超值數(shù)學(xué)建模全國(guó)一等獎(jiǎng)?wù)撐膬?chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定重慶大學(xué)

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：A我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：重慶大學(xué)參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.王建2. TK3. 王昌贏指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名廣 龔句力日期：2010 年 月 日編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要本文對(duì)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別和罐容表的標(biāo)定問(wèn)題進(jìn)行了深入探討，建立了儲(chǔ)油量和油位高度以及變位參數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，主要應(yīng)用了mtalab進(jìn)行求解。針對(duì)問(wèn)題一，我們利用積分的方法推導(dǎo)出小橢圓儲(chǔ)油罐在無(wú)

3、變位和發(fā)生縱向傾斜變 位時(shí)的一般公式。討論了在儲(chǔ)油罐發(fā)生縱向傾斜變位后對(duì)罐容表的影響，定義了平均影 響率”變位前后儲(chǔ)油量之差絕對(duì)值的平均值占總罐體容積的比例）作為評(píng)價(jià)罐體變位對(duì)罐容表的影響程度的大小的指標(biāo)，求出 “=4.87% o并分別給出了小橢圓儲(chǔ)油罐在無(wú) 變位和在縱向傾斜變位角取4.1。的罐容表。表1小橢圓儲(chǔ)油罐罐容表（縱向變位a =4.1*）油位高度h/m0.000.010.020.030.040.053儲(chǔ)油體積V /m30 0.00170.00350.00630.01000.01480.02071.151.161.171.17131.181.191.203.91033.93383.95

4、603.95883.97663.99554.1017 4.1101針對(duì)問(wèn)題二，將儲(chǔ)油罐分為5個(gè)區(qū)域分別進(jìn)行討論，考慮到在球冠處的體積表達(dá)式 過(guò)于復(fù)雜，我們省略了球冠處的一小部分體積， 進(jìn)行了近似求解，得出了罐內(nèi)儲(chǔ)油量與 油位高度以及變位參數(shù)之間的一般關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在利用儲(chǔ)油罐的實(shí)際測(cè)量值估計(jì)變位參數(shù)時(shí)，我們建立了最小二乘擬合模型，得到了最佳的變位參數(shù)為：縱向傾斜變位 a =2.16,，橫向偏轉(zhuǎn)變位P=4.50。并據(jù)此對(duì)儲(chǔ) 油罐的罐容表進(jìn)行了標(biāo)定（見(jiàn)表3）。在模型驗(yàn)證中，我們又采用蒙特卡洛模擬的方法對(duì)在問(wèn)題二的模型中忽略的部分球 冠體積進(jìn)行了模擬計(jì)算。得到用問(wèn)題二模型中求出的總儲(chǔ)油量與模擬得出

5、的總儲(chǔ)油量一 致度達(dá)到了 99%誤差非常小，驗(yàn)證了我們所建立的模型的合理性和準(zhǔn)確性。關(guān)鍵詞平均影響率最小二乘參數(shù)估計(jì)法蒙特卡洛模擬一問(wèn)題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐， 并且一般都有與之配套的“油位計(jì) 量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先 標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位 高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾 斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱(chēng)為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需 要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。問(wèn)題一為了掌握罐體變位

6、后對(duì)罐容表的影響，利用小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱 體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為«=4.1的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)建立數(shù)學(xué) 模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm勺罐容表標(biāo)定值。問(wèn)題二對(duì)于實(shí)際的儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾 斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度P ）之間的一般關(guān)系。利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí) 際檢測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)， 并給出罐體變位后油位高度問(wèn) 隔為10cm勺罐容表標(biāo)定值。然后進(jìn)一步用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法 的可靠性。二模型假設(shè)1、假設(shè)題中所給數(shù)據(jù)均為

7、儲(chǔ)油罐內(nèi)壁測(cè)量值；2、不考慮由于溫度、壓強(qiáng)變化等原因而引起儲(chǔ)油罐的體積變化；3、油位探針被固定在儲(chǔ)油罐上，其上油浮子能夠準(zhǔn)確測(cè)量油位高度；a儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度P儲(chǔ)油罐的橫向偏轉(zhuǎn)角度h油位高度R球冠體的半徑R0圓柱體的底面半徑三符號(hào)說(shuō)明a 橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)b橢圓的半短軸長(zhǎng)L儲(chǔ)油罐的總長(zhǎng)l油位探針到油罐底部左側(cè)的距離Vt儲(chǔ)油罐的總體積注：未說(shuō)明符號(hào)在文中用到時(shí)注明四問(wèn)題一的解答小橢圓儲(chǔ)油罐罐體變位前后都可以應(yīng)用積分的方法求出罐體的儲(chǔ)油量和油位高度 之間的關(guān)系。對(duì)于縱向傾斜的小橢圓儲(chǔ)油罐，考慮分段求出其儲(chǔ)油量和油位高度之間的 關(guān)系，從而得到重新標(biāo)定后的罐容表。4.1小橢圓儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的模型由于此時(shí)

8、的橢圓無(wú)變位，考慮先對(duì)二維橢圓進(jìn)行積分。為方便表示油位高度，建立 如圖所示的坐標(biāo)系，橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 a,半短軸長(zhǎng)為b,則橢圓方程為(yzb)!-ib2a00圖1對(duì)橢圓的積分示意圖在y方向上取橢圓面中的一微元dy積分得到油的側(cè)面積h a 1s = dxdy = 2 0 dy 0D一(*2h 一b dx = 20a，1(y - b)2 .b2S儲(chǔ)油罐內(nèi)油的體積為V = s L = 2L 0a. 1-(2b) dy查積分表得到V =abL"h(2b-h) + arcsin(hbb)十:1利用matlab計(jì)算得到aL3 , b2 -1.5(h - h'b)、, 2b2 - hb 2

9、b2 arcsin經(jīng)驗(yàn)證兩種方法得到的體積公式完全等價(jià)，（1）式即為小橢圓儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)的儲(chǔ)油量 和油位高度關(guān)系的模型。根據(jù)此模型，我們可以求出小橢圓儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí)罐容表標(biāo)定值（油位高度間隔取 1cm ,結(jié)果見(jiàn)附錄一）。4.2小橢圓儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位時(shí)的模型儲(chǔ)油罐縱向傾斜之后，油位計(jì)在油位過(guò)高或者過(guò)低時(shí)將不起作用（如圖2所示的vi和 V5區(qū)域），考慮到傾斜角口變化一般不會(huì)很大，所以我們可以將儲(chǔ)油罐按液面高低分成 五個(gè)部分VlV5,來(lái)求其儲(chǔ)油量和油位高度之間的關(guān)系。我們討論的是小橢圓儲(chǔ)油罐縱 向傾斜變位為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2。對(duì)于儲(chǔ)油罐順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變位（即a為負(fù)值）時(shí)的情況 與此非常類(lèi)似，在此不再詳

10、細(xì)討論。4.2.1 對(duì)區(qū)域vi的討論在區(qū)域vi，其油位低于油位探針的油浮子，所以油位計(jì)量系統(tǒng)中顯示油位高度為零當(dāng)油位計(jì)剛開(kāi)始有示數(shù)時(shí)，計(jì)算其儲(chǔ)油體積。將區(qū)域vi放大得到圖3圖中，從原點(diǎn)紙面向里為x軸，利用三重積分可以得到ba反 "Vi = dxdydz = 2 dy b dx tan dz-b 4tan;i'0'0D一其中l(wèi)為油位探針到儲(chǔ)油罐左側(cè)的距離積分得到(2)b y - b l tan ：/ y2V1 =2a ，1 2 dybtan： tan工 ,1 b4.2.2 對(duì)區(qū)域丫2的討論由區(qū)域vi很容易得到區(qū)域V2的儲(chǔ)油量和油位高度的變化關(guān)系，直接給出結(jié)論:所以4.2

11、.3 對(duì)區(qū)域V3的討論圖4區(qū)域v3示意圖在小橢圓儲(chǔ)油罐無(wú)變位模型中我們已經(jīng)求出了 V的計(jì)算公式，同區(qū)域V1中的積分原 理可以計(jì)算出Va和Vb,我們就可以得到此時(shí)的油量體積為V3 : va V-Vb其中h ltan-.a1-(y 切22 ltan;h dy。b2 dx。tan： dzv = abLh -b - |arcsin( )一 b 2hajl_(y 1)2-LVb=2h,L4dy0 b dX*dz4.2.4 對(duì)區(qū)域丫4的討論由區(qū)域4和區(qū)域2的相似性，將 式中的h換為（2b h）,將l換為（Ll）,并用總 體積減去V2即為區(qū)域4的儲(chǔ)油體積和油位高度的變化關(guān)系。ba 1_y2y 12(L)ta

12、n Q_bV4 二 VT 一 D dxdydz "2 b.2(L)tan： dy 0 / dX 0 dZ其中VT為小橢圓儲(chǔ)油罐的總體積化簡(jiǎn)并積分可得bV4=VT-2ah.4La)tan：.tan :y b - h (L -1) tan-1-b2dy(5)4.2.5 對(duì)區(qū)域V5的討論在此區(qū)域中油浮子到達(dá)油位探針頂點(diǎn)，無(wú)法進(jìn)一步測(cè)量油位高度。無(wú)法測(cè)量的總體 積為：(6)4.2.6 綜合各區(qū)域的罐容表標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型綜上所述，我們得到了儲(chǔ)油量V和油位高度h、縱向傾斜角久之間的分段函數(shù)關(guān)系 式：表2 V（h,a）分段函數(shù)關(guān)系區(qū)域油位高度h/m儲(chǔ)油量V / m31h =0,by - b +1 t

13、an豆 / y2Vi=0, 2 ay bJT dyl ,bJanatan«bb2力2h10, (L-l)tanao ?y - h - l tan b /y2V2 - 2a .i 1 - 2 dy-(Ht-tanot)tan"Y b2 )3h w (L - l )tan a, 2b-1 tanah 書(shū)tanqah-y 型a”V3 = 21dyo' b dx% tanc( dzh bh h b+ abL _2_qh(2b-h)+ arcsin(b-) + -ha(y422L-2dy Y bdxh y書(shū)tan門(mén)dzJh-(L-l)tana0上襦券？4h w (2b-1 t

14、ana, 2b、/ 、/ 。by + b-h + (L-l)tan« L y2 .V4 Vt -2a111dy玉二L)tan0(tanab b2 )5h=2bV5 = (Vt -2aby-b + (L-l)tan，工d-(L-Dtanatanabb2根據(jù)儲(chǔ)油量和油位高度的分段函數(shù)關(guān)系我們可以得到罐體縱向傾斜變位（a =4.儼）后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（見(jiàn)附錄一）。當(dāng)a =4.1叩寸，各區(qū)域油位高度及體積變化范圍為：表3各區(qū)域油位高度和儲(chǔ)油量變化范圍區(qū)域油位高度h/m儲(chǔ)油量V / m31h =0V1W 0,0.00172h w (0,0.1470V2W (0.0017,0.

15、15133hw (0.1470,1.1713V3W (0.1513,3.95884hw (1.1713,1.2V4W (3.9588,4.01275h=1.2V5W (4.0127,4.11014.3罐體變位后對(duì)罐容表的影響為了能更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)罐體的縱向傾斜變位對(duì)罐容表的影響，我們分別對(duì)罐體變位前后的理論值和測(cè)量值進(jìn)行多方面的比較。4.3.1 罐體變位前理論值與測(cè)量值比較根據(jù)附件一中所給數(shù)據(jù)，我們計(jì)算出在附件中所給的油位高度下理論值和測(cè)量值，并畫(huà)出其曲線。圖5罐體變位前的V-h曲線對(duì)比通過(guò)對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意h,儲(chǔ)油量的理論值和實(shí)際值始終成如（7）式的比例 關(guān)系。5量C V=0.9663V理

16、論4.3.2 罐體變位后理論值與測(cè)量值比較同樣根據(jù)附件一中所給數(shù)據(jù)，我們計(jì)算出在附件中所給的油位高度下理論值和測(cè)量 值，并畫(huà)出其曲線，如圖6。0.50.41.50.50.60.70.80.9油位高度h/m11.14 533 5 223 8量油儲(chǔ)圖6罐體變位后的V-h曲線對(duì)比從圖6中可以看出測(cè)量值仍然始終小于理論值，進(jìn)一步求得理論值與測(cè)量值之差的 變化范圍為0.0454,0.0910,測(cè)量值的相對(duì)誤差范圍為1.56%, 5.18%。4.3.3 罐體縱向傾斜變位a =4.1 口前后理論值比較4.50.5000.20.40.60.8油位高度h/m11.21.44 5 3 5 2 53 N L3 8V

17、量油儲(chǔ)后前位變圖7罐體變位前后的 V -h曲線對(duì)比1.21.2n、1彳/ ii傾斜前后理論值與實(shí)際值隨h的差異0.90.605D30.20.20.410.60.0h/m化/糊耐改名般圖8同一高度下儲(chǔ)油量的理論值與測(cè)量值之差變化關(guān)系*iJJA1111;r/!111i!i:ij變位前后的理論值的相對(duì)誤差0.90.80.60.50.40.30.20.20.40910.6 h/m圖9儲(chǔ)油量的測(cè)量值的相對(duì)誤差隨油位高度的變化關(guān)系由以上各圖可以清晰地看出縱向傾斜變位后，使得在同一個(gè)油位高度下，變位后比變位前的儲(chǔ)油量減小。但是這樣仍不夠直觀，我們需要找到一個(gè)指標(biāo)來(lái)定量刻畫(huà)罐體變 位后對(duì)罐容表的影響。從圖9中

18、可以看出，當(dāng)油位高度h較小時(shí)（0.1m附近），變位后相對(duì)于變位前的相對(duì)誤差幾乎達(dá)到了 60%以上，但是此時(shí)的儲(chǔ)油量的差別并不大，鑒于此, 我們定義平均影響率：n、V（變位前）V（變位后）二 !Jny（總）來(lái)刻畫(huà)罐體變位后對(duì)罐容表的影響?？梢郧蟪鲈诳v向傾斜變位口 =4.1叩寸，刈=4.87%五問(wèn)題二的解答如圖8實(shí)際的儲(chǔ)油罐示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體，在儲(chǔ)油罐無(wú)變位時(shí) 我們計(jì)算其各部分體積。圖10實(shí)際儲(chǔ)油罐示意圖圓柱體積計(jì)算公式2VW = L R帶入數(shù)據(jù)得到：主體圓柱體積為 56.5487 m3一端球缺體積計(jì)算公式HV球缺.H2 q-H13 J帶入數(shù)據(jù)得到：兩端球缺總體積為8.1158m

19、3,則儲(chǔ)油罐的總體積為64.6645 m35.1 考慮不發(fā)生變位時(shí)儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系圓柱內(nèi)的油體積隨油位高度變化關(guān)系：V圓*主（h）=2hL Jr2-（h-Rfdh（8）一端球缺內(nèi)油體積隨油位高度變化關(guān)系:V求缺h = 0 S dh = 0 r圓2 arc cosR)-H圓2-R)-HR)-H dh (9)其中圓=R)2 - h - RR為圓柱體底面半徑己為球缺對(duì)應(yīng)的半徑r圓為球內(nèi)小圓半徑總的儲(chǔ)油罐內(nèi)的油量對(duì)油位高度的變化關(guān)系為:V h =2V球缺h V鄙i h 2R Hr_r . r-2 ,=2 fr圓arc cos - Jr圓-(Ro- H ) (RH)dh+ 2JL R2-(h-R)

20、dh0I 圓°5.2 只考慮橫向偏轉(zhuǎn)變位時(shí)的儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系但此時(shí)的油位探針已只考慮儲(chǔ)油罐橫向偏轉(zhuǎn)為P時(shí)：對(duì)實(shí)際的油位高度沒(méi)有影響,經(jīng)隨儲(chǔ)油罐發(fā)生偏轉(zhuǎn)(如下圖)圖11只考慮橫向偏轉(zhuǎn)示意圖由油浮子測(cè)量得到的油位高度與實(shí)際油位高度的關(guān)系為:(10)R-h cos :所以P對(duì)罐容表影響轉(zhuǎn)換公式：'R-hV(hp尸V R-h、cosp J5.3 只考慮縱向傾斜變位時(shí)的儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系只考慮縱向傾斜變位時(shí)，我們利用問(wèn)題一中的思想，將儲(chǔ)油罐分成5個(gè)區(qū)域，分別 計(jì)算儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系（如圖12所示）。圖12實(shí)際儲(chǔ)油罐分區(qū)示意圖5.3.1 對(duì)區(qū)域1的討論油位探針測(cè)得的油位高度

21、h始終為零，分成三部分來(lái)計(jì)算這部分的體積，如區(qū)域 1的放大圖（13）區(qū)域1的總體積應(yīng)為:V1 =Va Vb Vc對(duì)圓柱體部分進(jìn)行三重積分得到:RSr"R2y2 dy oy-R_l_tan,ZrdxJL dZR.tan：.y - R l tan ：,R2 - y2 dy由球缺部分的體積隨油位高度的計(jì)算公式（9）得:Vb=V球缺 l tan：由于Va部分的體積精確計(jì)算非常復(fù)雜，而且儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度一般不會(huì)高于5所我們考慮將這部分體積省略，進(jìn)行近似計(jì)算。由于傾斜角 口較小，所以區(qū)域3占 據(jù)了儲(chǔ)油罐的絕大部分，而在區(qū)域3中這種近似計(jì)算的誤差將由于左右兩個(gè)球冠的省略體積一正一負(fù)而有所減小，

22、所以Vc ： 0由此得到區(qū)域1的總體積公式:R"2 R.tan ：R -y dy V球缺 l tan(11)5.3.2對(duì)區(qū)域2的討論在區(qū)域2中，油位高度h的變化范圍0,(L-1 )tano(。各部分儲(chǔ)油體積和油位高度的變化關(guān)系：RVc =2c R_h_Ltan：.R、=2R -h -L tan.-：.；,R2 二y2 dy 0y -R :：h：；l tan：工dX0tan、工 dzy - R h l tan 二tan ：,R2 - y2dyVb=V球缺 h l tan , Va 0總儲(chǔ)油量和油位高度變化關(guān)系:V2=21R _h. l tantan：R2 - y2dy V球缺 h l

23、tan：(12)5.3.3對(duì)區(qū)域3的討論在區(qū)域3中，油位高度h的變化范圍(L-l)tanct, 2R-l，tana。圓柱體部分的儲(chǔ)油量：Vc=V圓柱 h V1-V2其中h ltan.：”R2-(y-R)2h %h -y ltan,<dxdzhR2 Yy-R)2Ldx h-y ltamsdztan工球缺部分的近似儲(chǔ)油量:Vb V球缺h ltan。)+V球缺(h-(L-l rtana 八 Va fc0總儲(chǔ)油量和油位高度變化關(guān)系:"5主 h VV2 V球缺 h l tan：V球缺 h- LT tan：(13)5.3.4對(duì)區(qū)域4的討論在區(qū)域4中，油位高度h的范圍2R-1 lan

24、1;,2R圓柱體部分的儲(chǔ)油量:Vc =V圓柱球缺部分的總體積：-2Ryh_RL)tan 二.R - h (L -l)tan：tan：,R2 - y2dyVb = V球缺(h(L l ) tanu )+V球缺，Va.0(14)總儲(chǔ)油量和油位高度變化關(guān)系:V4 ="柱2''L，)tan 仃110nLzVRdy+V球缺小一"-1 口 )+V球缺5.3.5對(duì)區(qū)域5的討論在區(qū)域4中，油位高度 各部分體積分別為：RVc 二V圓柱一 2R,L）tan：.y (L -1)tan： - R,R2-y2dyVb=V球缺(2R (L1"tana )+V 球缺,Va -

25、0總儲(chǔ)油量和油位高度變化關(guān)系:RV5=V韭-2R,L)tan：.y (L -1)tan- - Rtan ;R -y dy V球缺 2R- L-l tan：V球缺V V圓柱一2：J （黑：FRdy V球缺 2R- L-1 tan： V球缺，Vt5.4 綜合考慮儲(chǔ)油罐縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)根據(jù)如上討論，我們可以得出結(jié)論，可以直接把5.3中各區(qū)域的V-h公式用式（10） 進(jìn)行變換即可得到綜合考慮了儲(chǔ)油罐縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)的V（h,。，P）一般關(guān)系式。R-hV h： =V Rcos我們依然考慮將儲(chǔ)油罐分成五個(gè)區(qū)域分別求解。5.4.1 對(duì)區(qū)域1的討論當(dāng)儲(chǔ)油罐未發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)，油位高度為h,而當(dāng)儲(chǔ)油罐發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)

26、后，就可能使得 油位探針測(cè)得的示數(shù)變?yōu)榱?。偏轉(zhuǎn)后圖14對(duì)區(qū)域一的討論示意圖即當(dāng)h = R - Rcos :時(shí)，儲(chǔ)油罐發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)0后，油位探針測(cè)得的油位高度恰好為零。 本屬于第二區(qū)域的部分橫向偏轉(zhuǎn)變位后轉(zhuǎn)為了變位后的第一區(qū)域。在積分時(shí)只需要將 Rcos0 +1替換tan ：在第一區(qū)域的積分即可得到V(%P)的一般關(guān)系式。在此區(qū)域h依然恒等于零，V(«, P)的(因此區(qū)域h三0,所以只是求其最大體積)一般關(guān)系式為V=21RR dykdx 產(chǎn)1R_R(1 qos|.；)tan 00:R(1_cos|.*1 tan,飛 tan-<dz VdZ V球缺=2；t y Rcos11tan：

27、 R2=y2dy V球缺 R1-cos-tan：(15)JRcosp-L tanQtan"土不研'fJ 5.4.2對(duì)區(qū)域2的討論由式(22)R-hcos :可以得到在第二區(qū)域須滿(mǎn)足條件計(jì)算可得h = R -(R -h -)cosh < (L -1)tan 二(L -1)tan < -R 1 -coscos :P)再由(12)式:RV2(h)=2R-R2y2dy 0y-R h 1 tan ：dx ° tan 二 dz V球缺 h l tan (16)然后只需要做下式的變換即可得到 V(h,%B)一般關(guān)系式:V2(hp)=V2 RUcos5.4.3 對(duì)區(qū)域3

28、的討論同區(qū)域2中討論，h P應(yīng)該滿(mǎn)足(L -l)tan .R 1 - cos : cos -R-h cos :h < 2R -1 tan ：得至上cos年(L -1) tan.二 一 R 1 - cos :,corA'由(13)式:V3S) =V圓柱 h M-V2 V球缺 h 1 tan二V球缺 h- L-l tan：(16)然后只需要做下式的變換即可得到 V(h, a, P)一般關(guān)系式:V3(hp尸V3 RR-h cosP )5.4.4對(duì)區(qū)域4的討論hP應(yīng)該滿(mǎn)足關(guān)系:R 1 cos ；： )T tan ：-cos :M h-： 2RRV4(h) =V圓柱一 2»LDa

29、ny了 2 y R-h (L)tan 二.,R -yTTZTTdy(0dx10口dz+V球缺(h-( L l ) tan" )+V球缺V4(hp 產(chǎn)V4 RR-hcosB )5.4.5 對(duì)區(qū)域5的討論在區(qū)域5中油位高度始終保持為2R0RV5(h) =V圓柱 -2 RcostJr2 _y2y 雜cos 取 L _L)tan 口_dy d dx tan： dz V球缺 R 1 cos I )1 L -1 tan ：V球缺an、00V5(hp尸V5 RR-hcosP 5.5 變位參數(shù)的確定和罐容表的計(jì)算5.5.1 用最小二乘參數(shù)估計(jì)法確定參數(shù)最小二乘參數(shù)估計(jì)法基本思想：根據(jù) V(h, a,

30、 B)的關(guān)系表達(dá)式求得幾組油量高度hi(i =1.2.3.n+1),計(jì)算出相鄰高度油量的體積之差 . =V(hH4,a, P)-V(hi,a , P)通過(guò) 與附件的實(shí)際儲(chǔ)油量»進(jìn)行比較，通過(guò)對(duì)久、0進(jìn)行等間距的窮舉最終求得理論值與 實(shí)際值 AVi'的差值的平方和 S=(AVi -V1')2+(V2+AV2')2 +.(Vn-iVn')2,當(dāng) S取得最 小值，此時(shí)“、P的即為所求的最佳值。即求解如下最小二乘擬合模型nmin S(： , ) Z (. ：M - . ：V')2 i 1算法描述：輸入： n組顯示油高。hh2、h3.hn、hn+1輸出：

31、縱橫向偏角a、P的值Step1:根 據(jù)h1、h2、h3.hn的高度 值以及V(h, ：)關(guān) 系式，求得V1 =V(h1)V(h2), &V2=V(h2)V(h3) . AVn=V(hnQV(hn)關(guān) 于 汽、B的表達(dá)式；Step2:根據(jù)附錄找出實(shí)際對(duì)應(yīng)的出油量 AV1', AV2', AV3'.W ;nStep3:對(duì)口、P進(jìn)行等間距窮舉，同時(shí)計(jì)算出S = £ (AVi -AVi ')2 ,當(dāng)S取得最 i 1小值時(shí)，求得3、P的值。算法結(jié)束用最小二乘參數(shù)估計(jì)法得到的變位參數(shù)為：口=2.16，P=4.50%角度都符合實(shí)際情況。5.5.2 實(shí)際儲(chǔ)油罐

32、罐容表的制定估計(jì)出實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜變位參數(shù) 久和橫向旋轉(zhuǎn)變位參數(shù)P后，我們就可以根 據(jù)所建立的儲(chǔ)油量V和油位高度h以及變位參數(shù)5 P的一般模型計(jì)算得到罐容表。表4實(shí)際儲(chǔ)油罐罐容表(縱向變位口 =2.16)橫向偏轉(zhuǎn)4 4 4.50口)油位高度h / m00.10.20.22240.30.40.5儲(chǔ)油體積V / m30 0.04780.35581.05821.27892.20433.67645.40050.60.70.80.911.11.21.37.33459.447111.712814.109216.616519.216221.89124.62431.41.51.61.71.81.922.1

33、27.400130.202933.017235.827938.619441.376544.083446.72372.22.32.42.52.62.72.82.949.280751.736454.071956.26658.295260.131461.739263.06652.929363.386264.0034 J 64.66455.6 利用所給數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)我們根據(jù)推導(dǎo)的到的V（h, 口，P）關(guān)系式對(duì)附件2中的第一次補(bǔ)充進(jìn)油后的300組數(shù) 據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，得到在相同油位高度差下，理論出油值值與實(shí)際出油值的關(guān)系圖：D.350 30.25020.15®淤0 1耍由*理論值。實(shí)際值一電

34、命., 零:及®® r三 - r由苗澄:單一儲(chǔ)m由浮 Q © ： 蔭蛾 1 t0 05也承；50100150200數(shù)據(jù)序號(hào)250300圖15理論儲(chǔ)油量和實(shí)際儲(chǔ)油量的差別對(duì)比圖從圖可以看出所得的理論值與實(shí)際值基本重合， 表示所算出的«和P的值是較為合 理的。六模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)6.1 模型的檢驗(yàn)（蒙特卡洛模擬方法）在實(shí)際儲(chǔ)油罐罐容表模型的建立和求解過(guò)程中，我們對(duì)球冠體內(nèi)傾斜的部分燃油的體積進(jìn)行了近似計(jì)算，忽略了一小部分球冠體體積。 鑒于此，我們考慮通過(guò)用計(jì)算機(jī)模 擬對(duì)該部分的體積進(jìn)行模擬計(jì)算，觀察近似計(jì)算值與精確模擬數(shù)值的吻合情況， 同時(shí)也 多我們建立的模型

35、進(jìn)行驗(yàn)證。模擬過(guò)程中的主要步驟：Stepl:劃分空間，確定被忽略區(qū)域 Q的空間限制范圍，建立空間限制函數(shù)表達(dá) 式。并尋求一包含該區(qū)域 Q的最小長(zhǎng)方體。建立坐標(biāo)系，確定 Q所在的 區(qū)域范圍；Step2:均勻做點(diǎn)，在長(zhǎng)方體內(nèi)分別從x, y,z三個(gè)坐標(biāo)軸依次等間距的產(chǎn)點(diǎn)Pi(x,yi,z),記錄落入該區(qū)域的點(diǎn)以及生成的點(diǎn)的總數(shù) M ,計(jì)算該長(zhǎng)方 體區(qū)域的總體積V ;Step3 :統(tǒng)計(jì)落在該區(qū)域的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求該部分體積Vq ,計(jì)算公式為：Vq = x V oM在模擬中對(duì)不同區(qū)域分別進(jìn)行求解所忽略部分的體積 Vq ,再與所得到的理論值相 加可得實(shí)際測(cè)量的精確值。根據(jù)蒙特卡洛模擬得到的被省略部分的體積，我

36、們可以畫(huà)出 實(shí)際體積和近似體積的差別圖。7060504030201000510 _152025高度h/dm圖16蒙特卡洛模擬驗(yàn)證圖由圖中可以看到，模型所推導(dǎo)出的結(jié)果與實(shí)際精確的數(shù)值吻合的非常好，模型對(duì)數(shù)據(jù)求解的精度很高，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)定性與可行性。6.2 模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1、模型是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜一步步建立的，增強(qiáng)可讀性，邏輯性強(qiáng)；2、在建模過(guò)程中將一些給定的數(shù)據(jù)參數(shù)化，使得模型更具一般性，可應(yīng)用范圍變3、通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬的方法較好地對(duì)近似計(jì)算所得結(jié)果做出了驗(yàn)證。缺點(diǎn)：在對(duì)附件2中實(shí)際儲(chǔ)油罐的變位參數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，由于儲(chǔ)油量和油位高度以及 變位參數(shù)的函數(shù)關(guān)系非常復(fù)雜，用最小二乘參數(shù)估計(jì)實(shí)現(xiàn)很困難，

37、我們僅采用了附件 2 中一些數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，使得得到的變?yōu)閰?shù)與實(shí)際值可能相差較遠(yuǎn)，值得進(jìn)一步改進(jìn)V(h, a, P)的函數(shù)關(guān)系以使得更好地利用最小二乘參數(shù)估計(jì)法。八模型的改進(jìn)和推廣7.1 模型的改進(jìn)建立模型積分出的函數(shù)關(guān)系很復(fù)雜，用最小二乘參數(shù)估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)， 程序 運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。對(duì)此改進(jìn)方案有：1、將模型積分出的函數(shù)關(guān)系式通過(guò)一定的變換，近似化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系，這樣會(huì)減少 一定的程序運(yùn)行時(shí)間；2、利用其它更為簡(jiǎn)便的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行求解。7.2 模型的推廣對(duì)于不同于題中所給的油罐也可用此方法和理論進(jìn)行分析罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且進(jìn)行變位識(shí)別和罐容表的重新標(biāo)定； 我們用到的參

38、數(shù)估計(jì)方法也可用 到其他的實(shí)際生活中參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的求解。參考文獻(xiàn)1林雪松，周靖，林德新，MATLAB7.而用錦集，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，20062王鄭耀，臥式加油灌剩余油料體積的計(jì)算，西安交通大學(xué)理學(xué)院，20043王連群，李莉，石油油罐體積計(jì)算方法的探討，吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)，第 6期：45-50,1989附錄附錄一：部分結(jié)果附表1小橢圓儲(chǔ)油罐罐容表(無(wú)變位)油位高度h/m00.010.020.030.040.050.06儲(chǔ)油體積V / m300.00530.01490.02740.0420.05860.07680.070.080.090.10.110.120.130.140.09660.1177

39、0.140.16360.18820.21390.24050.26810.150.160.170.180.190.20.210.220.29650.32580.35580.38660.41810.45030.48310.51650.230.240.250.260.270.280.290.30.55060.58520.62040.6560.69220.72890.7660.80350.310.320.330.340.350.360.370.380.84150.87990.91860.95780.99721.03711.07721.11760.390.40.410.420.430.440.450.4

40、61.15831.19931.24051.2821.32371.36571.40781.45010.470.480.490.50.510.520.530.541.49261.53531.57811.6211.66411.70721.75051.79380.550.560.570.580.590.60.610.621.83731.88081.92431.96792.01152.05512.09872.14230.630.640.650.660.670.680.690.72.18582.22942.27292.31632.35962.40292.44612.48910.710.720.730.74

41、0.750.760.770.782.53212.57492.61752.662.70232.74452.78642.82810.790.80.810.820.830.840.850.862.86962.91082.95182.99253.0333.07313.11293.15240.870.880.890.90.910.920.930.943.19153.23033.26863.30663.34423.38133.41793.45410.950.960.970.980.9911.011.023.48983.52493.55963.59363.6273.65993.6923.72351.031.

42、041.051.061.071.081.091.13.75433.78443.81363.8423.86963.89623.92193.94661.111.121.131.141.151.161.171.183.97013.99254.01364.03334.05154.06814.08284.09521.191.24.10494.1101附表2小橢圓儲(chǔ)油罐罐容表（縱向變位a =4.1 口）油位高度h/m0.000.010.020.030.040.050.06儲(chǔ)油體積V / m30 0.00170.00350.00630.01000.01480.02070.02790.070.080.090.

43、100.110.120.130.140.03630.04610.05740.07010.08440.10020.11770.13690.150.150.160.170.180.190.200.210.15130.15780.18020.20400.22890.25480.28180.30970.220.230.240.250.260.270.280.290.33850.36810.39850.42960.46140.49390.52710.56090.300.310.320.330.340.350.360.370.59520.63010.66550.70150.73790.77480.8121

44、0.84990.380.390.400.410.420.430.440.450.88810.92670.96561.00491.04451.08451.12471.16530.460.470.480.490.500.510.520.531.20611.24721.28851.33001.37181.41381.45591.49830.540.550.560.570.580.590.600.611.54081.58341.62621.66911.71211.75531.79851.84170.620.630.640.650.660.670.680.691.88511.92841.97192.01

45、532.05882.10222.14562.18910.700.710.720.730.740.750.760.772.23242.27582.31902.36222.40532.44832.49122.53400.780.790.800.810.820.830.840.852.57662.61902.66142.70352.74542.78722.82872.87000.860.870.880.890.900.910.920.932.91102.95182.99233.03253.07243.11193.15123.19000.940.950.960.970.980.991.001.013.

46、22853.26673.30443.34163.37853.41483.45073.48601.021.031.041.051.061.071.081.093.52083.55513.58873.62183.65413.68593.71693.74711.101.111.121.131.141.151.161.173.77663.80523.83303.85983.88563.91033.93383.95601.17131.181.191.203.95883.97663.99554.1017 4.1101附錄二：文中所涉及的程序2.1求解小橢圓儲(chǔ)油罐變位前的V -h公式及罐容表Onel.msy

47、ms y a b h Lv0=L*int(2*a*sqrt(1-(y-b)A2/bA2),y,0,h);v=simple(v0)pretty(v)one2.mh=0:0.01:1.2;v=5/9*(-13083/10000*(18/25-3/5*h)A(l/2).*h+4361/2000*(18/25-3/5*h)A(l/2).*hA2+39249/125000*15A(1/2)*asin(1/6*30A(1/2)*hA(1/2).*hA(1/2)./hA(1/2)*15人(1/2)plot(h,v)grid onaxis(0 1.2 0 4.5)xlabel( ' 油位高度/m

48、9; )ylabel( ' 儲(chǔ)油量 /L' )one3.m 測(cè)量值和理論值數(shù)據(jù)對(duì)比v1=50:50:20502053.832103.832105.062155.062205.062255.062305.062355.062404.98 2406.83:50:2906.83 2906.91:50:3706.91;v1=(262+v1)/1000;h=159.02176.14192.59208.50223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425

49、.76438.12450.40462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.90546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.70764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866.00879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.80978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.361193.49'h=h/1000;v2=5/9*(-13083/10000*(18/25-3/5*h)A(1/2).*h+4361/2000*(18/25-3/5*h)A(1/2) .*hA2+39249/125000*15A(1/2)*asin(1/6*30A(1/2)*hA(1/2).*hA(1/2)./hA(1/ 2)*15A(1/2);plot(h,v1, 'r',h,v2,'k