 恒相交于兩點；（2）求。與直線】相交弦長的最小值.解析 將方程(24+1)葉5+1)尸 7必+4,變形為(2x+廣-7)9+(x+y4) =0.直線恒過兩直線2x+p-7=0和x+z-4=0的交點,2x+y7=0 x+p4=0得交點M3,1）.又(31尸+ (1 -2t=5<25, 點”(3,1)在圓。內(nèi)，直線與圓。恒有兩個交點.（2）由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)時，弦長最短.又| 函=(3-1)2+(1-2)2=a/5,六弦長為 1 = 2= 225-5 =四.計算直線被圓所截得的弦長的方法L幾何法：運用弦心距、半徑

7、、半弦長構(gòu)成的松 計算，即2.代數(shù)法：運用根與系數(shù)關(guān)系(韋達定理)，即 | = yJk2 + xA-xH =+l)(xA +xH)2-4xaxb(注：當(dāng)直線A3斜率不存在時，請自行探索與 總結(jié);弦中點坐標為(工/,"),求解弦中點軌跡方程。)練習(xí)x1 +y2 -6x-8y = 0所截得的弦長等于1,直線y = 2x + 3被()截得的弦長2.過點(2,1)的直線中被圓/+，2_2 + 4) = 0最大的直線方程是（ ）A. 3x-y-5 = 0 B 3x+y-7 = 0 C< x + 3y-5 = 0 D« x-3y+ 5 = 03.已知圓c過點(1,0）,且圓心在工

8、軸的正半軸上,直線被圓C所截得的弦長為班，則過圓心 且與直線/垂直的直線方程為。4,直線 jr-2y-3=0 與圓 G U-2)2+(y+3)尸兩點，則&F的面積為()3 BZ=9交于E、A.|D會5.已知止5C:(x-3)2+(y-4)2 =4和直線I :攵x-y-4攵+ 3 = 0(1)求證:不論太取什么值,直線和圓總相交;(2)求k取何值時,圓被直線截得的弦最短,并求 最短弦的長.6.若曲線，+/+2x6y+l=0上相異兩點P、Q關(guān)于直線Ax+2y-4=0對稱，則k的值為()A. 11B. -1C.- D. 2丁+ 9+4)- 21=0相交于7,已知過點 M(-3,-3) 的直線

9、，與A,B兩點,(1)若弦然的長為2房，求直線，的方程；(2)設(shè)弦A8的中點為P,求動點P的軌跡方 程.解:(1)若直線/的斜率不存在，貝！1/的方程為 此時有丁+4y-12 = 0,弦1=2一(6) = 8,所以不合 題意.故設(shè)直線/的方程為y + 3 = k(x+3”即日y + 3k-3 = 0.將圓的方程寫成標準式得人（尹2二25,所以圓心(0,-2),半徑r = 5.心（。,一2）到直線/的距離公"，因為弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以（婀2+空U = 25,即（女+ 3=0,所以3.'7 k + 所求直線,的方程為3»尹12 =。.（2 ）設(shè)

10、P（x,y）,圓心 0,（0-2），OP± AB.當(dāng)x工0日.x工-3時9y - (-3)x (3)，當(dāng) A- = 05一2或.(1)a = -3時，尸點的坐標（0,一2）,（0,一3）,（一3,一2）,（一3,一3）都是方程（1）的解,所以弦A3中點P的軌跡方程為8.已知圓x +y- + x 6y + m = 0和直線x+ 2），-3 = 0相交于RQ兩點,0為原點,且OP,OQ,求實數(shù)7的取值.五.已知切點，求切線方程1.經(jīng)過/上一"點尸5,先）的切線方程為2.經(jīng)過（x-a）1+（y-b）1 =r2上一點 P （兩,先） 的切線方程3.經(jīng)過/+）,2+6+/=o上一點p

11、a。,）,。）的切線方程為 工+%>+0 +后紅？ +/=° 乙乙練習(xí)1.經(jīng)過圓上一點尸-8）作0+7）2 +（產(chǎn)8）2 +9的切線方程為（）2.圓Y+），2_4x = 0在點尸（1,益處的切線方程為A e x + 3y -2 = 0 B. x + y3y -4 = 0 C x y/3y + 4 = 0D x 3y + 2 = 0六.切點未知，過園外一點，求切線方程1.a不存在，驗證是否成立;2. a存在，設(shè)點斜式，用到直線的距離心,一%=女（工一玉）/一打一燈4 70）|收+1 -練習(xí)1.求過43,5）且與C:/+,2-4x4y + 7 = 0相切的直線方程。七.切線長C:(

12、x-a)2 +(y-b)2 =/，則過圓外一點長”=而練習(xí)1.自點-d)2+(y0-/?)2-r2(B(A)4T,4)作啾X -2)2+()，- 3)2=1的切線，則切線長為 )>/5(B) 3(C) VT6(D)52.自直線y=x上點向x2+y2-6x+7=0 弓| 切線，貝！|切線長的最小值為八.切點弦方程C:(xa)2 +(yb)2 = r2外一點尸所0)作圓C的兩條切線方程，切點分別為4%則切點弦48所在直線方程為： (湎-a)(x-a) + (y0 -b)(y-h) = r1.過點。(6, 8)作til4+/=25的切線于切點48那么。到兩切點4夕連線的距離為()A. 15B.

13、 1C.152D. 5九.切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，即PT = PCPD1 .自動點尸引(1)由題意設(shè)尸(同，兒)在園外，切線IX2 + V2 = 10的兩條切線PA,PB，直線PATB的斜率分別為&1也°(1)若k +42 +占22 =-1， 求動點P的軌跡方程；(2)若點p在直線入+上，且小，如求實數(shù)機的取值范圍。2+1/.-0)k2 -2x0y0k + >'()2 -10 = 0由 k、+>#2 =-1得點P的軌跡方程為x+)，±2迷=0 o(2)vP(x0,y0)在直線x+y = ?上,二 X。+ >0 = m又 PA 工 PB , ./#, =-1,"二")=-1,即%2 + %2=20,將 x + y = / 代 10入化簡得 2m飛 + m2 -20=0又A 2 0 , . -2. < in < 2、伉又,一玉)2+%2