力學中的幾何問題

1、力學中的幾何問題 PB05000634 梁慧 眾所周知，物理學在長期的發(fā)展過程中，數(shù)學是一樣非常有用的工具，尤其是在微積分的發(fā)明之后，物理學的發(fā)展更是大大加快了。而我們必須看到的是，其實在數(shù)學的諸多分支學科中，并不僅僅是微積分，歐氏幾何也起到了杰出的作用。尤其是在微積分出現(xiàn)以前，物理學家們在歐氏幾何的幫助下，借助幾何直觀性，將數(shù)學的美感完全融入到物理學中，發(fā)明了一個又一個偉大的定律，形成了一座座令后人景行行止的高峰，比如說開普勒三定律的，等等。 下面根據(jù)幾個具體的例子談一談力學中的幾何問題1 天體運動的軌道問題圖形如下 在教材中處理質(zhì)點在有心力場中的運動時，p264中，通過角動量守恒與機械能守

2、恒，列出了方程，從而得出了 r= 課本上對于這個公式進行了非常復雜而且繁冗的推導，最后居然得出了上面這個公式，其實仔細看看就可以發(fā)現(xiàn)，這是圓錐曲線的極坐標方程，其中r 為極徑，為離心率，為極角，由圓錐曲線的定義 時圓錐曲線為橢圓； =0 時為圓； 時為雙曲線； =1時為拋物線； 我們知道,由于自然科學的統(tǒng)一, 客觀事物的規(guī)律總是有最簡單的, 最普a遍的規(guī)率, 物理學也是.開普勒所處時代的數(shù)學水平并不是非常的先進, 至少不能符合其他自然科學的發(fā)展的需要,他只能通過最簡單,最直觀的方式進行觀察,并且統(tǒng)計一些數(shù)據(jù),得出了定性的規(guī)律,也就是開普勒三定律. 然而在牛頓所處的時代, 由于微積分的發(fā)明, 物

3、理學的研究多了一項非常好用的工具, 也就是推出了上述軌跡方程.可是從某種程度上來說,這個結(jié)論,只是有著更多的數(shù)學意義,而并沒有更加重要的物理意義, 因為我們都知道,行星確實是按照橢圓軌道運動的,其余的解都不適合于研究天體的一般規(guī)律,可以說,只是把開普勒定律定量化, 證明了開普勒定律的正確性. 由此可見,我們假如要進行科學研究,要得到一般的規(guī)律,尤其是在天體物理中研究行星的運動規(guī)律,幾何也是很重要的. 2 利用幾何直觀判斷以太假說的錯誤性 我的目的并不是為了通過數(shù)學工具來對物理中的一些問題進行非常嚴密的證明. 對我們現(xiàn)在的絕大多數(shù)人來說,用嚴密的數(shù)學來對物理學中的問題進行高深的論證,并不是很現(xiàn)實

4、. 但是我只是對某些假說進行猜想, 用最簡單的幾何方式來說明, 有些時候遇到很困難的問題, 我們可以通過最原始的角度對它進行探究, 自然科學是完美的, 那些看上去繁瑣的問題, 其實也許可以在簡單的圖形中找到答案. 這也是一種科學的探究方式. 首先,假設宇宙中充滿以太, 因為宇宙的整個空間中, 星體所占的空間相對而言是非長小的, 所以可以將整個宇宙看成是密度均為以太密度r的空間. 拿太陽系進行考慮由機械能守恒,繞太陽運動的物體,在近地點速度大于遠地點速度.而將以太看作是連續(xù)的質(zhì)點模型,也就是流體模型(或許這個假設是不對的, 但是在提出以太假設時,基本上也是將以太看作是連續(xù)介質(zhì)), 所以,由兩輛船

5、只,在迎面駛向?qū)Ψ綍r,中間會產(chǎn)生一股很強的拉力,按照書上的說法, 像一只大手將兩只船拉到一起, 極易產(chǎn)生事故. 即使并不是很了解流體產(chǎn)生這種拉力的具體原因, 也可以通過這個事實知道, 流體在較窄的空間內(nèi)的運動速度應大于在較寬的空間(這個說法可能不是太確切), 假如存在一個運動中心,就像太陽系的橢圓軌道,如圖,在較窄的地方速度就應該很大.(下面還有,因為是用CAD作的圖,圖形大小無法控制,請見諒)以下通過幾何圖形分析來進一步了解以太假說的錯誤假設太陽系是圓形的，如下面的圓P，圓P 的圓心P是星體的橢圓軌道的中心，長軸兩端為E,F,作出橢圓軌道，其中，以長軸來區(qū)分橢圓軌道，則作出的兩橢圓軌道為BE

6、, AD,A,B為近日點，ABCDEF在同一直線上首先可以知道，有機械能守恒可知，遠日點速度小于近日點速度，即 而在流體模型中,ACDF,所以AC,BD流體中的速度分別為，必有 又因為B,E是AC,DF之間的點,則 也就是近日點速度小于遠日點速度,這與機械能守恒是矛盾的.由此可說明以太假說的錯誤性.其實這個假說是錯誤的, 這很久以前就為人所知,只是我們可以借鑒一下很多相似問題的考慮方法.對于某些問題的考慮,簡化在幾何問題中,可能會從一個特別的方面來說明問題,盡管不能像數(shù)學手段那樣深入實質(zhì),但還是有一定的啟發(fā)作用.力學本來就是一門基礎科學,力學的學習,對以后學習更深層次的物理,起著無法替代的作用.在學習力學時,如果能做到舉一反三,觸類旁通,當然會很好.也正是由于物理學是一門實驗科學,.個人以為,雖然課程要求的微積分等一些數(shù)學水平不是很高,但了解數(shù)學中的思想方法,比如幾何方面的一些知識,對