第四章-圖形變換的矩陣方法(已排)

1、2021/8/51第第4章圖形變換的矩陣方法章圖形變換的矩陣方法要求：要求：1.掌握各種圖形變換的變換矩陣。掌握各種圖形變換的變換矩陣。2.掌握圖形變換矩陣的一般形式。掌握圖形變換矩陣的一般形式。3.掌握齊次坐標(biāo)表示法。掌握齊次坐標(biāo)表示法。計算機(jī)產(chǎn)生圖形的過程大致可分為三步：計算機(jī)產(chǎn)生圖形的過程大致可分為三步：圖形輸入圖形輸入圖形處理圖形處理圖形輸出圖形輸出計算機(jī)對圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就是計算機(jī)對圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就是圖形處理圖形處理。 圖形變換圖形變換 - - 就是要變換圖形的幾何關(guān)系就是要變換圖形的幾何關(guān)系( (即改變頂點(diǎn)坐標(biāo)即改變頂點(diǎn)坐標(biāo)),), 同時保持圖形的原拓?fù)潢P(guān)系不變同時保持圖形的

2、原拓?fù)潢P(guān)系不變. .一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象所處的環(huán)境和顯示屏幕的環(huán)境是很不同的，不僅位置不同，大多數(shù)所處的環(huán)境和顯示屏幕的環(huán)境是很不同的，不僅位置不同，大多數(shù)情況下，尺寸也很不相同。這就要求協(xié)調(diào)二者的關(guān)系。此外，三維情況下，尺寸也很不相同。這就要求協(xié)調(diào)二者的關(guān)系。此外，三維的圖形要在二維的圖紙或屏幕上表示出來要通過投影變換。為了從的圖形要在二維的圖紙或屏幕上表示出來要通過投影變換。為了從不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和平不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和平移變換更

3、是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi)移變換更是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi)容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕上或圖紙上顯示的位置。本章學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)上容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕上或圖紙上顯示的位置。本章學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)上述功能的算法。述功能的算法。2021/8/52圖形變換圖形變換幾何變換幾何變換投影變換投影變換又稱坐標(biāo)變換又稱坐標(biāo)變換:它是將點(diǎn)集的坐標(biāo)變換達(dá)到改變位它是將點(diǎn)集的坐標(biāo)變換達(dá)到改變位置、形狀置、形狀幾何變換幾何變換基本變換基本變換組合變換組合變換：上述變換的連續(xù)實(shí)施上述變換的連續(xù)實(shí)施投影變換投影變換正投影變換正投影變換斜投影變換斜投影變換中心變換中心變換：三面正投影圖、：三面

4、正投影圖、軸測圖軸測圖：斜軸測圖：斜軸測圖變位變換變位變換變形變換變形變換：旋轉(zhuǎn)、：旋轉(zhuǎn)、鏡像、鏡像、 ：比例、：比例、 錯切錯切周分布、周分布、 陣列、陣列、線框圖的變換線框圖的變換通常以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點(diǎn)作一系列通常以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點(diǎn)作一系列的幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)系列即可產(chǎn)生新的圖形。的幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)系列即可產(chǎn)生新的圖形。用參數(shù)方程描述的圖形的變換用參數(shù)方程描述的圖形的變換通過參數(shù)方程作幾何變換實(shí)現(xiàn)。通過參數(shù)方程作幾何變換實(shí)現(xiàn)。我們在這只討論圖形我們在這只討論圖形拓?fù)潢P(guān)系拓?fù)潢P(guān)系不變的幾何變換。重點(diǎn)討論線框圖不變的幾何變換。重點(diǎn)討論線框圖的變換。的變換。：透

5、視圖：透視圖由于顯示器和繪由于顯示器和繪圖機(jī)只能用二維空間圖機(jī)只能用二維空間來表示圖形，要顯示來表示圖形，要顯示三維圖形就要用投影三維圖形就要用投影方式來降低其維數(shù)。方式來降低其維數(shù)。2021/8/531.二維平面上點(diǎn)的表示法二維平面上點(diǎn)的表示法 改變頂點(diǎn)坐標(biāo)改變頂點(diǎn)坐標(biāo), 也就是對向量的變換也就是對向量的變換,向量運(yùn)算必須用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。向量運(yùn)算必須用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。2. 圖形變換的矩陣表示圖形變換的矩陣表示 一對坐標(biāo)一對坐標(biāo)(x,y)一個向量一個向量x y設(shè)設(shè): 點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)點(diǎn)點(diǎn)P (x, y)其數(shù)學(xué)表達(dá)方法其數(shù)學(xué)表達(dá)方法cyaxx ; dybxy矩陣表達(dá)方法矩陣表達(dá)方法yxyxdc

6、badybxcyax變換后的位置矢量矩陣變換后的位置矢量矩陣變換矩陣變換矩陣位置矢量矩陣位置矢量矩陣4.1二維圖形變換二維圖形變換2021/8/54就是將圖形放大或縮小的變換方法。就是將圖形放大或縮小的變換方法。變換式為：變換式為：x=Sx* xy=Sy* y討論：討論：1. Sx Sy1，點(diǎn)的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換點(diǎn)的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換2. Sx Sy1，點(diǎn)的位置變了、圖形放大了點(diǎn)的位置變了、圖形放大了Sy倍。倍。3. Sx Sy14. Sx Sy，圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均勻圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均勻比例變換。比例變換。4.1.1比例變

7、換比例變換2021/8/55xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x,y)(x,y)xOy=-x(x,y)(x,y)y4.1.2對稱變換對稱變換2021/8/56 yxyxyx100112.關(guān)于關(guān)于y軸的對稱變換軸的對稱變換 yxyxyx10013.關(guān)于關(guān)于45度平分線的對稱變換度平分線的對稱變換4.關(guān)于關(guān)于-45度平分線的對稱變換度平分線的對稱變換5.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換 xyyxyx0110 xyyxyx0110 yxyxyx10011.關(guān)于關(guān)于x軸的對稱變換軸的對稱變換2021/8/57沿沿x軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換沿沿y軸方

8、向的錯切變換軸方向的錯切變換1.沿沿X軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換4.1.3錯切變換錯切變換ycyxcyxyx101(1)變換過程中變換過程中,點(diǎn)的點(diǎn)的y坐標(biāo)保持不變坐標(biāo)保持不變,而而x坐標(biāo)值發(fā)生線性變化坐標(biāo)值發(fā)生線性變化; (2)平行于平行于X軸的線段變換后仍平行于軸的線段變換后仍平行于X軸軸;(3)平行于平行于Y軸的線段變換后錯切成與軸的線段變換后錯切成與Y軸成角的直線段軸成角的直線段(4)X軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。（2）沿）沿Y軸方向錯切軸方向錯切（1）沿）沿X軸方向錯切軸方向錯切(x,

9、y)(x,y)(x,y)(x,y)2021/8/58ycyxbyxyx101(1)變換過程中變換過程中,點(diǎn)的點(diǎn)的x坐標(biāo)保持不變坐標(biāo)保持不變,而而y坐標(biāo)值發(fā)生線性變化坐標(biāo)值發(fā)生線性變化;(2)平行于平行于Y軸的線段變換后仍平行于軸的線段變換后仍平行于Y軸軸;(3)平行于平行于X軸的線段變換后錯切成與軸的線段變換后錯切成與X軸成角的直線段軸成角的直線段(4)Y軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在變換后都平其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。移了一段距離。2. 沿沿Y軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換2021/8/59)cos( OPx)sinsincos(cos OPsin

10、cosyx)sin( OPy)sincoscos(sin OPcossinyxyxyxcossinsincoscossinsincosyxyx其矩陣表示法：其矩陣表示法：4.1.4繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換2021/8/510變換過程為：變換過程為：x=xly=y+m11ylxm變換矩陣為變換矩陣為如變換矩陣改為：如變換矩陣改為：ml1001則點(diǎn)的坐標(biāo)（則點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y)（x,y,1)P=P*T=1yxml10011mylx=xO(x,y)(x,y)y4.1.5平移變換平移變換2021/8/511它是用一個它是用一個n+1維向量表示一個維向量表示一個n維向量的方法維向量的方法如

11、：二維點(diǎn)如：二維點(diǎn)x y 用用 X Y H表示表示如：空間點(diǎn)如：空間點(diǎn)x y z 用用 X Y Z H表示表示正?；R次坐標(biāo)正?；R次坐標(biāo)怎樣由齊次坐標(biāo)求正常化齊次坐標(biāo)怎樣由齊次坐標(biāo)求正?；R次坐標(biāo)?H可以任意選取可以任意選取, 齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。如二維平面上的一點(diǎn)如二維平面上的一點(diǎn)3,4,用齊次坐標(biāo)表示為用齊次坐標(biāo)表示為3,4,16,8,2 1.5,2,0.5通常將通常將H=1的齊次坐標(biāo)稱為的齊次坐標(biāo)稱為x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)，可以防止溢出齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)，可以防止溢出能將上述的所有變換統(tǒng)一用一個矩陣描述能將上述的

12、所有變換統(tǒng)一用一個矩陣描述4.1.6齊次坐標(biāo)與變換通式齊次坐標(biāo)與變換通式2021/8/512snmqdcpbaT比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切投影變換投影變換平移平移總體比例變換總體比例變換snmqdcpbayxHyx 1sqypxHndybxymcyaxxsqypxndybxysqypxmcyaxx齊次化坐標(biāo)4.1.7二維圖形變換矩陣的一般形式二維圖形變換矩陣的一般形式二維圖形變換矩陣的通式二維圖形變換矩陣的通式T:2021/8/513(1)復(fù)合平移復(fù)合平移T21*TT101000111nm101000122nm10100012121nnmm(2)復(fù)合比例復(fù)合比例T21*TT1

13、00000011da100000022da0100*000*1121ddaa組合變換組合變換: :由多個基本變換的連續(xù)實(shí)施而成的復(fù)雜變換由多個基本變換的連續(xù)實(shí)施而成的復(fù)雜變換, ,又稱又稱基本變換的級連基本變換的級連. .4.1.8二維組合變換二維組合變換2021/8/514(3)復(fù)合旋轉(zhuǎn)復(fù)合旋轉(zhuǎn)T21*TT1000cossin0sincos11111000cossin0sincos22221000)cos()sin(0)sin()cos(212121212021/8/515 1cossinsincos0cossin0sincos1000cossin0sincos10100011 nmnmnm

14、T* 先平移先平移,再旋轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)* 先旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn),再平移再平移 10cossin0sincos10100011000cossin0sincos1nmnmT 級聯(lián)的順序不同級聯(lián)的順序不同,最終的圖形不同最終的圖形不同ABBA 由于矩陣乘法不滿足交換率由于矩陣乘法不滿足交換率,(4)級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響2021/8/51610100011nmT1000cossin0sincos2T3. 將圖形從原點(diǎn)平移到將圖形從原點(diǎn)平移到p(m,n)10100013nmT1.將圖形從點(diǎn)將圖形從點(diǎn)p(m,n)平移到原點(diǎn)平移到原點(diǎn)O2.繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P(m,n)0P(m,n)0P(m

15、,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5)繞平面上任意點(diǎn)繞平面上任意點(diǎn)P(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的二維旋轉(zhuǎn)變換2021/8/517T1*T2*T31010001nm1000cossin0sincos1010001nm1cossinsincos0cossin0sincosnmnnmmT=繞平面上任意點(diǎn)繞平面上任意點(diǎn)p(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣2021/8/518設(shè)直線方程設(shè)直線方程 Ax+By+C =0A Ax+By+C =0 x+By+C =0-C/B-C/B- -C/AC/AE EF FFFEEG GG G則：則：x軸上的截距為軸上的截距為 -C/Ay

16、軸上的截距為軸上的截距為 -C/B斜率為斜率為 -A/B 10/0100011ACT2.讓直線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)讓直線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 角，角， 使之與使之與X 軸重合軸重合 1000)cos()sin(0)sin()cos(2 T1.將直線沿將直線沿X軸平移軸平移C/A， 使之過原點(diǎn)使之過原點(diǎn)對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換可分解為以下五步可分解為以下五步: :(6)對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換2021/8/5193.圖形對直線的對稱變換圖形對直線的對稱變換變成對變成對x軸的對稱變換軸的對稱變換 1000100013T4.讓直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)讓直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 角，角

17、， 恢復(fù)到原來的傾斜位置恢復(fù)到原來的傾斜位置 1000cossin0sincos4 T 10/0100015ACT5.將直線平移將直線平移回回原來的位置原來的位置T54321TTTTT12sin/) 12(cos/02cos2sin02sin2cosACAC組合變換矩陣2021/8/520三維圖形變換矩陣通式為三維圖形變換矩陣通式為4 x 4 方陣方陣比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切平移平移投影變換投影變換總體比例變換總體比例變換空間點(diǎn)空間點(diǎn)x y z 的四維齊次坐標(biāo)的四維齊次坐標(biāo) X Y Z H表示表示三維空間點(diǎn)的變換為三維空間點(diǎn)的變換為x y z 1 T = x y z 1變換

18、前點(diǎn)的坐標(biāo)變換前點(diǎn)的坐標(biāo)變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變換后點(diǎn)的坐標(biāo)三維圖形的變換矩陣三維圖形的變換矩陣33xjihfedcbal m n 1 x 3 p q rTs1x1srqpnjfcmieblhdaT4.2三維圖形變換三維圖形變換2021/8/521三維圖的基本變換三維圖的基本變換4.2.2軸向比例變換軸向比例變換變換矩陣主對角線上變換矩陣主對角線上的元素的元素a、e、j、s的作用是的作用是是圖形產(chǎn)生比例變換。是圖形產(chǎn)生比例變換。sT0000100001000011000000000000jeaT0S1，為圖形整體縮小為圖形整體縮小S0 );3)最后向最后向V面作正投影面作正投影.T1000010000cossin00sincos10000cossin00sincos00001100001000000000110000cos000sincos0sin0sinsin0cosXYZOPXZYOS4.2.8軸測投影變換軸測投影變換2021/8/532這種軸測圖的特點(diǎn)是：三個軸向變形系數(shù)是相等的這種軸測圖的特點(diǎn)是：三個軸向變形系數(shù)是相等的10000816. 0000408. 00707. 00408. 00