利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立題型方法歸納教師版

1、導(dǎo)數(shù)與不等式考向一分離常數(shù)法解恒成立【例1】【廣東省2019年汕頭市普通高考】已知 ？?(?=?+ ?M- ln?.1 一(1)設(shè)？?= 2是？?？的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)？的值，并求？?？的單調(diào)區(qū)間：(2) ?> 0時(shí)，求證：?> 1.【解析】(1)由題意，函數(shù)？?的定義域?yàn)?0, +8),又由?(? = ?+ ?-,且？?= 1是函數(shù)？?？的極值點(diǎn)， .1所以?(2) = 5+ ? 2=0,解得？?=方？又？?> 0時(shí)，在(0, +8)上，?(?是增函數(shù)，且？?() = 0,所以?(? > 0,得？?> ;, ?(?< 0,得 0 < ?< 1,11

2、所以函數(shù)？?？的單倜遞增區(qū)間為(5，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).(2)由(1)知因?yàn)椋?> 0,在(0, +8)上，? (? = ?+ ?-?.押增函數(shù)，又？ (1) = 1 + ?1 > 0 (且當(dāng)自變量？逐漸趨向于0時(shí)，? (?趨向于-8),所以，? (0,1),使得?(?0 = 0,所以?+ ? - ? = 0,即？?？ = ?- ?, , 0, 0在?e (0, ?)上,?(?< 0,函數(shù)？?是減函數(shù)，在？e (?,+8)上，?(?> 0,函數(shù)？?是增函數(shù)，所以，當(dāng)？?= ?時(shí)，？?取得極小值，也是最小值，所以？?min = ?(? = 1?i+ ?勺-l

3、n?3 = 2?+ ?- ?- ln?3,(0 < ?< 1),令?= 2?+ 1? ? in?(0 < ?< 1),則?(?= ? ?2- 1 - ?= (?- 1)-詈，當(dāng)？C (0,1)時(shí),?(?< 0,函數(shù)？?單調(diào)遞減，所以?> ?1) = 1,即？>?min > 2成立，【舉一反三】1.已知函數(shù) f(x)=axex(a+1)(2x1).若a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程；(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x) >恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【解析】 若a=1,則f(x) = xex2(2x 1).即 f

4、' x) = xex+ex 4,則 f' (0) 3, f(0)=2,所以所求切線方程為3x+ y2=0.(2)由 f(1)藝0 彳導(dǎo) a：s->0, e 1a 2x 12x 1 x 1則f(x)>對(duì)任息的x>0恒成立可轉(zhuǎn)化為 0 > xex對(duì)任息的x>0恒成立.2x 1設(shè)函數(shù) F(x)=(x>0),則 F'x)= xe當(dāng) 0<x<1 時(shí)，F(xiàn)'x)>0;當(dāng) x>1 時(shí)，F(xiàn)'x)<0,所以函數(shù)F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, +8止單調(diào)遞減，所以 F(x)max=F(1)='

5、.于是-a-，解得aJ. a+1 ee-1故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1e- 1'+ oo考向二拆分法構(gòu)造函數(shù)【例2】【河北省衡水2019屆高三四月大聯(lián)考】已知曲線 ？(?= ?ln?2?(?0)在點(diǎn)？(1,?(1)處的切線與直線？0 ? 1 = 0垂直.(1)求函數(shù)？?(?期最小值；(2)若1 < ?< 2,證明：?(?< ?- ? in?【解析】(1)由？(？?= ?ln?2?得？ (?)?(ln? 1) - 2?= ?ln? ?所以?' (1= -?,因?yàn)榍€?(?= ?ln?2?點(diǎn)？(1,?(1)處的切線與直線 ？? ?0 1 = 0垂直，所以(-?) x 1

6、 = -1 ? ?= 1 ,則？(？= ?ln? 2? ?' (?)ln?- 1.令？ (?)0 ? ?= ?則當(dāng)？C (0, ?時(shí),?' (?)0, ?(?學(xué)調(diào)遞減;當(dāng)？?C (?+8)時(shí)，？，(?)0, ?(?學(xué)調(diào)遞增,所以函數(shù)？?(?物最小值為?(?= -?.(2)要證？(？< ? - ? in?即證?ln? 2?< ? - ? in?又因?yàn)椋?> 0,ln?所以即證 ln?- ?< 2 - ?- -?.記？(？= ln?- ?則？ (?)g- 1 , 所以當(dāng)？?e(0,1)時(shí),?'(?)0, ?(?禪調(diào)遞增;當(dāng)？e(i,+8)時(shí),?，(?

7、)o, ?(?印調(diào)遞減, 所以當(dāng)？?= 1時(shí)，？(?用最大值？(1)= -1 .又記？?(?= 2- ?-劈 貝U?'(笆-等, 所以當(dāng)？?e(0, ?時(shí),?'(?)0, ?(?學(xué)調(diào)遞減;當(dāng)？e(?+8)時(shí)，?(?)o, ?(?郛調(diào)遞增, 所以？?(?初最小值為?(?= 2 - ?- ；?因?yàn)?1 < ?< 2,所以 2 - ?- 1> - 1> -1 , ?所以?(?褊 > ?(?max ，所以?(?< ? - ? ln?城立.【舉一反三】1 .已知函數(shù) f(x) = eln xax(aCR).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng) a= e

8、 時(shí)，求證：xf(x) ex+ 2ex< 0.e【解析】(1)f x)= a(x>0), x若aWQ則f'x)>0, f(x)在(0, + 8止單調(diào)遞增；若 a>0,令，x)=0,得 x=e, a貝U當(dāng) 0<x<eW, f，x)>0;當(dāng) x>e時(shí)，f x)<0 ,故f(x)在0, e上單調(diào)遞增，在 9，+ 00上單調(diào)遞減. aa(2)證明：因?yàn)閤>0,所以只需證f(x) I 2e,x當(dāng)a=e時(shí)，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, +8止單調(diào)遞減,13所以f(x)max=f(1) = -e.、一ex一, x-1

9、 ex記 g(x) = -2e(x>0),則 g x)=x2， 當(dāng)0vx<1時(shí)，g'x)<0, g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí)，g'x)>0, g(x)單調(diào)遞增, 所以 g(x)min = g(1) = e.綜上，當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)啕(x),即 f(x) JX- 2e,即 xf(x)ex+ 2ex< 0.2 .【遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】已知 ？(？ = ?ln?(I)求函數(shù)?(?在定義域上的最小值；(n)求函數(shù)?(?在? ?- 2 (?0)上的最小值；(出)證明：對(duì)一切？C (0, + 8),都有l(wèi)n?>

10、; J- 慈立.【解析】(I)由?(? = ?ln?>0得？'(？ = ln?+ 1,1令？(？ = 0,得？?= 5?當(dāng)？e(0,?時(shí)，？'(？ <0, ?(?單調(diào)遞減；當(dāng)？e (?+8)時(shí)，？'(？ >0, ?(?單調(diào)遞增.可得最小值為？7? = - ?(n)當(dāng) 0 < ?* ?< ? 2 ,即 0 < ?< ?寸，？?(?in = ?1? = - ?當(dāng)?w?R ?- 2,即？1?寸，?(?在? ?+ 2上單調(diào)遞增， 此時(shí)？(？ min = ? (? = ?ln?0< ? ?1?-_11所以(出)問(wèn)題等價(jià)于證明？ln?

11、> ?- ?(? (0,+8).1由(1)知？(？ = ?ln?,?>0 的最小值是-?當(dāng)且僅當(dāng)?= J?取至l 設(shè)?(?)= % %?e(0,+oo),則？'(?)二零，易知?(?max = ?(1) = - ?當(dāng)且僅當(dāng)？?= 1時(shí)取到.從而對(duì)一切？?e (0, +9，都有l(wèi)n?> ?- ?立.考向三作差構(gòu)造函數(shù))處取得極小值.【例3】(2018廣西柳州畢業(yè)班摸底)已知函數(shù)f(x)=ax+xln x在x = e 2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng) x>1 時(shí),求證：f(x)>3(x-1).【解析】(1)因?yàn)?f(x)= ax+xln x,

12、所以 f' x)=a+ln x+1, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=e 2處取得極小值，所以f'佰)=0,即a+ln e 2+1=0, 所以 a=1,所以 f'x) = ln x+2.當(dāng) f x)>0 時(shí)，x>e 2;當(dāng) f'x)<0 時(shí)，0<x<e 2,所以f(x)在(0, e 2)上單調(diào)遞減，在(e-2, +00止單調(diào)遞增，所以f(x)在x= e 2處取得極小值，符合題意，所以 a=1.(2)證明：由(1)知 a=1,所以 f(x) = x+ xln x.令 g(x) =f(x)3(x1),即 g(x)=xln x-2x+ 3(x>

13、;0).g ' x)= In x- 1,由 g' x)= 0,得 x= e.由 g'x)>0,得 x>e;由 g'x0<0,得 0<x<e.所以g(x)在(0, e)上單調(diào)遞減，在(e, + 00比單調(diào)遞增，所以g(x)在(1, + o止的最小值為 g(e)=3e>0.于是在(1, +o止，都有 g(x)再(e)>0,所以 f(x)>3(x1).【舉一反三】x1. (2019 河南)已知函數(shù)f(x) e ax 1 , a R .(1)若f x在區(qū)間1,2上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)設(shè) a 0 ,求證：x 0 時(shí)，

14、f (x) x2.【解析】(1) . f (x) ex a是增函數(shù).又f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)，f (1) e a 0 或 f (2) e2 a 0.a e 或 a e2(2)令 g(x) f (x)x2exax 1x2.(x) g (x) exa2x ,(x)ex2 .x (,ln2)時(shí)，(x)是減函數(shù)，x (ln 2,)時(shí)，(x)是增函數(shù)，e1 x ln2時(shí)，(x)min2 a 2ln 2 2ln - a .2e - a 0 , 一 (x)min 2ln - a 0.2 g(x) f (x) x2在x 0時(shí)是增函數(shù).g(x) g(0)f(0) 0,即 f(x) x22. (2019山

15、西高考模擬(理)已知函數(shù)f(x)lnax(I)若a 0 ,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(H)若a 0,證明:f (x) 2af'(x)(I)依題意，x1時(shí),12時(shí),ax (af'(x)1)(x)f'(x)綜上所述,(0,)f'(x)ax2 x (a 1)2x(x 1)ax (a 1)0 ,由 f '(x) 0 得 x(0,1),由f'(x)0得 x (1,1一時(shí)，函數(shù)2(n)要證:即證：lnx(x 1)22 x20,0;由 f '(x) 0 得 xa 0時(shí),(0,1)或 x1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,(1,)f'(x)1, a 1af

16、(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減;)上單調(diào)遞減;12時(shí),a 1 一函數(shù)f(x)在0,和(1,a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)和f(x) 2a 1xa 1 ax xx2ax，x 1 e)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在a 1一,1 a上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增.即證：ln x ax a- 2a xa 1 x即證：In x ax 2a x-y 0.人.a 1- x令 F(x) In x ax 2a x1x eF'(x)21 x ax x (a 1)x 12ex(x 1)ax a 1因?yàn)閍 0,所以當(dāng)x (0,1)時(shí)，F(xiàn)'(x)0, F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x (1,)時(shí),F&

17、#39;(x)0, F(x)單調(diào)遞增,所以 F(x)min F(1) 0,即 F(x) 0.故當(dāng) a 0時(shí)，f(x) 2a 4r. x e考向四 換元法構(gòu)造函數(shù)【例3】已知函數(shù)f(x)=lnxax, a C R.(1)若函數(shù)f(x)在(1, + 8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)當(dāng) a=1 時(shí)，g(x) = f(x) +x+-m 有兩個(gè)零點(diǎn) x1，x2,且 xvx2,求證：x + x2>1.2x【解析】(1)解：因?yàn)?f(x)= lnx-ax,則 f'x)= - -a= 1-ax x x若函數(shù)f(x)= lnx-ax在(1, + 8止單調(diào)遞減，則1 axwo在(1, +

18、8)上恒成立，一 ,1， 一即當(dāng)x> 1時(shí)a>一恒成立，x所以a>1.、r ,1，(2)證明：根據(jù)題意，g(x)=lnx+m(x>0),2x因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g(x)=lnx+ 工 一m的兩個(gè)零點(diǎn),2x11所以 ln x1 m 0,ln 溝 m 0.2x12x2兩式相減，可得ln - x212x21 ，為x1 x2x1x2，即 ln a xx，故 1 2 2x1x22x2x1xx22ln x1 .x2X2那么X,X2In X1X2X2X12In X1X2X1X2,其中0vtv1,則X1X22lnt 2lntt1 t .2Int(t 1)2t2、1記 h(t)=t： 2

19、1nt(0vtv1),則 h (t)因?yàn)?vtv1,所以h'tx>。恒成立，故h(t)vh(1),即 t-1-2Int<0.t_t 1.可知 t 1 ,故 X1 + X2 > 1.2In t【舉一反三】1.已知函數(shù)f(X) = In xaX(X>0), a為常數(shù)，若函數(shù) f(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X1, x2(x1次2).求證:-2x1X2>e2.證明 不妨設(shè)X1>X2>0,因?yàn)镮n X1一aX1 = 0, In X2 aX2= 0,所以In X1 In X2In X1+ In X2 = a(x1 + X2), In x1一 In X2=a(x1一X2

20、), 所以=a,X1 X2欲證XiX2>e2,即證 In xi+ ln X2>2.因?yàn)?In X1+ In X2 = a(X1 + X2),所以即證 a.十.,所以原問(wèn)題等價(jià)于證明In X1 In X22X1 X2 >X1 + X2X1 2 X1 X2X2X1 + X2'. X12 c-1令c=黛c>1)，則不等式變?yōu)镮n c> W令 h(c) = In c 2-C_1-, c>1 , 所以 h'c) = 1 c+1cc+1 2 c c+12-2>0，所以h(c)在(1, +8止單調(diào)遞增，所以 h(c)>h(1)= In 10=0

21、,即In c- -c->0(c>1),因此原不等式 X1X2>e2得證. C i I2. (2019江西)已知函數(shù)X一 In X ,若函數(shù)f x有兩個(gè)零點(diǎn)X1, X2. a(1)求a的取值范圍;1(2)證明：2eIn x1In x2【答案】（1） a e（2）見(jiàn)證明【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,1x 1 ax0時(shí),f x 0恒成立,0,遞減，至多一零點(diǎn)0時(shí),f x 0解得00解得x a,所以f在0,a遞減在a,遞增函數(shù)f x要有兩個(gè)零點(diǎn)，則最小值In a 0 ,解得 a e經(jīng)檢驗(yàn)f 110 ,即 f 1 f a 0,則 af x在0,a有一個(gè)零點(diǎn)2ln a , a e,令

22、g a2 0恒成立. a所以e,單調(diào)遞增，即g所以0,則0,必有一零點(diǎn).所以e時(shí),函數(shù)f x有兩個(gè)零點(diǎn)x1又2(2)因?yàn)?2為的兩個(gè)零點(diǎn)，所以不妨礙0x1x1ln x1ln x1xa1要證ln x1只需證所以x2,則 a x2aIn x2ln x2x2aX x2In x1In x22eIn x2x1x2ln x1lnxx2一,只需證aln x12x1x2,只需證x2x1x20,1 ,現(xiàn)在只需證2ln t, t 0,1 則0,1單調(diào)遞增，即 tIn x2In x12,In x22ln t_ a只需證一x12 2X x22x1x2x22,1n x11 x1x2x22 x2為1 t2所以2eln x

23、1In x2a考向五放縮法證明不等式【例5】【安徽省蚌埠市2019屆】已知函數(shù)？(?= ?CR), ?(?=乎?+ 1.(1)求函數(shù)？?(?那極值；(2)當(dāng)？?A 1產(chǎn)，求證：？?(?戶(hù)？?(?)【解析】(1 )由？?？=詈1 ,得?(?=上署定義域?yàn)?0,+8 ).令? (?= 0,解得？?= ?列表如下：?(0,?(?+8)_ '? (?+0-?單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減結(jié)合表格可知函數(shù)？?的極大值為?= 1?+ 1,無(wú)極小值.(2)要證明？?？>?,即證？?>詈+ 1,而定義域?yàn)?0,+8),所以只要證？?？ ln?- ?為0,又因?yàn)椋?為?所以？?？?？ ln?0 ?&

24、gt;?- ln? ?所以只要證明：?3?- ln?2 ?> 0.令?= J?，?- ln? ?則？?，(?= (?+ 1) (?-1 - ?),1記？(？= ?-1 - -?則？(？?在(0,+8)單調(diào)遞增且?(1) = 0,所以當(dāng)？e(0,1)時(shí)，?(?< 0,從而？?(?< 0；當(dāng)？e (1,+8)時(shí)，?(?> 0,從而？? (? > 0,即？?在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，？>?1)= 0.所以當(dāng)？?1/,?>?.【舉一反三】,一一x 11.已知函數(shù) f(x)=1 ex, g(x) = x ln x.(1)證明：g(x)(2)證

25、明:(xln x)f(x)>1£x 1【解析】(1)由題意得g x)=(x>0),x當(dāng) 0<x<1 時(shí)，g x)<0.當(dāng) x>1 時(shí)，g'x)>0,即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1, + 8止為增函數(shù).所以g(x)再(1)= 1 ,得證.x 1 ,， x-2(2)由 f(x) = 1 一 e* ,倚 f x) = e* ,所以當(dāng) 0<x<2 時(shí)，f'x)<0,當(dāng) x>2 時(shí)，f'x)>0,即f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(2, + 8比為增函數(shù)，1 ,所以f(x)冉2)=11(

26、當(dāng)x= 2時(shí)取等號(hào)).又由(1)知xIn x>1肖x=1時(shí)取等號(hào))，所以等號(hào)不同時(shí)取得，所以(x- In x)f(x)>1 4.e課后練習(xí)：21. (2019 河北)已知函數(shù) f (x) ax In x x 2(a R).(1)當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù)f x在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù)f x有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(3)當(dāng)a 0時(shí)，求證：對(duì)任意x 1,), f (x)x2 (a 2)x 1恒成立.【答案】(1) 3x y 0 (2), 2 (3)見(jiàn)解析2【解析】(1)當(dāng)a 1時(shí)，f x xlnx x 2x0,. . f x Inx 2x 1f 13,又.

27、 f 13 y 3 3 x 1 ,即 3x y 015函數(shù)f X在點(diǎn)1,f 1處的切線方程為3x y 0.(2)由題意知，函數(shù) f X的定義域?yàn)?0,x alnx 2x a ,x 0 ,可得 alnx 2x0時(shí)，方程alnx 2x alnx 1 x2x1 lnx x 2x則由題可知直線y1 ，一， 一與函數(shù)ya2lnxx彳0,1 時(shí),0,a 0,0僅有一解，a0,g x的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).為單調(diào)遞減函數(shù);1,時(shí),0,為單調(diào)遞增函數(shù).0，g12,且當(dāng)x時(shí)，g x 0，實(shí)數(shù)0,a的取值范圍為alnx2x，要證對(duì)任意x1,2 .x + a 2 x 1恒成立即證alnx2x1成立即證alnxax0

28、成立alnxaxa 2x x0時(shí)，易知h1,上為減函數(shù)19. h x在1,上為減函數(shù)h x h 12 0 alnx x2 ax a 1 0 成立2即對(duì)任意x 1, f x x + a 2 x 1恒成立.X 122. (2019通榆縣第一中學(xué))已知函數(shù)fx x 2 e -x x 2.2(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值；11(2)證明：當(dāng) x 1 時(shí)，f x-x3 -x.62x 1 21、【解析】(1)由題意，函數(shù)f x x 2 ex x2 x 2,可得定義域2f x x 1 ex 1 ,令 f x0 得 x 0 或 x 1 ,可得x, f x , f x的變化情況如下表：x,000,111,f

29、 x+0-0+f xZ極大值極小值Z所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,0 , 1,;單調(diào)遞減區(qū)間是 0,1 ,當(dāng)x 0, f x有極大值f 050,當(dāng)x 1, f x有極小值f 1- e.2(2)令 g xf xksxJUgx x1ex1x36222x 13x 1e -x-,則hx e , 222x 1當(dāng)x 1時(shí)，h x e 0恒成立，所以h x在1,上是增函數(shù),2所以 h x h 1 e 2 0,又因?yàn)閤 1,x 1 0 ,所以g x1 31所以g x f x - x -x在1, 上是增函數(shù), 62所以 g x g 117 e 0,也就是 f x 1 x3 1 x 0,662一, 一1 3 1即當(dāng)

30、x 1 時(shí)，f x x3 -x.623. (2019黑龍江哈爾濱三中)已知函數(shù)X 2f(x) xe x 2x 1.6(1)求函數(shù)f x在1,1上的最大值;(x 1)(ex 2),x 1,1,(2)證明：當(dāng) x 0 時(shí)，f (x) x 1 .【解析】(1) f '(x) ex xex 2x 2令 f '(x) 0,解得 ln2 x 1,令 f'(x) 0,解得 1 x ln2,所以函數(shù)f x在1,ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2,1上單調(diào)遞增,一11且 f ( 1)-12 1- , f(1) e 1 2 1 e 4,ee所以函數(shù)f x在1,1上的最大值為1；e(2)由

31、f(x) x 1 可得 xex x2 2x 1 x 1 ,即 xex x2 x 0,因?yàn)?x 0,所以 ex x 1 0,0時(shí)，可得ex 1 ,從而有h'(x) 0,令 h(x) ex x 1 ,得 h '(x) ex 1,當(dāng) x所以h(x) ex x 1在(0,)上是增函數(shù),所以h(x) e0 0 1 0,從而有ex x 1 0恒成立,即原命題得證，故：當(dāng) x 0時(shí)，f(x) x 1.1 c4.已知函數(shù) f(x)=(x+a-1)ex, g(x)=2x2+ax,其中 a 為吊數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的xC0, +8)不

32、等式f(x)福(x)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閍=2,所以f(x)=(x+ 1)ex,所以f(0)=1,f'x) = (x+ 2)ex,所以f (0)2,所以所求切線方程為2x-y+1 = 0.(2)令 h(x)=f(x) g(x),由題意得 h(x)min>0在 xC 0, + 8止恒成立，1 C因?yàn)?h(x)= (x+a1)ex 2x2 ax,所以 h x)=(x+ a)(ex1).若a>Q則當(dāng)xC 0, + 8肘，h，x)川 所以函數(shù)h(x)在0, + 00止單調(diào)遞增，所以 h(x)min=h(o)=a1,則 a- 1 >q 彳導(dǎo) a>

33、; 1.若 a<0,則當(dāng) xC0, a)時(shí)，h'x)wq當(dāng) xC (-a, + 8時(shí)，h，x)>0,所以函數(shù)h(x)在0, a)上單調(diào)遞減，在(一a, + 8止單調(diào)遞增，所以 h(x)min = h(-a), 又因?yàn)閔(-a)<h(0) = a- 1<0,所以不合題意.綜上，實(shí)數(shù) a的取值范圍為1, +8).5 .設(shè)函數(shù) f(x) = (1 x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x) <x+ 1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f' x)= (1 2x x2)e、，令 f' x)= 0,得 x= 1 埒2當(dāng)

34、xC (8, 1擊)時(shí)，f'x)<0;當(dāng) xC (-1-72, 1 + W)時(shí)，f' x0>0;當(dāng) xC ( 1+也，+8)時(shí)，x)<0.所以f(x)在(°0, 1 y/2), ( 1 +，2, + 8止單調(diào)遞減，在(一 1 一2, - 1 + J2)上單調(diào)遞增.(2)令 g(x)=f(x) -ax-1 = (1-x2)ex-(ax+ 1),令 x= 0,可得 g(0) = 0.g'x)= (1 x22x)exa,令 h(x) = (1 x2 2x)ex a,則 h x) = (x2+4x+ 1)ex,當(dāng)x>0時(shí)，h'x)<

35、;0, h(x)在0 , + 8止單調(diào)遞減，故 h(x)由(0)= 1 a,即 g'x)wka,要使f(x) - ax- 1wo在x>0時(shí)恒成立，需要 1 aWQ即 a>l,此時(shí) g(x)啕(0) = 0,故 a> 1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1 , + 8).右一皿 2a x26 .已知函數(shù) f(x) = x (a C R). e(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若？xC 1 , + 8),不等式f(x)> 1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f' x) =x2 2x 2aex,1 .當(dāng) aw7時(shí)，x22x 2a>0, f x)

36、>Q函數(shù) f(x)在(一0°, + 8比單倜遞增.1 一，當(dāng) a> 2時(shí)，令 x2-2x-2a=0,解得 x1= 1 ->/2a+1, x2 = 1 + V2a+1.，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一00, 1 42a+ 1)和(1 +/2a+ 1, +8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1 -2a+ 1, 1 +、2a+1).2a x29 x(2)f(x)>1? -x-> 1? 2a>x2-ex, e由條件知，2a>x2 ex又t?x> 1恒成立.令 g(x)=x2ex, h(x) = g'x)= 2x ex,，h'x) = 2 e

37、x.當(dāng) xC 1 , + 8時(shí),h'x)=2 exw2 e<0, . h(x) = g ' x) = 2x ex 在1, + 8讓單調(diào)遞減,h(x) = 2x-ex<2-e<0,即 g'x)<0, 1- g(x) = x2 ex 在1 , + 8 止單調(diào)遞減， .g(x) = x2exq(1)=1e,故若f(x)> 1在1 , + 8止恒成立，1 e則需2a>g(x)maX=1-e,a>,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1-2-e, + 8.1 C7.設(shè) f(x) = xe , g(x) = 2x2+x.(1)令 F(x) = f(x)

38、+ g(x),求 F(x)的最小值;(2)若任意 x1, x2 - 1, +8),且 x1 >x2,有 mf(x1) f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.【解析】(1)F(x)=f(x) + g(x) = xex+2x2 + x,. F'x)= (x+1)(ex+ 1),令 F'x)>0,解得 x>-1,令 F'x)<0,解得 x<-1,.F(x)在(一 1)上單調(diào)遞減，在(-1, + 8 止單調(diào)遞增.故 F (x)min = F(1)= . 2 e(2) :任意 x1, x2 - 1, +8),且 x1

39、>x2,有 mf(x1) f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立,mf(x1) 一 g(x1)> mf(x2) g (x2)恒成立.1 o令 h(x) = mf(x)g(x) = mxex2x2x, xC - 1, +8),即只需h(x)在1, +8)上單調(diào)遞增即可.故 h' x)= (x+ 1)(mex 1) >0- 1, + 8止恒成立，故 m，而工wg 故 m>q e e即實(shí)數(shù)m的取值范圍是e, +8).8. (2018開(kāi)封高三定位考試)已知函數(shù)f(x)=ax+ x2xln a(a>0, a1)(1)求函數(shù)f(x)的極小值；(2)若存在x，x2

40、C 1,1,使得|f(x1)一 f(x2)| R 1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f'x)= axln a+ 2x ln a= 2x+ (ax- 1)ln a.;當(dāng)a>1時(shí)，ln a>0,函數(shù)y=(ax 1)ln a在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，ln a<0,函數(shù)y=(ax1)ln a在R上也是增函數(shù)，.當(dāng)a>1或0<a<1時(shí)，f' x。在R上是增函數(shù)，又f' (0)0,.f'x)>0的解集為(0, +8)f，x)<0的解集為(8, 0),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0

41、, 十 8),單調(diào)遞減區(qū)間為(00, 0),，函數(shù)f(x)在X=0處取得極小值1.(2) .存在 xi, x2> 1,1,使得 |f(xi) f(x2)| K 1,.只需 f(x) max一f(x)min>6 1 即可.由(1)可知，當(dāng)xC1,1時(shí)，f(x)在 1,0上是減函數(shù)，在(0,1上是增函數(shù),當(dāng) xC 1,1時(shí)，f(x)min=f(0) = 1, f(x)max 為 f( 1)和 f(1)中的較大者.f(1)-f(-1)=(a+1-ln a)-1+1 + ln a = a-；-2ln a, aa令 g(a)=a121n a(a>0),a g，a) = 1+2- |=

42、1-1 2>0, a a ag(a)= a121n a在(0, + 8止是增函數(shù).a而 g(1) = 0,故當(dāng) a>1 時(shí)，g(a)>0,即 f(1)>f(1)；當(dāng) 0<a<1 時(shí)，g(a)<0,即 f(1)<f( 1).當(dāng) a>1 時(shí),f(1)-f(0) >t-1,即 aIn a21.由函數(shù)y = aIn a在(1, + 8止是增函數(shù)，解得a>g當(dāng) 0<a<1 時(shí)，f(-1)-f(0)1,即，+ In a>(-1,a由函數(shù)y = 1+ In a在(0,1)上是減函數(shù)，解得 0<a2. ae綜上可知，所求

43、實(shí)數(shù)a的取值范圍為0, 1 Ue, +8).e29. (2019 江西)已知函數(shù) f x xln x 2ax x, a R .(i)若f x在0, 內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；1(n)右函數(shù)f x有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 x1, x2,證明：x1 x2.2a【解析】(I) f x Inx 2 4ax.f x在0, 內(nèi)單調(diào)遞減， f x Inx 2 4ax 0在 0, 內(nèi)恒成立，即4a血土 2在0,內(nèi)恒成立.x xIn x 2令g x 一，則g xx x1，當(dāng) 0 x -時(shí)，g x 0 ,e1-當(dāng)x 時(shí)，g x 0,即ge，一，一，1g x的最大值為g - ee1 In x2，x-1即g x在0

44、,-內(nèi)為增函數(shù);ex在1, 內(nèi)為減函數(shù). e(n)若函數(shù)f x有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 x1, x2,則 f x Inx 2 4ax 0 在 0,內(nèi)有兩根x1, x2,1nxi 2 4ax1 0由，兩式相減，得lnx lnx2 4a x x?In x2 2 4ax2 0不妨設(shè)0 xx2,，要證明x1 x212aX x24a x1 x212a In x1 In x2即證明2 x1 x2x x22 x11In xIn x2,亦即證明 x2x11x2.x1Inx2h'(x)(x 1)2x(x 1)20,即函數(shù)h x在0,1內(nèi)單調(diào)遞減.x 0,1 時(shí)，有 h x h 10, 2(x 1) In x

45、.x 12 1即不等式一x In %成立.綜上，得X x2x1 1x22ax2252.10. （2019福建廈門(mén)雙十中學(xué)）已知函數(shù) f x x alnx, a 0.（1）若x 1是函數(shù)f x的極值點(diǎn)，求f x的單調(diào)區(qū)間；3 4 n 1（2）求證：2 一 L ln n 1 n.2 3 na【斛析】（1）斛：f x 2x , x 0, x因?yàn)閒' 10 ,所以2 a 0 ,得a 2 ,2令 f'x2x - 0x 1 或 x 1,x又x 0,所以f x在0,1單調(diào)遞減，在1,上單調(diào)遞增.2（2）由（1）知 x 2lnx f 11 ,x 2ln x x 1x Inx 1,2 3 4 L

46、n 1,2 3 nln2 1 In 3 1 L In n-1 1,2nIn n 1 n .11 . （2019 山東高考模擬）已知函數(shù) ？?（?= ln?- ?+ ?（?）（I）若函數(shù)？?（?第1,+8）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) ？的取值范圍；（n）若？?= 1,求？?（?物最大值.【解析】（I）由題意知，？（=?£-（?+ ?+ ?= 1?- （?+ 1）?+ ?w0在1, +8）上恒成立，所以？?w（?+ 1）?- ?我1,+8）上恒成立.令?（?= （?+ 1）?-3 則？'（?）（?+ 2）?+，> 0,所以？?（?限1, +8）上單調(diào)遞增，所以？（?in = ?（1

47、）= 2? 1,所以？?w 2?Q 1.（n）當(dāng)？?= 1 時(shí)，?（?= ln?- ?+ ?（?> 0）.則? （?）1?-（?+1）?+ 1 =（?+1）（ ?- ?5,令?（?）= ? ?,則？'（?=）-卜-?< 0,所以？?(?在(0, +8)上單調(diào)遞減 由于？?(2)> 0, ?(1) < 0,所以存在?> 0滿(mǎn)足？?(?)=0,即？?3 = ?0.當(dāng)？?e(0,?)時(shí)，？?(?)> 0, ?'(?0；當(dāng)？?e(?,+8)時(shí)，？?(?)< 0, ?，(?0.所以？?(?格(0, ?)上單調(diào)遞增，在(?？,+8)上單調(diào)遞減.所以

48、?(?)ax = ?) = ln? - ? + ?,因?yàn)椋?3 = 1, 所以？ = -ln?0，所以？(?？ = -?0 - 1 + ? = -1 , ?所以?(?)ax = -1 .32212 .(2019天津局考模擬)已知函數(shù)f x x ax ax 3, a R.(1)若a 0,求函數(shù)f x的單調(diào)減區(qū)間；2.(2)右關(guān)于x的不等式2xlnx f x a 1恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.【解析】(1) f (x) =3x2+2axa2= (3xa) (x+a)a由 f(x)v0且 a<0得：一<x< a3函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間為a3(2)依題意xC (0, +oo)時(shí)，不等

49、式 2xlnx¥ (x) +a2+1恒成立,一一 . 3x 1等價(jià)于 a lnx 在xC (0, +oo)上恒成立.2 2xlnx3x 12 2x則h' x131x 2 2x23x 1 x 12x2x> 0當(dāng) xC (0, 1)時(shí)，h' (x) >0, h (x)單調(diào)遞增當(dāng) xC (1, +8)時(shí)，h' (x) v 0, h (x)單調(diào)遞減當(dāng)x= 1時(shí)，h (x)取得最大值h (1) =- 2故a> 2x13.(2018年新課標(biāo)I卷文)已知函數(shù) f x ae lnx 1 .(1)設(shè)x 2是f x的極值點(diǎn).求a ,并求f x的單調(diào)區(qū)間; ，1.

50、(2)證明：當(dāng)a 時(shí)，f x 0.e【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,f '(x) =aexx.1由題設(shè)知，f (2) =0,所以a=.2e21 v1 v 1從而 f (x) =-2-e inx 1 , f (x) =-2e .2e2e x當(dāng) 0vx<2 時(shí)，f '(x) <0；當(dāng) x>2 時(shí)，f '(x) >0.所以f (x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增.“1 一ex(2)當(dāng) a»時(shí)，f (x) 上 lnx 1 .eexxee1設(shè) g (x) = 一 lnx 1 ,則 g' x . eex當(dāng)0vx<

51、;1時(shí)，g' (x) <0；當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0,所以x=1是g (x)的最小值點(diǎn).故當(dāng) x>0 時(shí)，g (x)為(1) =0.一 ，1 一 一因此，當(dāng)a 一時(shí)，f x 0 . e14. (2018全國(guó)高考真題)已知函數(shù)？(?= J?- ?+ ?ln?(1)討論？?(?那單調(diào)性；(2)若？?(?旃在兩個(gè)極值點(diǎn)?,?,證明：?1-?(?) < ?. 2. ?1-?2【解析】?(?朝定義域?yàn)?0, +00) , ?(?)= - ?- 1 + ?=-絲泮.(i)若？?w 2,則？?(?尸0,當(dāng)且僅當(dāng)？?= 2, ?= 1時(shí)？? (?)= 0,所以？

52、(?第(0,+8)單調(diào)遞減.?. "？?4?+V?-4(ii)若？?> 2,令？(?)= 0得，？?= J 或?= J .“，八?- V?4?+ V?-4,'當(dāng)？e(0, 一2一)u( 2一,+8)時(shí)，?(?)< 0；?- V?4 ?+，？必?-，？?+V?-4?- V?-4 ?+，？必當(dāng)？?C (2-,一2一)時(shí)，?(?)> 0.所以？?(?在(0,2),(一2一 ,+8)單倜遞減，在(一2一,單調(diào)遞增.(2)由(1)知，？?(?新在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)？?> 2.由于？?(?物兩個(gè)極值點(diǎn)？,？?滿(mǎn)足？- ? 1 = 0,所以？= 1,不妨設(shè)?< ?,則？ > 1.由于?(?)-?(?,)1ln?1-ln?2