直線(xiàn)與圓位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典例題

1、直線(xiàn)與圓位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)與經(jīng) 典例題直線(xiàn)與圓位置關(guān)系一.課標(biāo)要求1 .能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓的 位置關(guān)系;2 .能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題;3 .在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代 數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。相離二.知識(shí)框架幾何法弦長(zhǎng)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 相交代數(shù)法切割線(xiàn)冠理相切直線(xiàn)與/代數(shù)法求切線(xiàn)向方法幾何法的切線(xiàn)方程過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程線(xiàn)方程切點(diǎn)弦過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程方程明切三.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及其判定方法L利用圓心。"到直卻+=。的距離仁舞某與半徑，的大小來(lái)判定。(1)(2)(3)直線(xiàn)與圓相交直線(xiàn)與圓相切直線(xiàn)與圓相離2.聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程組成方程組

2、，消去其中一個(gè)未知量，得到關(guān)于另外一個(gè)未知量的一元二次方程，通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判定。（1）有兩個(gè)公共解（交點(diǎn)），即3。=相交直線(xiàn)與（2）有且僅有一個(gè)解（交點(diǎn)），也稱(chēng)之為有兩個(gè) 相同實(shí)根，即A = 0O直線(xiàn)與圓相切（3）無(wú)解（交點(diǎn)），即A<0=3.等價(jià)關(guān)系直線(xiàn)與圓相離相交相切<=>d<r<=>S>0= d >r<=> A<0練習(xí)(位置關(guān)系)L已知?jiǎng)又本€(xiàn) '.和圓C：(x-l)2 + y2 = l, 試問(wèn)我為何值時(shí)，直線(xiàn)與圓相切、相離、相交?(位置關(guān)系)2.已知點(diǎn)M(a/) 在O ： X2 + 丁 = 1 外，則直線(xiàn) ax-by

3、 = 與A.相切確定。的位置關(guān)系是OB.相交C.相離D.不(最值問(wèn)題)3.已知實(shí)數(shù)一)滿(mǎn)足方程x1 + y2 -4x + l = 0 9(1)求上的最大值和最小值;x(2)求一的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值。K分析II考查與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題目條件將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題求解，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，直觀的理解。轉(zhuǎn)化為求斜率的最值;轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)廠田截距的最 大值；轉(zhuǎn)化為求與原點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題。(位置關(guān)系)4.設(shè)若直線(xiàn)(? + l)x +。? + l)y - 2 = 0 與(X 1)2+()， 1)2=1相切，貝+的取值氾圍是()（位置關(guān)系）5.在平面直角坐標(biāo)系mv中

4、，已知|xf上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)12x-5y +( = 0 的距離為1，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是6.直線(xiàn)底+）,一2/=0截+y2=4得的劣弧所對(duì)的圓心角是（A £A、6B、？D、乃2（位置關(guān)系）7.Il x2 +y2 -2x-2y + = 0上的點(diǎn)到直線(xiàn).尸2的距離最大值是（A. 2B . 1+C.D. 1+2V2（最值問(wèn)題）8,設(shè)A為(x-2)2+(y-2)2=l上一動(dòng)點(diǎn),則A到直線(xiàn) a - 5 = 0的最大距離為9.星州圓C的半行為2,您心很 直線(xiàn) 3x + 4v + 4 = 0與圓C相切，貝( )A. x2 + y2 2x 3 = 0B x2 +y2 +4x = 0C. x1

5、+ y2 +2x 3 = 0D x2- 4x = 010.若曲線(xiàn)戶(hù)口與直線(xiàn)產(chǎn)"始終有兩個(gè)交點(diǎn), 則方的取值范圍是.（對(duì)稱(chēng)問(wèn)題”LG：3 3）2+（y + l）2=4關(guān)于直線(xiàn).廣。對(duì)稱(chēng)的圓G的方程為：（A. （x + 3）2+（y-l）2 =4)B> (x + l)2+(y-3)2 =4C. (x-l)2+(y + 3)2 =4D(x-3)2+(y + 1)2 =412.直線(xiàn) y = kx +3與圓(x-2)2+(y - 3)2=4相交于M,N兩點(diǎn),則的取值范圍是（A. B.一,百)C D ,0J13.圓 Ct U-l)2+(y-2)2=25,直線(xiàn) 7：(2。+ l)x+y=7n

6、H-4 (r£R).（1）證明：不論"取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)/與 恒相交于兩點(diǎn)；（2）求。與直線(xiàn)】相交弦長(zhǎng)的最小值.解析 將方程(24+1)葉5+1)尸 7必+4,變形為(2x+廣-7)9+(x+y4) =0.直線(xiàn)恒過(guò)兩直線(xiàn)2x+p-7=0和x+z-4=0的交點(diǎn),2x+y7=0 x+p4=0得交點(diǎn)M3,1）.又(31尸+ (1 -2t=5<25, 點(diǎn)”(3,1)在圓。內(nèi)，直線(xiàn)與圓。恒有兩個(gè)交點(diǎn).（2）由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.又| 函=(3-1)2+(1-2)2=a/5,六弦長(zhǎng)為 1 = 2= 225-5 =四.計(jì)算直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)的方法L幾何法：運(yùn)用弦心距、半徑

7、、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的松 計(jì)算，即2.代數(shù)法：運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系(韋達(dá)定理)，即 | = yJk2 + xA-xH =+l)(xA +xH)2-4xaxb(注：當(dāng)直線(xiàn)A3斜率不存在時(shí)，請(qǐng)自行探索與 總結(jié);弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(工/,"),求解弦中點(diǎn)軌跡方程。)練習(xí)x1 +y2 -6x-8y = 0所截得的弦長(zhǎng)等于1,直線(xiàn)y = 2x + 3被()截得的弦長(zhǎng)2.過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線(xiàn)中被圓/+，2_2 + 4) = 0最大的直線(xiàn)方程是（ ）A. 3x-y-5 = 0 B 3x+y-7 = 0 C< x + 3y-5 = 0 D« x-3y+ 5 = 03.已知圓c過(guò)點(diǎn)(1,0）,且圓心在工

8、軸的正半軸上,直線(xiàn)被圓C所截得的弦長(zhǎng)為班，則過(guò)圓心 且與直線(xiàn)/垂直的直線(xiàn)方程為。4,直線(xiàn) jr-2y-3=0 與圓 G U-2)2+(y+3)尸兩點(diǎn)，則&F的面積為()3 BZ=9交于E、A.|D會(huì)5.已知止5C:(x-3)2+(y-4)2 =4和直線(xiàn)I :攵x-y-4攵+ 3 = 0(1)求證:不論太取什么值,直線(xiàn)和圓總相交;(2)求k取何值時(shí),圓被直線(xiàn)截得的弦最短,并求 最短弦的長(zhǎng).6.若曲線(xiàn)，+/+2x6y+l=0上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線(xiàn)Ax+2y-4=0對(duì)稱(chēng)，則k的值為()A. 11B. -1C.- D. 2丁+ 9+4)- 21=0相交于7,已知過(guò)點(diǎn) M(-3,-3) 的直線(xiàn)

9、，與A,B兩點(diǎn),(1)若弦然的長(zhǎng)為2房，求直線(xiàn)，的方程；(2)設(shè)弦A8的中點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方 程.解:(1)若直線(xiàn)/的斜率不存在，貝！1/的方程為 此時(shí)有丁+4y-12 = 0,弦1=2一(6) = 8,所以不合 題意.故設(shè)直線(xiàn)/的方程為y + 3 = k(x+3”即日y + 3k-3 = 0.將圓的方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)式得人（尹2二25,所以圓心(0,-2),半徑r = 5.心（。,一2）到直線(xiàn)/的距離公"，因?yàn)橄倚木唷霃?、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形，所以（婀2+空U = 25,即（女+ 3=0,所以3.'7 k + 所求直線(xiàn),的方程為3»尹12 =。.（2 ）設(shè)

10、P（x,y）,圓心 0,（0-2），OP± AB.當(dāng)x工0日.x工-3時(shí)9y - (-3)x (3)，當(dāng) A- = 05一2或.(1)a = -3時(shí)，尸點(diǎn)的坐標(biāo)（0,一2）,（0,一3）,（一3,一2）,（一3,一3）都是方程（1）的解,所以弦A3中點(diǎn)P的軌跡方程為8.已知圓x +y- + x 6y + m = 0和直線(xiàn)x+ 2），-3 = 0相交于RQ兩點(diǎn),0為原點(diǎn),且OP,OQ,求實(shí)數(shù)7的取值.五.已知切點(diǎn)，求切線(xiàn)方程1.經(jīng)過(guò)/上一"點(diǎn)尸5,先）的切線(xiàn)方程為2.經(jīng)過(guò)（x-a）1+（y-b）1 =r2上一點(diǎn) P （兩,先） 的切線(xiàn)方程3.經(jīng)過(guò)/+）,2+6+/=o上一點(diǎn)p

11、a。,）,。）的切線(xiàn)方程為 工+%>+0 +后紅？ +/=° 乙乙練習(xí)1.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)尸-8）作0+7）2 +（產(chǎn)8）2 +9的切線(xiàn)方程為（）2.圓Y+），2_4x = 0在點(diǎn)尸（1,益處的切線(xiàn)方程為A e x + 3y -2 = 0 B. x + y3y -4 = 0 C x y/3y + 4 = 0D x 3y + 2 = 0六.切點(diǎn)未知，過(guò)園外一點(diǎn)，求切線(xiàn)方程1.a不存在，驗(yàn)證是否成立;2. a存在，設(shè)點(diǎn)斜式，用到直線(xiàn)的距離心,一%=女（工一玉）/一打一燈4 70）|收+1 -練習(xí)1.求過(guò)43,5）且與C:/+,2-4x4y + 7 = 0相切的直線(xiàn)方程。七.切線(xiàn)長(zhǎng)C:(

12、x-a)2 +(y-b)2 =/，則過(guò)圓外一點(diǎn)長(zhǎng)”=而練習(xí)1.自點(diǎn)-d)2+(y0-/?)2-r2(B(A)4T,4)作啾X -2)2+()，- 3)2=1的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)為 )>/5(B) 3(C) VT6(D)52.自直線(xiàn)y=x上點(diǎn)向x2+y2-6x+7=0 弓| 切線(xiàn)，貝！|切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為八.切點(diǎn)弦方程C:(xa)2 +(yb)2 = r2外一點(diǎn)尸所0)作圓C的兩條切線(xiàn)方程，切點(diǎn)分別為4%則切點(diǎn)弦48所在直線(xiàn)方程為： (湎-a)(x-a) + (y0 -b)(y-h) = r1.過(guò)點(diǎn)。(6, 8)作til4+/=25的切線(xiàn)于切點(diǎn)48那么。到兩切點(diǎn)4夕連線(xiàn)的距離為()A. 15B.

13、 1C.152D. 5九.切割線(xiàn)定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，即PT = PCPD1 .自動(dòng)點(diǎn)尸引(1)由題意設(shè)尸(同，兒)在園外，切線(xiàn)IX2 + V2 = 10的兩條切線(xiàn)PA,PB，直線(xiàn)PATB的斜率分別為&1也°(1)若k +42 +占22 =-1， 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若點(diǎn)p在直線(xiàn)入+上，且小，如求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。2+1/.-0)k2 -2x0y0k + >'()2 -10 = 0由 k、+>#2 =-1得點(diǎn)P的軌跡方程為x+)，±2迷=0 o(2)vP(x0,y0)在直線(xiàn)x+y = ?上,二 X。+ >0 = m又 PA 工 PB , ./#, =-1,"二")=-1,即%2 + %2=20,將 x + y = / 代 10入化簡(jiǎn)得 2m飛 + m2 -20=0又A 2 0 , . -2. < in < 2、伉又,一玉)2+%2