2007年全國(guó)高考數(shù)學(xué)（理科）試卷（全國(guó)卷Ⅰ）(解析版)

1、教育資源分享店鋪 網(wǎng)址： 微信號(hào)：kingcsa3332007年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷）一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1（4分）是第四象限角，則sin=（）ABCD2（4分）設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a=（）AB1CD23（4分）已知向量，則與（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向4（4分）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（4，0），（4，0），則雙曲線方程為（）ABCD5（4分）設(shè)a，bR，集合1，a+b，a=0，b，則ba=（）A1B1C2D26（4分）下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線xy+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A（1，1）B（1

2、，1）C（1，1）D（1，1）7（4分）如圖，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）ABCD8（4分）設(shè)a1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之差為，則a=（）AB2CD49（4分）f（x），g（x）是定義在R上的函數(shù)，h（x）=f（x）+g（x），則“f（x），g（x）均為偶函數(shù)”是“h（x）為偶函數(shù)”的（）A充要條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D既不充分也不必要的條件10（4分）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n=（）A3B4C5D611（4分）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線

3、與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是（）A4BCD812（4分）函數(shù)f（x）=cos2x2cos2的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）ABCD二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種（用數(shù)字作答）14（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=15（5分）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則an的公比為16（5分）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱

4、的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為三、解答題（共6小題，滿分82分）17（12分）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA（）求B的大?。唬ǎ┣骳osA+sinC的取值范圍18（12分）某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)（）求事件A：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及

5、期望E19（14分）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）證明：SABC；（）求直線SD與平面SBC所成角的大小20（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=exex（）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）2；（）若對(duì)所有x0都有f（x）ax，求a的取值范圍21（14分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且ACBD，垂足為P（）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值22（16分）已知數(shù)列an中，a1=2，n=1，2，3，（）求an的通

6、項(xiàng)公式；（）若數(shù)列bn中，b1=2，n=1，2，3，證明：，n=1，2，3，2007年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1（4分）（2007全國(guó)卷）是第四象限角，則sin=（）ABCD【分析】根據(jù)tan=，sin2+cos2=1，即可得答案【解答】解：是第四象限角，=，sin2+cos2=1，sin=故選D2（4分）（2007全國(guó)卷）設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a=（）AB1CD2【分析】復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化，化簡(jiǎn)為a+bi（a、bR）的形式，虛部等于0，可求得結(jié)果【解答】解設(shè)a是實(shí)數(shù)，=是實(shí)數(shù)，則a=1，故選B3（4分）（2007全

7、國(guó)卷）已知向量，則與（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【分析】根據(jù)向量平行垂直坐標(biāo)公式運(yùn)算即得【解答】解：向量，得，故選A4（4分）（2007全國(guó)卷）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（4，0），（4，0），則雙曲線方程為（）ABCD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c，再根據(jù)離心率求得a，最后根據(jù)b=求得b，雙曲線方程可得【解答】解已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（4，0），（4，0），則c=4，a=2，b2=12，雙曲線方程為，故選A5（4分）（2007全國(guó)卷）設(shè)a，bR，集合1，a+b，a=0，b，則ba=（）A1B1C2D2【分析】根據(jù)題意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的

8、意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得a+b=0，進(jìn)而分析可得a、b的值，計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，集合，又a0，a+b=0，即a=b，b=1；故a=1，b=1，則ba=2，故選C6（4分）（2007全國(guó)卷）下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線xy+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】要找出到直線xy+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，我們可以將答案中的四個(gè)點(diǎn)逐一代入驗(yàn)證，不難得到結(jié)論【解答】解給出的四個(gè)點(diǎn)中，（1，1），（1，1），（1，1）三點(diǎn)到直線xy+1=0的距離都為，但，僅有（1，1）點(diǎn)位于表示的平面區(qū)域內(nèi)故選C7

9、（4分）（2007全國(guó)卷）如圖，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）ABCD【分析】先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可【解答】解如圖，連接BC1，A1C1，A1BC1是異面直線A1B與AD1所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值為，故選D8（4分）（2007全國(guó)卷）設(shè)a1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之差為，則a=（）AB2CD4【分析】因?yàn)閍1，函數(shù)f（x）=logax

10、是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值與最小值之分別為loga2a、logaa=1，所以loga2alogaa=，即可得答案【解答】解a1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之分別為loga2a，logaa，loga2alogaa=，a=4，故選D9（4分）（2008上海）f（x），g（x）是定義在R上的函數(shù)，h（x）=f（x）+g（x），則“f（x），g（x）均為偶函數(shù)”是“h（x）為偶函數(shù)”的（）A充要條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D既不充分也不必要的條件【分析】本題主要是抽象函數(shù)奇偶性的判斷，只能根據(jù)定義，而要否定奇偶性，一般用特值【解答】解若“f（x），g（x）均為

11、偶函數(shù)”，則有f（x）=f（x），g（x）=g（x），h（x）=f（x）+g（x）=f（x）+g（x）=h（x），“h（x）為偶函數(shù)”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2x，h（x）=x2+2是偶函數(shù)，而f（x），g（x）均不是偶函數(shù)”，故選B10（4分）（2007全國(guó)卷）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n=（）A3B4C5D6【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)，據(jù)n的特點(diǎn)求出n的值【解答】解：的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則，所以n可以被3整除，當(dāng)n=3時(shí)，C31=315，當(dāng)n=6時(shí)，C62=15，故選項(xiàng)為D11（4分）（2007全國(guó)卷）拋物線y2=4x的

12、焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是（）A4BCD8【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得到過(guò)F且斜率為的直線方程然后與拋物線聯(lián)立可求得A的坐標(biāo)，再由AKl，垂足為K，可求得K的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可得到答案【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=1，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A（3，2），AKl，垂足為K（1，2），AKF的面積是4故選C12（4分）（2007全國(guó)卷）函數(shù)f（x）=cos2x2cos2的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）ABCD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為關(guān)

13、于cosx的二次函數(shù)，然后換元，分別求出單調(diào)區(qū)間判定選項(xiàng)的正誤【解答】解函數(shù)=cos2xcosx1，原函數(shù)看作g（t）=t2t1，t=cosx，對(duì)于g（t）=t2t1，當(dāng)時(shí)，g（t）為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，g（t）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，t=cosx減函數(shù)，且，原函數(shù)此時(shí)是單調(diào)增，故選A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（2007全國(guó)卷）從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有36種（用數(shù)字作答）【分析】由題意知本題是一個(gè)有約束條件的排列組合問(wèn)題，先從除甲與乙之外的其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選

14、2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，寫出即可【解答】解從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，先從其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，不同的選法共有C31A42=343=36種14（5分）（2007全國(guó)卷）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=3x（xR）【分析】由題意推出f（x）與函數(shù)y=log3x（x0）互為反函數(shù)，求解即可【解答】解函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）與函數(shù)y=log3x（x0）互為反

15、函數(shù)，f（x）=3x（xR）故答案為：3x（xR）15（5分）（2007全國(guó)卷）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則an的公比為【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)可知4S2=S1+3S3，利用等比數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案為16（5分）（2007全國(guó)卷）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊

16、長(zhǎng)為2【分析】由于正三棱柱的底面ABC為等邊三角形，我們把一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可得，該三角形的斜邊EF上的中線DG的長(zhǎng)等于底面三角形的高，從而得出等腰直角三角形DEF的中線長(zhǎng)，最后得到該三角形的斜邊長(zhǎng)即可【解答】解：一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，EDF=90，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為AB=2，則該三角形的斜邊EF上的中線DG=，斜邊EF的長(zhǎng)為2故答案為：2三、解答題（共6小題，滿分82分）17（12分）（2007全國(guó)卷）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA（）求B的大

17、??；（）求cosA+sinC的取值范圍【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，進(jìn)而求得B（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得cosA+sinC的取值范圍【解答】解：（）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC為銳角三角形得（）=由ABC為銳角三角形知，0A，0A，A，所以由此有，所以，cosA+sinC的取值范圍為（，）18（12分）（2007全國(guó)卷）某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用

18、1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)（）求事件A：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E【分析】（）由題意知購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果（2）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)的分布列對(duì)應(yīng)于的可能取值為200元，250元，300元得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率，寫出變量的分布列和期望【解答】解：（）由題意知購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買該商品的3位顧

19、客中無(wú)人采用1期付款，設(shè)A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”，（）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)的分布列對(duì)應(yīng)于的可能取值為200元，250元，300元得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列為 200250300P0.40.40.2E=2000.4+2500.4+3000.2=240（元）19（14分）（2007全國(guó)卷）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面

20、SBC底面ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）證明：SABC；（）求直線SD與平面SBC所成角的大小【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足為O，連接AO，說(shuō)明SO底面ABCD利用三垂線定理，得SABC（）由（）知SABC，設(shè)ADBC，連接SE說(shuō)明ESD為直線SD與平面SBC所成的角，通過(guò)，求出直線SD與平面SBC所成的角為解法二：（）作SOBC，垂足為O，連接AO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，通過(guò)證明，推出SABC（）.與的夾角記為，SD與平面ABC所成的角記為，因?yàn)闉槠矫鍿BC的法向量，利用與互余通過(guò)，推出直線SD與平面SBC所成的角為

21、【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO，又ABC=45，故AOB為等腰直角三角形，AOBO，由三垂線定理，得SABC（）由（）知SABC，依題設(shè)ADBC，故SAAD，由，又，作DEBC，垂足為E，則DE平面SBC，連接SEESD為直線SD與平面SBC所成的角所以，直線SD與平面SBC所成的角為解法二：（）作SOBC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO又ABC=45，AOB為等腰直角三角形，AOOB如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)

22、系Oxyz，因?yàn)?，又，所以，S（0，0，1），所以SABC（），.與的夾角記為，SD與平面ABC所成的角記為，因?yàn)闉槠矫鍿BC的法向量，所以與互余，所以，直線SD與平面SBC所成的角為20（14分）（2007全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=exex（）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）2；（）若對(duì)所有x0都有f（x）ax，求a的取值范圍【分析】（）先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用a+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)得到f（x）2；（）把不等式變形令g（x）=f（x）ax并求出導(dǎo)函數(shù)令其=0得到駐點(diǎn)，在x0上求出a的取值范圍即可【解答】解：（）f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）=ex+ex由于，故f（x）2（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)

23、成立）（）令g（x）=f（x）ax，則g（x）=f（x）a=ex+exa，（）若a2，當(dāng)x0時(shí)，g（x）=ex+exa2a0，故g（x）在（0，+）上為增函數(shù)，所以，x0時(shí)，g（x）g（0），即f（x）ax（）若a2，方程g（x）=0的正根為，此時(shí)，若x（0，x1），則g（x）0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)所以，x（0，x1）時(shí)，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，與題設(shè)f（x）ax相矛盾綜上，滿足條件的a的取值范圍是（，221（14分）（2007全國(guó)卷）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且ACBD，垂足為P（）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值【分析】（）橢圓的半焦距，由ACBD知點(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓上，故x02+y02=1，由此可以證出（）設(shè)BD的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0設(shè)B（x1，