初中數學各種(完整版).

1、數學各種公式及性質1. 乘法與因式分解 （日+力）（日一0） = N僅；（丑0）2=耳±2力4俁；（曰+力）（N力4俁）=耳+夕；（廠力）（N+盼俁）=耳一邑 N+俁=（升0）22於（日一0）2=（曰+力）24力。2. 幕的運算性質 護X，=護+門；夕冷=叭;（羽77=護；（羽/7=歹加；（$）門=竺； b 加&n=,特別：（石）/7=（石）/7；卻=1（君0）。3. 二次根式 （巫）2= a（龍0）；I e 丨;b =需"x 逼；尿0）。4. 三角不等式|aHb|<|a±b|<|a|+|b| （定理）；加強條件:|a|-|b|<|a&#

2、177;b|<|a|+|b|也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式（其中a, b分別為向量a和向量b）|a+b|<|a|+|b| ； |a-b|<|a|+|b| ； |a|<b<=>-b<a<b ；|a-b|>|a|-|b| ; -|a|<a<|a| ;5. 某些數列前n項之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+.+尸n（n+l）/2 ; 1+3+5+7+9+11+13+15+.+（2n-1 ）=n2 ;2+4+6+8+10+12+14+（2n）=n（n+l） ; 12+22+32+42+52+62+72+8.+n2=n（n

3、+1）（2n+1）/6 ;13+23+33+43+53+63+I雖n2（n+1）2/4；l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n（n+l）=n（n+l）（n+2）/3 ;6. 一元二次方程對于方程：屛+ &+ c0 ： 求根公式是x二-力土伴-4孔,其中二俁-4況叫做根的判別式。2a當 > 0時，方程有兩個不相等的實數根；當 二0時，方程有兩個相等的實數根；當 vO時，方程沒有實數根.注意：當NO時，方程有實數根。 若方程有兩個實數根為和勺,則二次三項式族+加+ U可分解為如H）（x勺）。 以曰和0為根的一元二次方程是乂（日+ b）x+ ab= 0o7. 一次函數次函數

4、y二kx+ 如）的圖象是一條直線（力是直線與y軸的交點的縱坐標，稱為截距）。 當斤0時，p隨x的增大而增大（直線從左向右上升）； 當WvO時，y隨x的增大而減?。ㄖ本€從左向右下降）； 特別地：當0二0時、ygkfO又叫做正比例函數（y與x成正比例），圖象必過原點。8. 反比例函數反比例函數戶：（倉0）的圖象叫做雙曲線。 當斤0時，雙曲線在一、三象限（在每一象限內，從左向右降）; 當XrvO時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內，從左向右上升）。9. 二次函數（1 ） 定義：一般地，如果y= ax + bx+ c（a, b, c是常數，曰工0）,那么p叫做x的二次函數。（2）.拋物線的三要素：開口

5、方向、對稱軸、頂點。 a的符號決定拋物線的開口方向：當曰0時，開口向上；當曰v 0時，開口向下；同相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于p軸（或重合）的直線記作x= /?特別地，p軸記作直線x=0。（3）幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向y= a疋y= + k當a> OB寸y= ckx- Zz)2開口向上y= ckx- /z)2 + «當a0B寸* + bx+ c開口向下對稱軸頂點坐標x= 0( 軸)(0,0)x= 0 ( 軸)(0,幻x= h（力,0）x= h（力,幻b（b 4ac- 02 （2日'4日）（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法 公式法

6、：y= + bx+ c= /AV +4acZ/?2 ,頂點是(丄半匚仇),對禰軸是I 2a 丿4a2a 4a直線x=-_L。2a 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y= £x_ 佃 k的形式，得到頂點為(巾幻,對稱軸是直線x= ho 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點(掙助、(夕力(及值相同)，則對稱軸方程可以表示為：x=空尹(5) 拋物線+ 中，ahc的作用 曰決定開口方向及開口大小，這與JZ二*中的日完全一樣。bX=2a 力和曰共同決定拋物線對稱軸的位置由于拋物線的對稱軸是直線。,故：力=0時，對稱軸

7、為p軸；£>0(即日、力同號)時，對稱軸在y軸左側；纟<0 (即刁、力異號)時,對稱軸在軸右側。 a u的大小決定拋物線y= a* + bx+ c與y軸交點的位置。當x= 0時，j/= u ,拋物線y二a)fi + bx+ u與p軸有且只有一個交點(0 , c): c=0 ,拋物線經過原點；c>0,與y軸交于正半軸;*0,與p軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立如拋物線的對稱軸在JZ軸右側，則-<0o(6) 用待定系數法求二次函數的解析式 一般式：y=a + b¥+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式. 頂點式：y=&

8、#163;xA2+k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。 交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x、x，通常選用交點式：j/= a(x-x )(y-x )。1 2 1 2(7) 直線與拋物線的交點 p軸與拋物線j/= ax + bx+ c得交點為(0, c)o 拋物線與x 軸的交點。二次函數y = ax + bx+ c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x、x，是對應一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由詁應諒一元二次方程的根的判別式判定：a有兩個交點o(A>0)o拋物線與x軸相交；b有一個交點(頂點在塔由上)o ( = ()<=>拋物線

9、與x軸相切；C沒有交點O (A < 0) O拋物線與X軸相離。 平行于X軸的直線與拋物線的交點同一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等， 設縱坐標為k ,則橫坐標是ax2+bx c= £的兩個實數根。 一次函數y=kx+rkk±$的圖像/與二次函數#=加+如/齊0）的圖像G的交點，由J An y=kx“的解的數目來確定：a方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點；b方程組只有一組解時o /與G只有一個交點；c方程組無解時o /與G沒有交點。 拋物線與X軸兩交點之間的距離：若拋物線尸=來+如u與x軸兩交點為 Kx, ® ,貝i

10、AB二 |¥-x1 2 1 1 210.統(tǒng)計初步（1）概念：所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量在一組數據中，出現 次數最多的數（有時不止一個），叫做這組數據的眾數將一組數據按大小順序排列，把處在 最中間的一個數（或兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數（2）公式：設有/?個數舛，勺，兀，那么：平均數為：了二空12+ x“n 極差：用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差二最大值-最小值; 方差：數據X、X, X的方差為52 ,12n+(

11、X -%)2n則52律鄴-"+ （篤-分 標準差：方差的算術平方根。數據X、X, X的標準差S,12n| X - %)2 + (%T)2 + x - x)2n一組數據的方差越大，這組數據的波動越大，越不穩(wěn)定。" 頻率與概率(1) 頻率頻率二頻數,各小組的頻數之和等于總數，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各 總數個小長方形的面積為各組頻率。(2) 概率 如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0<P ( A ) <1 ;P (必然事件)=1 ； P(不可能事件)=0 ; 在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計算簡單事件發(fā)生的概率。 大量

12、的重復實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；12銳角三角形設Z褪 ABC的任一銳角，則Z/I的正弦：sin/第嚴,Z/I的余弦：cos/l二Z蠶遑，Z/4 的正切：tan/l二"2器齧備并且 sin2>4 + cos2>4 = 1 o0<sin/l<1 , Ovcos/vl , tan4>0. Z/l越大，Z力的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 余角公式：sin(90° = cos/1, cos(90° 舛=sinA 特殊角的三角函數值：sin30° = cos6(r = 4 , sin45° = cos45&#

13、176; =, sin60° = cosSO0 =,2 2,tan45°= 1 ,力 斜坡的坡度：/=水平寬度=T 設坡角為a ,則/ = tana4。13正(余)弦定理(1 )正弦定理 a/sinA二b/sinB二c/sinC二2R ;注：其中R表示三角形的外接圓半徑。正弦定理的變形公式：(1) a=2RsinAz b=2RsinB,c=2RsinC ； (2)sinA: sinB: sinC = a: b: c(2)余弦定理 b2=a2+c2-2accosB ; a2=b2+c2-2bccosA ; c2=a2+b2-2abcosC :注：ZC所對的邊為c, ZB所對的

14、邊為b, ZA所對的邊為a14三角函數公式(1 )兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB si n (A- B)=si n Acos B -si n Bcos A cos(A+B)二 cosAcosB-si n Asi n B cos(A-B)=cosAcosB+sinAsi n Btan (A+B)二(tanA+ta nB)/(1-tanAtanB) tan (A-B)=(tanA-ta nB)/(1 +tanAtanB)ctg (A+B)二(ctgActg B -1 )/(ctg B+ctgA) ctg (A-B)=(ctgActg B+1 )/(ctg B-ctg

15、A)(2) 倍角公式tan 2A=2tanA/(1 -ta n2A) ctg2A=(ctg2A-1 )/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1 =1-2sin2a(3) 半角公式sin(A/2)=(l -cosA)/2) sin(A/2)二7(1 cosA)/2)cos(A/2)=a/( 1 +cosA)/2) cos(A/2)=V( 1 +cosA)/2)tan(A/2)=/(l -cosA)/(1 +cosA) tan (A/2)=-/(l -cosA)/(1 +cosA)ctg(A/2)=7(l+cosA)/(l cosA) ctg(A/2)=7(l +cosA

16、)/(1 -cosA)(4) 和差化積sinA+sinB 二 2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB 二 2cos(A+B)/2)sin(AB)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(5) 積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcos B=cos(A+B) -si n (A- B) -2sinAsi

17、nB=cos(A+ B)-cos(A-B)15平面直角坐標系中的有關知識(1 )對稱性：若直角坐標系內一點P( a,力)，則P關于x軸對稱的點為P(日，力)，P關于p軸對稱的點為P2(-日，力)，關于原點對稱的點為P3(-/?)o（2）坐標平移：若直角坐標系內一點P （曰，力）向左平移力個單位，坐標變?yōu)镻（ a/?, 0）, 向右平移/?個單位，坐標變?yōu)镻 （日+力，力）；向上平移/?個單位，坐標變?yōu)镻 （曰，力+力），向 下平移力個單位，坐標變?yōu)镻 （日，力力）如：點A （ 2 ,1 ）向上平移2個單位，再向右平 移5個單位，則坐標變?yōu)锳（7, 1）o16多邊形內角和公式多邊形內角和公式：/

18、?邊形的內角和等于（門-2）180° （, 77是正整數），外角和等于360°17.平行線段成比例定理 （1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。如圖：a/b/cz直線Zj與厶分別與直線日、力、u相交與點A B、U和0、E、F,則有Ab DE AB DE BC EFBCEFlACDF'ACDF(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。如圖： ABC中，DE/ BC , DE與AB、/U相交與點D、F ,則有：AD _ AE AD _ AE _ DE DB ECAC18.19.直角三角形中的射

19、影定理直角三角形中的射影定理：如圖：RtA力尤中，ZACB=OP , CD LAB于。則有:(1 ) C8 = ADBD AG = AD力3 ( 3 ) 80 = BD AB aCD B圓的有關性質(1 )垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質中的任意兩個性質：經過圓心；垂直弦； 平分弦；平分弦所對的劣??；平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性 質注：具備，時，弦不能是直徑。(2) 兩條平行弦所夾的弧相等。(3) 圓心角的度數等于它所對的弧的度數。(4) 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。(5) 圓周角等于它所對的弧的度數的一半。(6) 同弧或等弧所對的圓周角相等。(7) 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。(8) 90°的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是妙，直徑是最長的弦。、(9) 圓內接四邊形的對角互補。20.三角形的內心與外心(1)三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心.三角形的內心就是三內角角平分線的交點。b c2(2)三角形的