2020屆浙江省長興、余杭、縉云高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、努力的你，未來可期！2020屆浙江省長興、余杭、縉云高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .已知全集。=123,4, A = 1,2, 8 = 2,3,貝！J(Q,A)03=()A. 2B. 3C. 1,3,4 D. 2,3,4【答案】D【解析】先根據(jù)補集的運算，求得Q/A,再結(jié)合并集的運算，即可求解.【詳解】由題意，全集U =1,2,3,4, A = 1,2, 8 = 2,3,可得 QA = 3,4,所以(QA)U 8 = 2,3.4.故選：D.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、并集和補集的概念及運 算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.2 .設(shè)x$R,則“設(shè)&

2、gt;4”是“2* >4”的()條件A,充分不必要B,必要不充分C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】先化簡條件結(jié)論，再判斷結(jié)果即可.【詳解】9 >4 即 xv-2或x>2, 2">4即工>2,因為x < -2或x> 2推不出x> 2 ,但x> 2能推出x V 2或x> 2 ,故“爐>4”是“2、>4”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查了充分條件和必要條件，屬于基礎(chǔ)題.3 .已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(li) = 4+6i,貝上的共枕復(fù)數(shù)7為()A. -1 + 5/B. 1-5/C,

3、-1-5/D. 1 + 5/【答案】C【解析】先求z,再求N精品努力的你，未來可期!【詳解】解:因為Z =4 + 6i(4 + 6i)(l + i)(l-i)(l + i)精品所以= -l 5i，故選：C.【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算以及共軌復(fù)數(shù)的求法，基礎(chǔ)題.4 .（ + 1）（x7）'的展開式中的的系數(shù)為（）A. 1B. -9C. 11D. 21【答案】C【解析】分析：根據(jù)二項式定理展開即可，可先求出（X-1）5的X3和x$的項.詳解：由題可得（X if 的 X3 項為：C；X3（-1）2=1OX X5項為：C>5（-1）°=X5, 然后和（丁+1）相乘去括號得/項為：1

4、0/+金=比5,故（/ + 1）（工一1）5的展 開式中的X、的系數(shù)為11，選C.點睛：考查二項式定理的展開式計算，屬于基礎(chǔ)題.x+y-2>05 .若實數(shù)x,滿足0GW3,則Z = x + 2y-5的最大值與最小值的和為（）0 <）< 3A. 一3B. 1C. 3D. 4【答案】B【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形可得出最值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，可知A 3,0 ,B 2,0 ,C -1,33,3 ,7 5Z = x+2y-5可化為 > =-弓工+彳+5 , 22 217 5觀察圖形可知當直線、=-5工+ 3+5過。時，人工=4, 22 2

5、當直線 y = 5 X + ； + ；過 4 時，Zmin = 3 ,所以Z = x + 2y - 5的最大值與最小值的和為1.故選：B.【點睛】本題考查幾何法解決線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.6 .已知隨機變量J的分布列如下，則。傳）的取值范圍是（）20-2P£ 41a24【答案】DB. 0,3【解析】利用概率之和等于1，概率都大于0,列不等式組，可以得出。=/?,且-<a<-,將。(4)用。表示出來，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出。修)的取值范同【詳解】由分布列可知：2,解得：a = b.-<a< 42b + ->040(4)=(2 + 2/"

6、63; + (0 + 2)2X(：一)+ (-2 + 切 x(； + ” =(2 + 2") x； + (0 + 2“y x(；- +(-2 + 2</)- x； + ”-4a2 + 4a + 3對稱釉為。©在一生單調(diào)遞增,1Qa = 一 時。(彳)=Y4? +4a + 2 = j” =_!_時£)(4) = 2+4 + 2 = 3,23所以故選：D【點睛】 本題主要考查了離散型隨機變量的方差，同時考查了分布列的性質(zhì)，屬于中檔題.7 .設(shè)/(”，g(x)分別為定義在-萬,句上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x) = 2eAcosx (為自然對數(shù)的底數(shù))，則

7、函數(shù)y = /(x)-晨行的圖象大【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求出/(x) g(x) =2cosx,再利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值點，和函數(shù)的圖象的趨勢，即可求出結(jié)果.【詳解】 因為 / (x) + g (M =次'cosx,所以/ (t) + g (t) = 2e-Y cos(-x) .即一/(x) + g(x) = 2H' cos(x)，所以 /(x)-g(x) =2 cos x因為尸-寸，當A0.01時，*。，所以C,D錯誤.又,2(sinx + cosx)y =二4,所以x = £為極值點，即B錯誤. 4故選：A.【點睛】 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)圖

8、象上的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8 .設(shè)小生為雙曲線C： 土2(* >。)的左、右焦點'雙曲線。與圓/+),2="的一個交點為尸，若叫H口的最大值為4點,則雙曲線的離心率【答案】C【解析】設(shè)夕rcos/9,rsin<9，則由雙曲線的焦半徑公式可得四二四 =2ccos。， 即可得出最大值，求出J【詳解】 設(shè)尸rcosrsinO，則由雙曲線的焦半徑公式,.|Pf| + |P/s| e' rcosO + a + e-rcos0-a -有 l_LLJ_d = 2ecos<9，當6 = 0時，+取得最大值2e=40 即e = 2&r故選：C.【點睛】本題考查雙

9、曲線的性質(zhì)，考查能半徑公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9 .在正方體A8CO A£GA中，點M，N ,。分別在AA-42，D,C,±, Man c p為A4的中點，T7= = 2,過點4作平面夕，使得8G，a,若平面 /VAB£2 =加，a fl平面MNP = n ,則直線?與直線所成的角的正切值為（）A.逑B.還C.顯777【答案】A【解析】根據(jù)題意作出草圖，利用補正方體AA/K-A""",作平面A/NP與正方體A88-44GA的截而，根據(jù)線而垂直的判定定理，可證平而43/為平面。，所以直線GF為，直線“7為機，又HIUAB, NAPG為直

10、線機與直線所成的角, 在用AGf'中求解即可.【詳解】 如圖，補正方體AA/K-A8J",作平面MNP與正方體A8co-48£烏的截面,設(shè)AB = 3,易知AE = A/ = 2.易證BC1 1 AB , BIcAB = B ,所以平面AB/4,即平而45/為平面。，所以直線GF為，直線印為 ？，SHIHAB, NAFG為直線機與直線所成的角.設(shè) AG = x,x + y = 3yf2GH = y ,而AEGs/HNG,所以, x 27=5在 RtAAGF 中,tan ZAFG =逑AG _ _V _ 3y/2 .F27故選：A.【點睛】本題主要考查了直線與平而的垂

11、直的性質(zhì)，以及異而直線成角和空間想象能力，屬于難 題.10.已知直線/與單位圓。相交于4（x，%）,兩點，且圓心。到/的距離為W，則上+川+區(qū)+為|的取值范圍是（） 2D. 72,73【答案】A【解析】根據(jù)題意，用特例設(shè)出符合條件的直線與圓的方程，再聯(lián)立解方程組逐項排除可得答案.【詳解】圓的方程為/ + y2=.圓心到直線y =百X+ G的距離為g,交于4（公）與3（%，%），由y =+與爐+ y2 = 1聯(lián)立得玉=7X = °或則肉 + y,| + |x2 +>,2| =! < y/2 ,排除 BD：圓心到直線y = -x +亞的距離為g,交于4（%,y）和 22V6+

12、V276-72設(shè)y = _X +獨與/+ '2=聯(lián)立得(4 或4-42V6-V2 V6 + V2則|+凹|+區(qū)+ >'2| =卡> 括，排除D，故選:A.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，舉例逐項排除.二、填空題H.已知I, 均為正實數(shù)，向量"=(2,3), h =(1,4),若疝+ /岳與力市+ 4店共線，則竺=. n【答案】叵 2【解析】由向量的共線定理可得必+ ,區(qū)=九(2疝+4Z)，列出方程求解.【詳解】若+ nb 與 Ina + 4mb 共線，則存在唯一實數(shù)2 ,使得ma +怎=X(2疝+ 4?Z?) = 2Ana + 4Amb ,因為向量刁

13、= (2,3), 6=(1,4),所以向量6, 6不共線，m = 24一萬.<，解得="，則生=土. =427n 2故答案為：立.2【點睛】本題考查向量共線定理，以及向量相等的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12 .在 A3c中，角% 3, C所對的邊分別為叫 b, c,已知csin A +J記cosC = 0 ,則角C=,若NAC3的角平分線交48于點。，且CO = 1,貝h心的最小值是【答案】手：4【解析】根據(jù)正弦定理可得sinCsin A +JJsin AcosC = 0，從而求得tanC = -"，即可求出角c；利用s418cnS&tm+SAse即可解出。8=/?

14、+ 4,再結(jié)合基本不等式，即可求出的最小值【詳解】因為csinA +JSacosC = 0,所以 sinCsin A + V?sin AcosC = 0，又 sinAwO ,可得 sinC + /cosC = 0,即 tanC = -JJ ，因為0<Cv/r,所以C = E.3如圖，即 LcxsinlZO ='xlxsin6。+-ax 1 xsin60 222整理得：ab = b+a ,所以ab之2而，解得病之2所以，心24.故答案為：?：4.【點睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形，利用而積相等，屬于中檔題13 .某賓館安排4、B、C、D、E五人入住3個房間，每個房間至少住1

15、人，則共有 種不同的安排方法,（用數(shù)字作答）【答案】15?！窘馕觥肯葘⑽迦朔殖扇M，每組至少1人，然后將三組分配給三個房間，利用分步乘 法計數(shù)原理可求得不同的安排方法種數(shù).【詳解】將五人分成三組，則三組人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1,則分組方法種數(shù)為C"等= 25,a2再將三組分配給三個房間，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為25x = 150.故答案為：150.【點睛】本題考查人員的安排問題，考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.14 .已知等差數(shù)列可的前/項和S“ > 0 ,且滿足S2 s3 Sn =（片-。（d-。-也一。，（之 2且 eV ）

16、,若叫（,zeND,則實數(shù)，的取值范圍是.【答案】（。,1s【解析】先利用己知條件解得,，再利用等差數(shù)列公式構(gòu)建關(guān)系，得到%,""之間的 n關(guān)系，解得參數(shù)，再計算/的取值范圍即可.【詳解】當"之2時，S? 邑S” =T）（a； T）（片-/）©邑 （叱一）設(shè)% =4+5-1）4,因為S“>0,所以一得 4 = 42Tq+（T）”】Tn 一1一1”2又因為子 故 1而 + - - = d2n + 2ad -d2 +-, y = 2ad d21; pd =(T2a； T = 021 21-11或 ，若"=0時，由5,=2伍2一。知d = -

17、d = UV -7224=2(42-1) = 0,則=o, s=o,與己知矛盾，因此，/=o不符合題意，舍去，/.an = «, + (/?-1)J = y/t + -_-<,得f<l,又4=>01.22故答案為:（0,1.努力的你，未來可期！【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前前項和公式的綜合應(yīng)用，屬于難題.三、雙空題15 .我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖隨提出了著名的祖咽原理：“寨勢既同，則積不容異”. 意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得的兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個幾何 體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖唯原理的條件，若枝錐的體積為3江，圓錐 的側(cè)

18、面展開圖是半圓，則圓錐的底面半徑長是,母線長是.【答案】耳2摳【解析】易得圓錐的體枳為3%，由圓錐的側(cè)而展開圖得圓錐的母線長是R半圓的弧 長是/rR,圓錐的底而周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，設(shè)圓錐的底面半徑是，則 R = 2r,圓錐的高力=J(2疔一產(chǎn)=而,由此能求出圓錐的母線長.【詳解】現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖咂原理的條件，棱錐的體枳為3江，圓錐的體積為3乃，圓錐的側(cè)而展開圖是半圓，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖這個半圓的半徑是R，即圓錐的母線長是R,半圓的弧長是4R, 圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，設(shè)圓錐的底面半徑是，則得到2m = /?，；? = 2r,工圓錐的高力=一產(chǎn)=，圓錐的體積V

19、Z =1x%，x技 =3乃， 3解得，=",則圓錐的母線長為R = 2，= 2j?，故答案為：、萬，2JJ.【點睛】本題考查圓錐的母線長的求法、考查空間中線線、線面、面而間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識, 考查運算求解能力，屬于中檔題.16 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該三視圖的體積是,最長的棱的長度是.【答案】y6【解析】利用三視圖作出原幾何體，既可以求解.【詳解】原幾何體如圖：AB圖為一個底面為等腰直角三角形直三棱柱截去一個三棱錐得到,AC = A3 = 4且AC_LA8,側(cè)棱44=4, BE = 2所以體積為，x4x4x4 Ix'x4x4x2 = , 23 23最長的棱為GE

20、= J(4何+2, = 6，QA故答案為：y： 6【點睛】本題主要考查了由三視圖求原幾何體的體積和最長的棱長，關(guān)鍵是找出原幾何體，屬于 中檔題.(xnx-2x x > 017 .已知函數(shù)/(x) = ， , 5 八，若/=0,則實數(shù)。的值是：尸十x x<04若f(X)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線y = -2的對稱點在直線"一），-3 二 0上，則實數(shù)片的取值范圍是.5（3、【答案】/或0或一7一8二U（l，+s）4I4；【解析】（1）分段討論代入。即可求解：（2）求出直線人一），-3 = 0關(guān)于直線> =-2對稱的直線/的方程"+ y + l=。，

21、然后將問題轉(zhuǎn)化為直線/與函數(shù)丁 = /（工）的圖象有兩個交點，構(gòu)造函數(shù)lnx + -2,x> 0i “5將問題轉(zhuǎn)化為直線丁 二 一攵與函數(shù)y = g（x）的圖象有兩x + + ,x<0x 4個交點，利用數(shù)形結(jié)合思想可求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）當a>0時，f（a） = ana-2a = 0,解得 = /,當時，/（。）=/+*。=0,解得。=0或一）， 44綜上，"=J或?；蛞慌c： 4（2）直線依一）3 =。關(guān)于直線> =-2對稱的直線/的方程為履_（-4一y）-3 = 0,即Zx + y + l = O,對應(yīng)的函數(shù)為y = -"一 1.所以

22、，直線/與函數(shù)y = /（不）的圖象有兩個交點.對于一次函數(shù)y = -履-1,當x = o時，y = -i,且/（。） = 0.則直線/與函數(shù)y = /（x）的圖象交點的橫坐標不可能為。.當xrO時，令一米一1 = /（犬），可得必=/（"） + 1 X此時，令g（x） = "hlnx + -2,x>0 x15 八x + + ,x<0x 4I 1（當 x>0時，g'（x） = = = -,當 Ovxvl 時，g'（x）vO；當x>l 時，g'（x）>0. x 尸 片此時，函數(shù)y = g（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減,在

23、區(qū)間0，+8）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=g （%）的極小值為g（l）=-l；1_ 1當x<0時，g'(x) = l 一7 = -.當xv-l時，g'(x)>0：當TvxvO時, 廠 廠g'（x）v。.此時，函數(shù)y = g（x）在區(qū)間（口,一1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,0）上單調(diào)遞減, 函數(shù)）'=g（X）的極大值為g（T）=.作出函數(shù)y = k和函數(shù)），=g（x）的圖象如下圖所示：33由圖象可知，當一出_1或一時，即當女三或%1時，直線y = -Z與函數(shù) 44y = g（x）的圖象有兩個交點.因此，實數(shù)k的取值范圍是（s,|）u（L+s）.故答案為：/或&#

24、176;或一：；（一°°,：jua,+s）.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，同時也考查了對稱思想的應(yīng)用，解 題的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)來處理，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用， 屬于中檔題.四、解答題此設(shè)函數(shù)十） = 80 +升cos 2K并+ 的最大值為L精品努力的你，未來可期!(I)求。值及/(X)遞增區(qū)間；(ID若將函數(shù)y = /(x)圖象向右平移2個單位，得到函數(shù))，=g %的圖象，求滿足g(x°)g ,%+12三的實數(shù)%的集合6)2【答案】(【)a = 0； k加一冷，k九+三(ZreZ)： (II) 1乙1乙九 k九, 一

25、九 攵江, 丁< x + < xiA W + 3 k e Z)，12 2° 42【解析】(【)先利用三角恒等變換化簡整理/(X)，再利用最大值求參數(shù)，并求遞增區(qū)間即可：(H)先平移得到函數(shù)y = g X解析式，再解不等式即可.解(I ) /(x) = cosj 2x + - -cosj 2x- + x 6) k2 )= sin! 2x + +，A f(x) = + a = 1, ：( 3八小令2x +工 t + 2k7r, + 2k ,k wZ得xw 322，乃、-5力./(x) = sin 2x + g的單調(diào)遞增區(qū)間ki一三 (ID向右平移看個單位，得g(x) = si

26、n卜"(/用卜+看=sin2xu-sin2A0+j = l1 .)o.勺05/3 .-=sin" 2x0+ sin 2x0 cos2x0 = -sin 4x0 - g(x°)g(xo+6 卜 2 即-sin4" 6 )+4 2解得三十 2k乃W 4% 三W2+ 2kkk eZ ,666a = sin 2x + - cos2x + a227 = 0:一k7r- - .k7V + ,k eZ1212j乃+, 仕 wZ)； 1乙2| x IH = sin 2x ,I 6J 3j 2 0 .csin 2x0+ sin 2x0 cos 2x()"與 +

27、；=飆(4%一看卜5：2'得.，。飛上2'【詳解】故實數(shù)小的集合為什行十3玉)1 +刁-水七2>.【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.19.如圖，在多面體ABC。石尸中，四邊形A3CO為菱形，且的。= 60。，在四邊形 ADE尸中,AF/DE, ZDAF=90° , AD = DE = 2AF = 2, BE = 20, M為AB 的中點.(1)證明：直線尸M平面E4C；(2)求直線B/與平面E4C所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析：(2) 1.【解析】(1)連接3。交AC于S,取AE中點R，連接心,證明Mf7/SR即可；(2)取中

28、點N,連接CV,則面7/CN,連接8。交AC于S,連接成，作£>G_LSE 于G, NHLSEH,可知NNC”為直線CN與平面E4C所成角，求出其正弦值即 可.【詳解】(1)如圖，過E作EQA。，與A/延長線交于Q, 丁 AF/DE,可知四邊形AOE。為平行四邊形，連接80交AC于S,連接。交AE于心 連接RS,9： MS = -AD9 MSHAD， 2 AQ = 24尸=2, .在"£> 中，F(xiàn)R = -ADt FRHAD , 2:.MSUFR、MS = FR, 四邊形MFRS是平行四邊形，.Mf7/SA.又 MF（Z 平面 £4C, SR

29、 u 平面 EAC, 直線FM平而石4C（2）取OE中點N,連接CN，則8尸 CN,連接80交AC于S,連接ES，,/ DE2 + BD1 = BE2.； BD上DE,又AO _L £>石，I. OE !平而 A8CQ,.4。=平面438,.4。_1。£,又AO_LO8，BDcDE = D, ；. AC 上平面 BDE, 平而8£應(yīng)_1_平面4CE，作。G_LSE于G, NH LSE干H,則_1_平面E4。， . ZNCH為直線CN與平面EAC所成角，等于直線BF與平面EAC成角8,nh = ；dg = 士, cm = B： sin 0 = sin 4NCH

30、 =.CN 5【點睛】本題考查線而平行的證明，考查線面角的求法，屬于較難題.20 .已知正項數(shù)列%滿足：卬=1,%=7 ,且=(仁1)二、”+1)( eN , ，*+1/? > 2 ).(I)證明：數(shù)列q+1是等比數(shù)列，并求%的通項公式：(H)令q=q-8 + 3,求數(shù)列同的前項和丁“.t4/?2+2/? + 2-2h+1,h<5【答案】證明見解析，f g_2+94,>5,【解析】(I)由遞推公式證明&m+1乂1+1)=卜，“+1即可，然后由條件計算出公比，即可求出通項公式：(2)先求出卜“的前項和為S“，可知當<5時，當5時，T=Sn-2S5.【詳解】(I)由

31、題知：.(%+1) = &+1)2-(+1)+ 1) + (% +1) = (?！? if 即(4+1 +1)(% +1) =(4 + 1)2所以數(shù)列q+1是等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列q+1的公比為夕，/=片 = 4，又.9>0,. q=2,.%+1 = 2”，.。”=2"-1(II)因為% =勺-8 + 3 = 2"-8 + 2,設(shè)qj的前項和為S”,則S” =2 1 - 2" n -6-8/7 4-2+1-2二2.一42一2一2所以當<5時，%<0,當 >5時，的>。，所以當W5時，Tn= -S = 42 + 2 + 2-2川精品

32、當 > 5 時，Tn= S“- 2s5 = 2-4/r-2n + 94故數(shù)列除|的前項和1_ '42+2" + 2-2"%45- 2"*-422 + 94,>5 【點睛】 本題考查等比數(shù)列的證明，考查含絕對值數(shù)列的前項和的求法，屬于中檔題.21 .產(chǎn)是拋物線C：x2=2N>0)的焦點，"是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意3一點，過三點的圓的圓心為。，點。到拋物線C的準線的距離為二. 4(1)求拋物線C的方程；(2)若點”的橫坐標為近，直線/：y =匕+ !與拋物線c有兩個不同的交點A, B,/與圓。有兩個不同的交點。，E,求當時，IABF+IOEF的最小值.13【答案】(1)x2=2y (2) y3【解析】(1)根據(jù)拋物線上的點到拋物線的準線的距離為二列方程求解：4(2)聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一元二次方程，利用韋達定理結(jié)合點到直線的距離 公式與兩點間距離公式、函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【詳解】/ (1)拋物線C:/=2py(p>0)的焦點F ,設(shè)。(/)，由題意可知 = ，4則點。到拋物線C的準線的距離為0+? = g4=W=w，解得 =1,于是