第八章空間解析幾何與向量代數(shù)知識點(diǎn),題庫與答案

1、第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的模、方向角；數(shù)量積（是個數(shù)） 、向量積（是個向量） ；幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面；平面的幾種方程的表示方法（點(diǎn)法式、一般式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程），兩平面的夾角；空間直線的幾種表示方法（參數(shù)方程、對稱式方程、一般方程、兩點(diǎn)式方程），兩直線的夾角、直線與平面的夾角；2、難點(diǎn)向量積（方向） 、混合積（計(jì)算） ；掌握幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程及二次曲面所對應(yīng)的圖形；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；特殊位置的平面方程（過原點(diǎn)、平行于坐標(biāo)軸、垂直于坐標(biāo)軸等；平面方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化；直線方程的幾

2、種表示方式之間的轉(zhuǎn)化；）二、基本知識1、向量及其線性運(yùn)算向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量的大小有向線段的方向表示向量的方向.；有向線段的長度表示向量向量的符號以 A 為起點(diǎn)、B 為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB向量可用粗體字母表示也可用上加箭頭書寫體字母表示例如a、r、v、F或 a 、 r、 v 、 F；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB 的模分別記為|a|、| a |、|AB|單位向量模等于1 的向量叫做單位向量；向量的平行兩個非零向量如果它們的方向相同或相反 就稱這兩個向量平行 向量 a 與平行 記作 a

3、/ b 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行； 兩向量平行又稱兩向量共線b零向量模等于0 的向量叫做零向量記作0 或0可以看作是任意的共面向量 ： 設(shè)有 k(k 3)個向量當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時如果k 個終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個平面上就稱這 k 個向量共面；兩向量夾角 ：當(dāng)把兩個非零向量a 與b 的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時兩個向量之間的不超過的夾角稱為向量a 與 b 的夾角記作 (a, b) 或 (b,a)如果向量a 與 b 中有一個是零向量規(guī)定它們的夾角可以在0 與 之間任意取值；向量的線性運(yùn)算向量的加法 （三角形法則） ：設(shè)有兩個向量 a 與 b 平移向量使 b 的起點(diǎn)與 a 的終點(diǎn)重合 此時從 a 的起

4、點(diǎn)到 b 的終點(diǎn)的向量 c稱為向量 a 與 b 的和 記作 a+b即 c a+b .平行四邊形法則向量 a 與 b 不平行時 平移向量使 a 與 b 的起點(diǎn)重合以 a、b 為鄰邊作一平行四邊形從公共起點(diǎn)到對角的向量等于向量a 與 b 的和 ab向量的加法的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律 a b b a(2)結(jié)合律 (a b) c a ( b c)負(fù)向量設(shè) a 為一向量與 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的負(fù)向量 記為 a向量的減法 把向量 a 與 b 移到同一起點(diǎn) O則從 a 的終點(diǎn) A 向 b 的終點(diǎn) B 所引向量 AB 便是向量 b 與 a 的差 b a向量與數(shù)的乘法：向量 a 與實(shí)數(shù) 的乘積記

5、作規(guī)定a 是一個向量它的模 | a| |a| 它的方向當(dāng) >0 時與 a 相同 當(dāng) <0 時與 a 相反當(dāng)0 時 | a| 0即 a 為零向量這時它的方向可以是任意的運(yùn)算規(guī)律(1) 結(jié)合律( a)( a) ( )a；(2)分配律 ()a aa； (a b)a b向量的單位化設(shè) a0則向量 a 是與 a 同方向的單位向量記為 eaa|a|，于是 a |a|e定理 1設(shè)向量 a 0那么向量 b 平行于 a 的充分必要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)使 ba空間直角坐標(biāo)系在空間中任意取定一點(diǎn)O 和三個兩兩垂直的單位向量i、 j、 k就確定了三條都以O(shè) 為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸依次記為x 軸(橫軸 )、

6、y 軸 (縱軸 )、z 軸 (豎軸 )統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系稱為 Oxyz 坐標(biāo)系注 :(1)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位(2) 通常把 x 軸和 y 軸配置在水平面上而 z 軸則是鉛垂線(3) 數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則坐標(biāo)面在空間直角坐標(biāo)系中任意兩個坐標(biāo)軸可以確定一個平面這種平面稱為坐標(biāo)面x 軸及 y 軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy 面另兩個坐標(biāo)面是yOz 面和 zOx 面卦限三個坐標(biāo)面把空間分成八個部分每一部分叫做卦限含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限它位于 xOy 面的上方在 xOy 面的上方按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方與第一卦限對

7、應(yīng)的是第五卦限按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限八個卦限分別用字母I、II 、III 、IV 、V、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐標(biāo)分解式任給向量r對應(yīng)有點(diǎn)M使 OMr以 OM 為對角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長方體有rOMOPPNNMOP OQOR設(shè) OP xiOQ yj OR zk則 r OM xi yj zk上式稱為向量r 的坐標(biāo)分解式xi、 yj、 zk 稱為向量 r 沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量點(diǎn) M、向量 r 與三個有序 x、 y、 z 之間有一一對應(yīng)的關(guān)系Mr OM xi yjzk (x, y, z)有序數(shù)x、 y、z 稱為向量r( 在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo)記作r

8、(x y z)向量 rOM 稱為點(diǎn) M 關(guān)于原點(diǎn)O 的向徑利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè) a (ax ay az) b (bx by bz)a b (ax bx ay by az bz)a b (ax bx ay by az bz)a (aaa )xyz利用向量的坐標(biāo)判斷兩個向量的平行設(shè) a (axayaz)0 b (bxbybz)向量 b/ab a即 b/ a (bxbbybyzxyzxazb b ) (aa a )于是 ayazx向量的模、方向角、投影設(shè)向量 r (x yz)作 OMr則向量的模長公式|r |x2y2z2設(shè)有點(diǎn) A (x1y1z1)、 B(x2y2 z2)AB OB OA (x

9、2 y2 z2) (x1 y1 z1 ) (x2 x1 y2 y1 z2 z1)A、 B 兩點(diǎn) 間的距離公式為：| AB| | AB | (x2x1)2( y2 y1) 2(z2 z1)2方向角： 非零向量 r 與三條坐標(biāo)軸的夾角、 、 稱為向量 r 的方向角設(shè) r(x y z)則x |r|cosy|r|cosz|r|coscos 、 cos、cos稱為向量 r 的方向余弦cosxcosycosz|r |r |r |從而(cos, cos, cos )1 rer2221coscoscos|r |投影的性質(zhì)性質(zhì) 1 (a)u|a|cos(即 Prj ua |a|cos) 其中 為向量與 u 軸的

10、夾角性質(zhì) 2 (a b)u(a)u (b)u (即 Prju (a b)Prju a Prj ub)性質(zhì) 3(a)u(a)u (即 Prj u( a)Prj ua)2、數(shù)量積、向量積、混合積兩向量的數(shù)量積數(shù)量積對于兩個向量 a 和 b 余弦的乘積稱為向量它們的模|a|、 |b| 及它們的夾角a 和 b 的數(shù)量積記作 a b 即a·b |a| |b| cos的數(shù)量積的性質(zhì)(1) a·a |a| 2(2) 對于兩個非零向量 a、 b 如果 a·b 0 則 a b;反之 如果 a b 則 a·b 0如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示則 a

11、 ba·b0設(shè) (a b) 則當(dāng) a 0、 b 0 時 有cosa baxb x ayb y azbz2x a 2y az2 bx2 b y2 bz2|a |b| a數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè) a ( ax ay az ) b (bx by bz ) 則 a·b axbx ayby azbz數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律 a·b b·a;(2)分配律 (ab) c a c b c(3)( a) ·b a·( b)(a·b)( a) ·( b)(a·b)、 為數(shù)兩向量的向量積向量積設(shè)向量 c 是由兩個向量 a 與 b

12、按下列方式定出c 的模 |c|a|b|sin其中 為 a 與 b 間的夾角 ;c 的方向垂直于a 與 b 所決定的平面c 的指向按右手規(guī)則從a 轉(zhuǎn)向 b 來確定那么向量 c 叫做向量a 與 b 的向量積記作 a b 即ca b向量積的性質(zhì)(1) a a 0(2) 對于兩個非零向量a、 b 如果 a b0 則 a/b 反之如果如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行則 a/ ba b0a/ b則 a b0數(shù)量積的運(yùn)算律(1) 交換律a bb a(2) 分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b)(ab)( 為數(shù))數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè) a (axyzxbyz)aa ) b ( bb

13、a b ( ay bzaz by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k為了邦助記憶利用三階行列式符號上式可寫成ij ka b ax ay a zaybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyibxby bz( ay bzaz by) i( az bxax bz) j( ax byay bx) k三向量的混合積混合積： 先作兩向量a 和b 的向量積ab ,把所得到的向量與第三個向量c 再作數(shù)量積( ab)c，這樣得到的數(shù)量叫做三個向量a、 b、c 的混合積，記作abca xa yazabc= ( a b) c = bxbybzcxcy

14、cz混合積的幾何意義：混合積 abc是這樣一個數(shù)，它的絕對值表示以向量a、 b、 c 為棱的平行六面體的體積，如果向量a、 b、 c 組成右手系，那么混合積的符號是正的，如果a、 b、 c 組成左手系，那么混合積的符號是負(fù)的。三個向量a、 b、 c 共面 的充分必要條件事他們的混合積abc=0 即a xa ya zbxbybz =0cxc ycz3、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S 與三元方程F(x y z) 0有下述關(guān)系(1)曲面 S 上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x y z) 0(2)不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x yz) 0那么 方程 F(x y z) 0 就叫做曲面 S

15、的方程而曲面 S 就叫做方程 F(x y z)0 的圖形例如：方程 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2表示球心在點(diǎn)M0(x0 y0 z0)、半徑為 R 的球面旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸設(shè)在 yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線 C 它的方程為f (yz) 0把 這 曲 線 繞z 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周就 得 到 一 個 以z 軸 為 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面它 的 方 程 為f (x2 y2 , z) 0這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程在曲線 C 的方程 f(yz) 0 中將 y 改成x2 y2便得曲線 C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所

16、成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程f (x2y2 , z)0同理曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f (y,x2 z2 ) 0柱面柱面 平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線 L 形成的軌跡叫做 柱面定曲線 C 叫做柱面的準(zhǔn)線動直線 L 叫做柱面的母線例如方程 x2 y2R2 在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面它的母線平行于z 軸它的準(zhǔn)線是 xOy面上的圓 x2 y2 R2一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y) 0 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面其準(zhǔn)線是 xOy 面上的曲線 CF(x y) 0類似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z 而缺 x 的

17、方程 H(y z)0 分別表示母線平行于 y 軸和 x 軸的柱面 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面(1) 橢圓錐面由方程 x2y2z2 所表示的曲面稱為橢圓錐面a2b2(2) 橢球面由方程x2y2z2a222 1 所表示的曲面稱為橢球面bc(3) 單葉雙曲面由方程x2y2z21所表示的曲面稱為單葉雙曲面a222bc(4) 雙葉雙曲面由方程 x2y2z21所表示的曲面稱為雙葉雙曲面a2b 2c2(5) 橢圓拋物面由方程 x2y2z 所表示的曲面稱為橢圓拋物面b2a 2(6) 雙曲拋物面由方程 x2y2z 所表示的曲面稱為雙曲拋物面雙曲拋物面又稱馬鞍面b2a2方程x

18、2y2x2y21 x2aya22 122bab依次稱為 橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面4 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程設(shè) F(x y z) 0 和 G(x y z) 0 是兩個曲面方程 它們的交線為 C 所以 C 應(yīng)滿足方程組F (x, y, z) 0G(x, y, z) 0上述方程組叫做空間曲線空間曲線的參數(shù)方程C 的一般方程xx(t)空間曲線 C 上動點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y、 z 表示為參數(shù) t 的函數(shù)yy(t).(2)zz(t)當(dāng)給定 t t1 時就得到 C 上的一個點(diǎn) ( x1 y1 z1)隨著 t 的變動便得曲線C 上的全部點(diǎn)方程組(2) 叫做空間曲線的參數(shù)方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投

19、影以曲線 C 為準(zhǔn)線、母線平行于z 軸的柱面叫做曲線C 關(guān)于 xOy 面的投影柱面投影柱面與 xOy 面的交線叫做空間曲線C 在 xOy 面上的投影曲線或簡稱投影 (類似地可以定義曲線 C 在其它坐標(biāo)面上的投影 )設(shè)空間曲線C 的一般方程為F ( x, y, z) 0G(x, y, z) 0設(shè)方程組消去變量z 后所得的方程H (x y) 0這就是曲線C 關(guān)于 xOy 面的投影柱面曲線 C 在 xOy 面上的投影曲線的方程為H (x, y)0z05 平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程法線向量如果一非零向量垂直于一平面這向量就叫做該平面的法線向量已知平面上的一點(diǎn) M0(x0 y0z0)及它的一個法線向量

20、 n (A B C)，平面的點(diǎn)法式方程為： A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0平面的一般方程平面的一般方程為：Ax By CzD 0， 其中 x y z 的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n 的坐標(biāo) 即 n ( A B C)特殊位置的平面方程：D 0平面過原點(diǎn)n (0 BC)法線向量垂直于x 軸 平面平行于 x 軸n (A0C)法線向量垂直于y 軸 平面平行于 y 軸n (AB 0)法線向量垂直于z 軸 平面平行于 z 軸n (0 0 C) 法線向量垂直于x 軸和 y 軸平面平行于 xOy 平面n (A00)法線向量垂直于y 軸和 z 軸平面平行于 yOz 平面n (0 B0)法線

21、向量垂直于x 軸和 z 軸平面平行于 zOx 平面求這平面的方程平面的截距式方程為： xyz 1 (其中 a 0 b 0 c 0) 該平面與 x、 y、z 軸的交點(diǎn)依次bac為 P(a 0 0)、 Q(0 b0)、 R(00c)三點(diǎn)而 a、 b、 c 依次叫做平面在x、y、 z 軸上的截距x - x1y - y1z - z1平面的三點(diǎn)式方程為 ： x2x1y2y1z2z1 =0 其中 M( x1 , y1 , z1 )，N( x2 , y2 , z2 )x3x1y3y1z3z1P( x3 , y3 , z3 )是平面上的三點(diǎn)。兩平面的夾角兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角 )稱為兩

22、平面的夾角設(shè)平面1 和2 的法線向量分別為n1(A1B1 C1 )和 n2 (A2 B2 C2 )那么平面1 和2 的夾角應(yīng)是 (n1 , n2 ) 和 (n1 , n2)(n1 , n2) 兩者中的銳角cos|A1A2 B1B2 C1C2 |cos(n1 , n2) |A22 B22 C22A12 B12 C12平面1 和2 垂直 相當(dāng)于 A1 A2B1B2C1C2 0 也即 n1垂直于 n2平面1 和2 平行或重合 相當(dāng)于 A1B1C1 也即 n1平行于 n2A2B2C2設(shè) P0(x0 y0z0)是平面 Ax ByCzD 0 外一點(diǎn) P0 到這平面的距離公式為d | Ax0 By0 Cz0

23、 D | A2 B2 C26空間直線及其方程空間直線的一般方程空間直線 L 可以看作是兩個平面1 和2 的交線1和如果兩個相交平面1 和2的方程分別為 A1 110x B y C z DA2x B2y C2z D2 0 那么直線 L 滿足方程組A1x B1 y C1z D10(1)A2x B2 y C2z D2 0上述方程組叫做空間直線的一般方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程方向向量如果一個非零向量平行于一條已知直線這個向量就叫做這條直線的方向向量容易知道直線上任一向量都平行于該直線的方向向量已知直線L 通過點(diǎn) M0( x0 y0 x0) 且直線的方向向量為s (m n p) 則直線 L 的方

24、程為：x x0 yy0z z0 叫做 直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程mnp注當(dāng) m n p 中有一個為零例如 m 0 而 n p 0 時 這方程組應(yīng)理解為xx0yy0z z0np當(dāng) m n p 中有兩個為零例如 m n 0 而 p 0 時 這方程組應(yīng)理解為x x0 0 y y0 0設(shè) x x0y y0 z z0 t 得方程組mnpxx0mtyy0ntzz0pt此方程組就是直線L 的參數(shù)方程兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角 )叫做兩直線的夾角設(shè)直線 L1 和 L 2 的方向向量分別為 s1( m1 n1p1)和 s2(m2 n2p2)那么L1 和 L2 的夾角就是 (s1 ,s2)

25、 和 ( s1 , s2)(s1 , s2 ) 兩者中的銳角因此 cos|cos(s1 , s2 )|cos|m1m2 n1n2p1 p2|cos(s1 , s2 )|m22 n22p22m12 n12 p12設(shè)有兩直線 L 1x x1y y1z z1L2x x2y y2z z2則m1n1p1m2n2p2L1 L2m1m2 n1n2 p1p2 0l 1II L2m1n1p1m2n2p2直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為 直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直時規(guī)定直線與平面的夾角為2設(shè)直線的方向向量s (m n p) 平面的法線向量為n ( A BC)直線與平面

26、的夾角為那么|(s , n)| 因此 sin|cos(s , n) |2sin| AmBnCp|A2B2 C2m2 n 2p2因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行所以直線與平面垂直相當(dāng)于ABCmnp因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直所以 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于Am Bn Cp 0設(shè)直線 L 的方向向量為 (m np)平面的法線向量為 (A BC)則LABCmnpL/ /Am Bn Cp 0三、疑難點(diǎn)解析（ 1）數(shù)量積、向量積、混合積易混怎么辦？答：數(shù)量積是一個數(shù)量無方向、向量積是個向量有方向，算出來的向量垂直于兩向量構(gòu)成的

27、平面，且滿足右手法則?；旌戏e也是個常數(shù)。數(shù)量積：a·b |a| |b| cosaxbx ayby azbz向量積 ca b ，|c| |a|b|sinijkab i a bj ab k a bk abj a b ia b axayazzyzz xxyy xxz ybxbybza xa yaz混合積： abc= ( a b) c = bxbybzcxcycz（ 2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的方程？答：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣用通俗的語言描述就是：“繞誰（如 x）旋轉(zhuǎn)誰不變，另外一個字母變成平方和（如 y 2z2）”。（3）同一個方程在空間和在平面中表示的圖形

28、為何不一樣？答：例如：x2y 264 ，在平面上只有兩個坐標(biāo)，所以表示的是一個圓，但在空間中是三維坐標(biāo)的，這個方程表示的就是圓柱了，即當(dāng)(x0 , y0 ) 滿足上述方程，則對任意的z,( x0 , y0 , z) 也滿足這個方程。（ 4）求平面方程有幾種方法，具體用于求平面方程時要注意哪些關(guān)鍵的東西？答：求平面方程時最關(guān)鍵的就是要找到平面中的一個點(diǎn)和平面的法向量，求平面的法向量經(jīng)常會用到兩向量的叉乘的方向的性質(zhì)來解決法向量， 也即找到兩個向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解與直線和平面相關(guān)的題時如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量， 但凡涉及直線的找方向向量。 然后在根據(jù)

29、具體題來分析該如何使用法向量和方向向量。四、考點(diǎn)分析（一）向量的的基本概念的相關(guān)知識例 1、平行于向量 a (6,7, 6) 的單位向量為 _.676解：, ,1111 11例 2、 設(shè)已知兩點(diǎn) M 1 (4, 2,1)和M 2 (3,0,2) ，計(jì)算向量 M 1M 2的模， 方向余弦和方向角 .解、 M 1M 2 =（-1，-2 ，1）M 1 M 2 =2, cos1 , cos2,cos1,2 ,3 ,322234例 3、 設(shè) m3i5j8k ,n 2i4j7k , p5ij 4k ，求向量 a4m 3n p 在 x軸上的投影，及在y 軸上的分向量 .解 ： a=13i+7j+15k,所以

30、在 x 軸上的投影為 13，在 y 軸上的分量為 7j例 4、 在空間直角坐標(biāo)系 O; i , j , k 下，求 M(a, b, c)關(guān)于(1) 坐標(biāo)平面； (2) 坐標(biāo)軸； (3) 坐標(biāo)原點(diǎn)的各個對稱點(diǎn)的坐標(biāo) . 解 ： M (a, b, c)關(guān)于 xOy 平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于 yOz 平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為( a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于 xOz 平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于 x 軸平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b, c)，M (a, b, c)關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為( a, b, c)，M (a

31、, b, c)關(guān)于 z 軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為( a, b, c).M (a, b, c)關(guān)于 原點(diǎn)對稱的 對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為( a, b, c).（二）向量的數(shù)量積、向量積、混合積的計(jì)算例 5、設(shè) a3ij2k, bi2jk ，求 (1)a b及a；2a) 3b及a 2b(3) a、 bb (2)(的夾角的余弦 .解：（ 1） ab 3 1(1)2(2)(1) 3ijka b3125ij7k121（ 2） ( 2a) 3b6(a b)18 ， a2b2( ab)10i2 j14ka b3（ 3） cos(a, b)ab221例 6、知 M 1(1,1,2), M 2 (3,3,1),M 3 (3,1

32、,3) ，求與 M 1M 2 , M 2 M 3 同時垂直的單位向量 .解： M 1M 2 2,4,1, M2M3 0,2,2ijka M 1M 2M 2M32 41 6i 4 j 4k022a6,24,4a21717217即為所求單位向量。例 7、已知 OAi3k , OBj3k，求OAB 的面積解：思路： S OAB1 |OAOB |=1答案：19222ijk其中 OAOB1033i3 j1k ，|OA OB |= 19013例 8、求單位向量n ，使 n a 且 n x 軸，其中 a(3,6,8) .解：取 bi ，則 n a, n b 。 c =a b =8j-6k,| c |=10, n =c, 答案： n1 (8 j 6k )| c|10例 9、 a b3, ab1,1,1, 求(a,b)解： a ba b sin(a,b) = 3, a ba b cos(a,b) 。tan3(a,b)( a, b), 答案：36例 10已知矢量 a, b 互相垂直，矢量c 與 a,b 的夾角都是60 ，且 a1, b 2, c3 計(jì)算：(1)(ab) 2 ; (2)( a b)( ab); (3)(3a 2b).(b 3c);( 4)(a 2bc