實(shí)驗(yàn)4馬爾科夫預(yù)測(cè)

1、實(shí)驗(yàn)4：馬爾柯夫預(yù)測(cè)4.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概念，理解馬爾科夫鏈定義和性質(zhì)，能根據(jù)具體實(shí)例和研究目的劃分狀態(tài)；2、掌握用Excel軟件計(jì)算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的全過(guò)程；3、掌握利用Excel軟件進(jìn)行馬爾科夫鏈、市場(chǎng)占有率、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)的相關(guān)預(yù)測(cè)。7.2實(shí)驗(yàn)原理 7.2.1 馬爾柯夫預(yù)測(cè)的基本原理馬爾可夫預(yù)測(cè)法是馬爾科夫過(guò)程和馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)領(lǐng)域的一種應(yīng)用，這種方法通過(guò)對(duì)事物狀態(tài)劃分、研究各狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)事物未來(lái)狀態(tài)變化趨勢(shì)，以預(yù)測(cè)事物的未來(lái)。7.2.11馬爾可夫鏈若時(shí)間和狀態(tài)參數(shù)都是離散的馬爾科夫過(guò)程，且具有無(wú)后效性，這一隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫鏈。無(wú)后效性可具

2、體表述為如果把隨機(jī)變量序列的時(shí)間參數(shù)作為“現(xiàn)在”，那么表示“將來(lái)”，表示“過(guò)去”，那么，系統(tǒng)在當(dāng)前的情況已知的條件下， “將來(lái)”下一時(shí)刻所處的的情況與“過(guò)去”的情況無(wú)關(guān)，隨機(jī)過(guò)程的這一特性稱(chēng)為無(wú)后效性。7.2.12狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移1、狀態(tài)是指客觀(guān)事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。在實(shí)際根據(jù)研究的不同事物、不同的預(yù)測(cè)目的，有不同的預(yù)測(cè)狀態(tài)劃分。（1）預(yù)測(cè)對(duì)象本身有明顯的界限，依狀態(tài)界限劃分。如機(jī)器運(yùn)行情況可以分為“有故障”和“無(wú)故障”兩種狀態(tài)，天氣有晴、陰、雨三種狀態(tài)。（2）研究者根據(jù)預(yù)測(cè)事物的實(shí)際情況好預(yù)測(cè)目的自主劃分。如：公司產(chǎn)量按獲利多少人為的分為暢銷(xiāo)、一般銷(xiāo)售、滯銷(xiāo)狀態(tài)。這種劃分的數(shù)量界限依產(chǎn)品不

3、同而不同。 2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的推移而轉(zhuǎn)移，及系統(tǒng)由某一時(shí)期所處的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一時(shí)期所處的狀態(tài)。發(fā)生這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率7.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及計(jì)算原理1、概念：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率指假如預(yù)測(cè)對(duì)象可能有E1，E2，En共n種狀態(tài)，其每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有n個(gè)轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），即：1 、，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。最基本的是一步轉(zhuǎn)移概率，它表示某一時(shí)間狀態(tài)經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移到下一時(shí)刻狀態(tài)的概率，可以簡(jiǎn)記為。2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P系統(tǒng)全部一次轉(zhuǎn)移概率的集合所組成的矩陣稱(chēng)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 稱(chēng)P為狀態(tài)

4、轉(zhuǎn)移概率矩陣。若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，則k步轉(zhuǎn)移矩陣為 7.2.3馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)馬爾柯夫方法是研究隨機(jī)事件變化的一種方法。預(yù)測(cè)對(duì)象的變化常受各種不確定因素的影響而帶有隨機(jī)性，若其具有無(wú)后效性，則用馬爾可夫法進(jìn)行預(yù)測(cè)會(huì)更有效、方便。一、一重鏈狀相關(guān)預(yù)測(cè)（一）一重馬爾可夫鏈：若時(shí)間序列Yt在t=k+1（將來(lái)時(shí)期）時(shí)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律只與Yt在t=k（現(xiàn)在時(shí)期）時(shí)的取值有關(guān)，而與t=k以前的取值無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此時(shí)序?yàn)橐恢劓湢钕嚓P(guān)時(shí)間序列， （二）預(yù)測(cè)步驟：一重鏈狀相關(guān)預(yù)測(cè)是利用一步移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)步驟：1、 預(yù)測(cè)對(duì)象狀態(tài)劃分：1）預(yù)測(cè)對(duì)象本身已有明顯狀態(tài)界限； 2）不明顯的，在劃分時(shí)進(jìn)行全面調(diào)查、了

5、解，并結(jié)合預(yù)測(cè)目的加以分析。2、計(jì)算初始概率初始概率是指狀態(tài)出現(xiàn)的概率。當(dāng)狀態(tài)概率的理論分布未知時(shí)，若樣本容量足夠大，可用樣本分布近似地描述狀態(tài)的理論分布。因此，可用狀態(tài)出現(xiàn)的頻率近似地估計(jì)狀態(tài)出現(xiàn)的概率。假定預(yù)測(cè)對(duì)象有（i=1,2,，n）個(gè)狀態(tài)，在已知?dú)v史數(shù)據(jù)中，狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)為；則出現(xiàn)的頻率 3、計(jì)算狀態(tài)的下轉(zhuǎn)移概率。 同狀態(tài)的初始概率一樣，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的理論分布未知，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，也可以用狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的頻率近似地描述其概率。假定由狀態(tài)轉(zhuǎn)向的個(gè)數(shù)為，那么 就得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 矩陣主對(duì)角線(xiàn)上的P11 ，P22 ，Pnn 表示經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移后仍處在原狀態(tài)的概率。4、根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣

6、和初始概率進(jìn)行預(yù)測(cè)。7.2.3.1 馬爾可夫模型預(yù)測(cè)馬爾可夫模型預(yù)測(cè)是利用概率建立一種隨機(jī)型時(shí)序模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。預(yù)測(cè)模型： 式中：是預(yù)測(cè)對(duì)象t=k時(shí)刻的狀態(tài)向量；為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣; 是預(yù)測(cè)對(duì)象在t=k+1時(shí)的狀態(tài)向量，預(yù)測(cè)的結(jié)果。根據(jù)上述預(yù)測(cè)模型可得：1、預(yù)測(cè)模型：式中：S(0)為預(yù)測(cè)對(duì)象的初始狀態(tài)向量。是由狀態(tài)的初始概率組成的向量。對(duì)于馬氏鏈，它處于任一時(shí)刻t的概率可由初始概率初始狀態(tài)向量和一步轉(zhuǎn)移概率所決定。2、適用條件：預(yù)測(cè)模型只適用于具有馬爾可夫性的時(shí)間序列，在要預(yù)測(cè)期內(nèi)，各時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率保持穩(wěn)定，均為一步轉(zhuǎn)移概率。若時(shí)序的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨不同時(shí)刻在變化，不宜用此方法。此方法一

7、般適用于短期預(yù)測(cè)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P全面地描述了預(yù)測(cè)對(duì)象在各個(gè)狀態(tài)之間變化的關(guān)系，在預(yù)測(cè)中有著很重要的作用。它不僅決定了預(yù)測(cè)對(duì)象所處的狀態(tài)，而且決定著預(yù)測(cè)對(duì)象的變化趨勢(shì)和最終結(jié)果。 7.2.3.2終極市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)一段時(shí)間以后，馬氏鏈將逐漸趨于這樣一種狀態(tài)，它與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，在n+1期的狀態(tài)概率與前一期即n期的狀態(tài)概率相等，有成立。馬氏鏈這個(gè)狀態(tài)稱(chēng)為穩(wěn)定狀態(tài)。一、馬氏鏈的穩(wěn)態(tài)概率馬氏鏈達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的狀態(tài)概率就是穩(wěn)定狀態(tài)概率，也稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)概率。馬氏鏈在一定條件下，經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移后，會(huì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。1、穩(wěn)定狀態(tài)的條件如果一步轉(zhuǎn)移概率矩陣是標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則馬氏鏈能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。 2、穩(wěn)態(tài)概

8、率的求解由馬氏鏈穩(wěn)定狀態(tài)定義可知，處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，有，即，假設(shè)，且是經(jīng)k步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：根據(jù) S（k+1）=S（k）·P= S（k）展開(kāi)為：得如下方程組： 移項(xiàng)得： 上式中有n個(gè)變量，但有n+1個(gè)方程，說(shuō)明其中一個(gè)方程不獨(dú)立，消去其中第n個(gè)方程，寫(xiě)成矩陣形式 ： =令 則： 即求得是馬氏鏈的穩(wěn)態(tài)概率。7.3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)7.3.1 廠(chǎng)家1，廠(chǎng)家2和廠(chǎng)家3是北京地區(qū)三個(gè)牛奶供應(yīng)商表示。去年12月份對(duì)2000名消費(fèi)者展開(kāi)調(diào)查。得到轉(zhuǎn)移頻率矩陣如下：試對(duì)三個(gè)廠(chǎng)家17月份的市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè)。7.3.2 某汽車(chē)修理公司在北京市有甲、乙、丙3個(gè)修理廠(chǎng)，經(jīng)過(guò)幾年的發(fā)展公司形成了

9、一定規(guī)模的、穩(wěn)定的客戶(hù)群。對(duì)客戶(hù)調(diào)查的結(jié)果顯示，客戶(hù)在甲、乙、丙3個(gè)修理廠(chǎng)之間的轉(zhuǎn)移概率為：由于公司的原因，公司目前打算只對(duì)其中的一個(gè)維修廠(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)大規(guī)模。試分析應(yīng)選擇哪個(gè)維修廠(chǎng)。7.4實(shí)驗(yàn)過(guò)程實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)7.3.1實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：步驟1：計(jì)算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣首先統(tǒng)計(jì)每個(gè)廠(chǎng)家的購(gòu)買(mǎi)人數(shù)，即計(jì)算各行數(shù)據(jù)的和輸入上述公式，sum(A1:C1)計(jì)算第一行的值，然后按回車(chē)【Enter】鍵,得到和為800，點(diǎn)鼠標(biāo)左鍵向下拖到D3,便得到每一行的和。然后用一行中的每一個(gè)數(shù)據(jù)除以它們的和，得到轉(zhuǎn)移概率矩陣p步驟2：計(jì)算初始狀態(tài)去年12月份各廠(chǎng)家的市場(chǎng)占有率，用2000去除800，600和600，得到步驟3：預(yù)測(cè)今年

10、1月三個(gè)廠(chǎng)家市場(chǎng)占有率；首先，用鼠標(biāo)選中B5：D5區(qū)域以存儲(chǔ)今年1月三廠(chǎng)家的市場(chǎng)占有率；然后點(diǎn)擊主菜單中的【公式】，下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，出現(xiàn)如下對(duì)話(huà)框：在【或選擇類(lèi)別】中選中數(shù)學(xué)與三角函數(shù)，【選擇函數(shù)】選數(shù)組乘法函數(shù)【MMULT】，點(diǎn)確定，結(jié)果如下：在數(shù)組Array1輸入初始狀態(tài)的市場(chǎng)占有率的單元格范圍B1：D1，同樣在數(shù)組Array2中輸入一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的單元格范圍B2：D4:特別注意，不要點(diǎn)確定鍵，如果按確定鍵會(huì)輸出單個(gè)值，先按F2使表格處于編輯狀態(tài)，然后同時(shí)按鍵盤(pán)上的【Ctrl】, 【Shift】,【Enter】，輸出單元格區(qū)域?yàn)锽5：D5，即廠(chǎng)家1預(yù)計(jì)今年1月份市場(chǎng)占有率為0

11、.52，廠(chǎng)家2預(yù)計(jì)今年1月份市場(chǎng)占有率為0.24，廠(chǎng)家3預(yù)計(jì)今年1月份市場(chǎng)占有率為0.24。步驟4：預(yù)測(cè)今年2月份三個(gè)廠(chǎng)家市場(chǎng)占有率用鼠標(biāo)選中存儲(chǔ)單元格B6：D6，按照上面的步驟點(diǎn)擊主菜單中的【公式】，下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，在【或選擇類(lèi)別】中選中數(shù)學(xué)與三角函數(shù)，【選擇函數(shù)】選數(shù)組乘法函數(shù)【MMULT】，修改數(shù)組Array1輸入今年1月份市場(chǎng)占有率，即B5：D5，數(shù)組Array2中輸入一步轉(zhuǎn)移概率矩陣B2：D4，按三鍵【Ctrl】+【Shift】+【Enter】，輸出單元格區(qū)域?yàn)锽6：D6。即廠(chǎng)家1、廠(chǎng)家2和廠(chǎng)家3預(yù)計(jì)今年2月份市場(chǎng)占有率分別為0. 496、0.252、0.252步驟5：類(lèi)

12、似的可以計(jì)算三個(gè)廠(chǎng)家3月、4月、5月、6月、7月的市場(chǎng)占有率：從結(jié)果可以看到，廠(chǎng)家1的市場(chǎng)占有率隨時(shí)間的推移逐漸穩(wěn)定在50%，而廠(chǎng)家2和廠(chǎng)家3的市場(chǎng)占有率隨都逐漸穩(wěn)定在25%. 馬爾科夫穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程步驟1：判斷一步轉(zhuǎn)移概率矩陣是否為正規(guī)矩陣用鼠標(biāo)選中B7：D9，按照上面步驟選擇函數(shù)MMULT,在矩陣Array1和 矩陣Array2中輸入客戶(hù)轉(zhuǎn)移概率矩陣單元格范圍B4：D6，按F2，然后同時(shí)按三鍵Ctrl+Shift+Enter,由于一步轉(zhuǎn)移概率矩陣平方后的矩陣p2的所有元素都大于0，所以P是正規(guī)矩陣。因此P存在唯一的概率向量。步驟2：根據(jù)公式求穩(wěn)態(tài)時(shí)甲、乙、丙3個(gè)修理廠(chǎng)客戶(hù)群的比例首先求一

13、步轉(zhuǎn)移概率矩陣的轉(zhuǎn)置，用鼠標(biāo)選中矩陣，點(diǎn)右鍵【復(fù)制】，選擇區(qū)域B10：D12，點(diǎn)鼠標(biāo)右鍵，選中【選擇性粘貼】，出現(xiàn)如下對(duì)話(huà)框：選中“轉(zhuǎn)置”，點(diǎn)確定，便得到轉(zhuǎn)置矩陣p3,將矩陣p3最后一行去掉，添加上方程 即向量1 1 1,計(jì)算除最后元素外主對(duì)角線(xiàn)所有元素與1之差，算后結(jié)果如下：接下來(lái)求此矩陣的逆矩陣：選中存儲(chǔ)的區(qū)域B13：D15，單擊主菜單中的【公式】，在其下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，在【或選擇類(lèi)別】點(diǎn)數(shù)學(xué)與三角函數(shù)，在選擇函數(shù)選中【MINVERSE】求逆矩陣。點(diǎn)擊【確定】出現(xiàn)如下對(duì)話(huà)框：在數(shù)組Array輸入矩陣單元格位置B10：D12，然后按F2使其處在編輯狀態(tài)，再同時(shí)按Ctrl+Shift

14、+Enter,得到逆矩陣根據(jù)馬爾科夫穩(wěn)態(tài)模型，方程右側(cè)為向量0,0,1的轉(zhuǎn)置接下來(lái)計(jì)算矩陣p5與向量u的積，同理點(diǎn)【公式】，【插入函數(shù)】，選中矩陣乘法MMULT；分別在A(yíng)rray1, Array2輸入矩陣所在單元格的位置B13:D15，B16：B18;按F2，然后同時(shí)按Ctrl+Shift+Enter三鍵。得到馬爾科夫穩(wěn)態(tài)時(shí)三個(gè)廠(chǎng)家的客戶(hù)比例x。由此從長(zhǎng)期來(lái)看，當(dāng)公司的客戶(hù)在3個(gè)維修廠(chǎng)之間的轉(zhuǎn)移達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，大約有50%的客戶(hù)在甲廠(chǎng)維修，大約有16.67%的客戶(hù)在乙廠(chǎng)維修，大約有33.33%的客戶(hù)在丙廠(chǎng)維修，因此從長(zhǎng)遠(yuǎn)利益考慮應(yīng)選甲廠(chǎng)進(jìn)行項(xiàng)目投資。7.5小結(jié)通過(guò)本實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)我們能更好的理解馬

15、爾科夫鏈、轉(zhuǎn)移概率矩陣的內(nèi)涵；能熟練靈活掌握用Excel軟件計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行馬爾科夫鏈、市場(chǎng)占有率、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)的相關(guān)預(yù)測(cè)。7.6練習(xí)實(shí)驗(yàn)1、某企業(yè)產(chǎn)品兩年來(lái)月度銷(xiāo)售情況如下，這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售狀態(tài)化為暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種（這里簡(jiǎn)稱(chēng)暢，滯），根據(jù)下面給出的資料利用Excel軟件估計(jì)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，并預(yù)測(cè)第25個(gè)月、26個(gè)月產(chǎn)品的銷(xiāo)售狀況。月份123456789101112銷(xiāo)售狀態(tài)暢滯滯暢暢滯暢暢滯暢滯暢月份131415161718192021222324銷(xiāo)售狀態(tài)暢滯滯暢暢滯暢暢滯滯暢暢2、某市市場(chǎng)供應(yīng)A、B、C三個(gè)品牌的洗衣機(jī)，調(diào)查結(jié)果表明，上個(gè)月市場(chǎng)總共銷(xiāo)售出800臺(tái)洗衣機(jī)，其中A

16、品牌銷(xiāo)售出250臺(tái)，B品牌銷(xiāo)售出250臺(tái)，C品牌銷(xiāo)售300臺(tái)，A品牌上個(gè)月顧客有72%依然購(gòu)買(mǎi)A品牌，12%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)B品牌，16%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)C品牌；上個(gè)月購(gòu)買(mǎi)B品牌的顧客有80%依然購(gòu)買(mǎi)B品牌，8%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)A品牌，12%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)C品牌；上個(gè)月購(gòu)買(mǎi)C品牌的顧客有85%依然購(gòu)買(mǎi)C品牌，10%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)A品牌，5%轉(zhuǎn)移到購(gòu)買(mǎi)B品牌。試預(yù)測(cè)該市本月和下個(gè)月洗衣機(jī)各品牌的市場(chǎng)占有率和穩(wěn)態(tài)時(shí)的市場(chǎng)占有率。3、某農(nóng)村農(nóng)業(yè)收成變化分為豐收、中收和欠收三種狀態(tài)，下表為該地區(qū)19732012年農(nóng)業(yè)收成變化統(tǒng)計(jì)情況，年份1973197419751976197719781979198019811982狀態(tài)豐收豐收平收欠收平收豐收欠收平收豐收平收年份19831984198519861