山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略幾何分冊(cè)第21章共邊比例定理共角比例定理

1、第21章共邊比例定理共角比例定理共邊比例定理若兩個(gè)共邊的三角形，的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，所在直線與交于，則張景中幾何新方法和新體系北京：科學(xué)出版社，2009：5證法1由同底三角形的面積關(guān)系式，有，由上述兩式相加即證得圖21-1中（1）、（2），上述兩式相減即證得圖21-1中（3）、（4）情形證法2不妨設(shè)與不同，則證法3在直線上取一點(diǎn)，使，則，所以，共角比例定理若與相等或互補(bǔ)，則有（或）證明把兩個(gè)三角形拼在一起，讓的兩邊所在直線與的兩邊所在直線重合，如圖21-2所示，其中圖（1）是兩角相等的情形，圖（2）是兩角互補(bǔ)的情形，兩情形下都有共角比例定理的推廣與相等或互補(bǔ)，點(diǎn)在直線上且不同于，點(diǎn)在直線上且不同于，則

2、證明不妨設(shè)，共線如圖21-3，則共角比例不等式如果，而且兩角之和小于，則（或）證明記，如圖21-4，作一個(gè)頂角為的等腰，延長至，使，則由共角比例定理，有共角比例逆定理在和中，若，則與相等或互補(bǔ)證明用反證法假設(shè)，不相等也不互補(bǔ)，不妨設(shè)這時(shí)有兩種情形：若，由共角比例不等式，得這與題給條件矛盾若，如圖21-5，延長至，使，延長至使這時(shí)，而且由共角比例不等式，得但由共邊比例定理，知，且，故上述不等式，即為這也與已知題給條件矛盾從而假設(shè)，不相等也不互補(bǔ)不成立故與相等或互補(bǔ)下面給出應(yīng)用上述定理證明問題的例子例1（1999年全國高中聯(lián)賽題）在四邊形中，對(duì)角線平分在上取一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，延長交于求證：證法1如

3、圖21-6，在中，對(duì)割線應(yīng)用梅涅勞斯定理，并注意到共邊比例定理，有于是，證法2如圖21-6，對(duì)及點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理（令交于點(diǎn)），并注意到共邊比例定理，有（以下同證法，略）例2（2003年全國高中聯(lián)賽題）過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，所作割線交圓于、兩點(diǎn)，在、之間，在弦上取一點(diǎn)，使么求證：證明如圖21-7，設(shè)，在中，由正弦定理，有過、分別作于，作于，注意到共邊比例定理，有又，則于是，故例3（2009年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題）如圖21-8，在凸五邊形中，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于設(shè)、分別為與、與、與、與、與的交點(diǎn)求證：證明由共邊比例定理，有其他的線段比例用同樣的方法（共邊

4、比例定理）轉(zhuǎn)化，即只需證明由于用同樣方法轉(zhuǎn)化面積比，并消去上下相同的線段因而只需證明有或利用正弦定理，式等價(jià)于：而式顯然成立，故結(jié)論獲證例4（2010年北方數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題）已知是的內(nèi)切圓，、分別為、上的切點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)求證：是的中點(diǎn)證明如圖21-9，聯(lián)結(jié)，由、及、分別四點(diǎn)共圓有，由共邊比例定理，有，及于是，故是的中點(diǎn)例5（2010年國家隊(duì)選拔賽題）在銳角中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，使得設(shè)、的外心分別是、證明：直線平分線段證明如圖21-10，聯(lián)結(jié)、，設(shè)直線與線段交于點(diǎn)由共邊比例定理，有又，即于是故直線平分線段例6在完全四邊形中，若直線與直線交于點(diǎn)，直線分別交，于，則，證明如圖2

5、1-11，由共邊比例定理，有注：（1）對(duì)于等的證明，也可由（2）上述（1）的證明是對(duì)凸四邊形而言的，對(duì)下述的凹四邊形，折四邊形，按上述敘述則證得了上圖中的，（3）上述證明是由出發(fā)，也可從下述等式出發(fā)：，例7（梅涅勞斯定理）設(shè)，分別為的三邊、所在直線上的點(diǎn)，若、三點(diǎn)共線，則證法1如圖21-13，聯(lián)結(jié)，由共邊比例定理，有，上述三式相乘即證得結(jié)論證法2如圖21-13在直線上任取不重合兩點(diǎn)、，由共邊比例定理，有，即證例8（塞瓦定理）在的三邊、所在直線上取點(diǎn)，和，則，三直線共點(diǎn)的充要條件證明必要性如圖21-14由共邊比例定理，有充分性若有，如圖21-15，設(shè)和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，要證明的是和重合，也就是有

6、由共邊比例定理，有，即證例9（牛頓線定理）完全四邊形的三條對(duì)角線的中點(diǎn)共線證法1如圖21-16，在完全四邊形中，、分別為對(duì)角線，的中點(diǎn)設(shè)直線交于，下證與重合即可，即證為的中點(diǎn)即可由共邊比例定理有即證注：（*）（*）證法2如圖21-17，同證法1，證為的中點(diǎn)即可過，分別作直線的平行線交于點(diǎn)，由共角比例定理及平行線的性質(zhì)，有，注意到為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，知，以上四式相乘并化簡得，即亦即，亦即于是，從而又，故為的中點(diǎn)，由此即證得結(jié)論證法3（張景中證法）即知，故直線過的中點(diǎn)例10圓弦的中點(diǎn)是，延長的兩端使，過，分別向圓作割線，聯(lián)結(jié)，分別交于，則，如圖21-18所示證明注意到共角比例定理，由，有設(shè)，則，

7、于是改寫為化簡，整理得在式中，（因）故例11圓弦中點(diǎn)為，延長的兩端，使得，過，分別向圓作割線，切線，聯(lián)結(jié)，分別交于，則，如圖21-19所示證明注意到共角比例定理，由，有設(shè)，則，于是改寫成化簡，整理得故練習(xí)題二十一1（帕斯卡定理）設(shè)內(nèi)接于圓（與頂點(diǎn)次序無關(guān)，即無需為凸六邊形），直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)則、三點(diǎn)共線2（帕普斯定理）已知，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，則，三點(diǎn)在一直線上3（笛薩格定理）已知直線，交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，則，三點(diǎn)共線4（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問題1836號(hào)）是外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交、于、，交的延長線于點(diǎn)求證：5（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問題1816號(hào)）設(shè)是內(nèi)任一點(diǎn)，、分別交、于、分別交、于、求證：6（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問題1676號(hào)）已知是