實驗4馬爾科夫預(yù)測

1、實驗4：馬爾柯夫預(yù)測4.1實驗?zāi)康?、了解狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概念，理解馬爾科夫鏈定義和性質(zhì)，能根據(jù)具體實例和研究目的劃分狀態(tài)；2、掌握用Excel軟件計算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的全過程；3、掌握利用Excel軟件進行馬爾科夫鏈、市場占有率、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)的相關(guān)預(yù)測。7.2實驗原理 7.2.1 馬爾柯夫預(yù)測的基本原理馬爾可夫預(yù)測法是馬爾科夫過程和馬爾科夫鏈在經(jīng)濟預(yù)測領(lǐng)域的一種應(yīng)用，這種方法通過對事物狀態(tài)劃分、研究各狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測事物未來狀態(tài)變化趨勢，以預(yù)測事物的未來。7.2.11馬爾可夫鏈若時間和狀態(tài)參數(shù)都是離散的馬爾科夫過程，且具有無后效性，這一隨機過程為馬爾可夫鏈。無后效性可具

2、體表述為如果把隨機變量序列的時間參數(shù)作為“現(xiàn)在”，那么表示“將來”，表示“過去”，那么，系統(tǒng)在當前的情況已知的條件下， “將來”下一時刻所處的的情況與“過去”的情況無關(guān)，隨機過程的這一特性稱為無后效性。7.2.12狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移1、狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。在實際根據(jù)研究的不同事物、不同的預(yù)測目的，有不同的預(yù)測狀態(tài)劃分。（1）預(yù)測對象本身有明顯的界限，依狀態(tài)界限劃分。如機器運行情況可以分為“有故障”和“無故障”兩種狀態(tài)，天氣有晴、陰、雨三種狀態(tài)。（2）研究者根據(jù)預(yù)測事物的實際情況好預(yù)測目的自主劃分。如：公司產(chǎn)量按獲利多少人為的分為暢銷、一般銷售、滯銷狀態(tài)。這種劃分的數(shù)量界限依產(chǎn)品不

3、同而不同。 2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間的推移而轉(zhuǎn)移，及系統(tǒng)由某一時期所處的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一時期所處的狀態(tài)。發(fā)生這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率7.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及計算原理1、概念：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率指假如預(yù)測對象可能有E1，E2，En共n種狀態(tài)，其每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有n個轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），即：1 、，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。最基本的是一步轉(zhuǎn)移概率，它表示某一時間狀態(tài)經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到下一時刻狀態(tài)的概率，可以簡記為。2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P系統(tǒng)全部一次轉(zhuǎn)移概率的集合所組成的矩陣稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 稱P為狀態(tài)

4、轉(zhuǎn)移概率矩陣。若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，則k步轉(zhuǎn)移矩陣為 7.2.3馬爾柯夫鏈預(yù)測馬爾柯夫方法是研究隨機事件變化的一種方法。預(yù)測對象的變化常受各種不確定因素的影響而帶有隨機性，若其具有無后效性，則用馬爾可夫法進行預(yù)測會更有效、方便。一、一重鏈狀相關(guān)預(yù)測（一）一重馬爾可夫鏈：若時間序列Yt在t=k+1（將來時期）時取值的統(tǒng)計規(guī)律只與Yt在t=k（現(xiàn)在時期）時的取值有關(guān)，而與t=k以前的取值無關(guān)，則稱此時序為一重鏈狀相關(guān)時間序列， （二）預(yù)測步驟：一重鏈狀相關(guān)預(yù)測是利用一步移概率矩陣進行預(yù)測。預(yù)測步驟：1、 預(yù)測對象狀態(tài)劃分：1）預(yù)測對象本身已有明顯狀態(tài)界限； 2）不明顯的，在劃分時進行全面調(diào)查、了

5、解，并結(jié)合預(yù)測目的加以分析。2、計算初始概率初始概率是指狀態(tài)出現(xiàn)的概率。當狀態(tài)概率的理論分布未知時，若樣本容量足夠大，可用樣本分布近似地描述狀態(tài)的理論分布。因此，可用狀態(tài)出現(xiàn)的頻率近似地估計狀態(tài)出現(xiàn)的概率。假定預(yù)測對象有（i=1,2,，n）個狀態(tài)，在已知歷史數(shù)據(jù)中，狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)為；則出現(xiàn)的頻率 3、計算狀態(tài)的下轉(zhuǎn)移概率。 同狀態(tài)的初始概率一樣，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的理論分布未知，當樣本容量足夠大時，也可以用狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的頻率近似地描述其概率。假定由狀態(tài)轉(zhuǎn)向的個數(shù)為，那么 就得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 矩陣主對角線上的P11 ，P22 ，Pnn 表示經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后仍處在原狀態(tài)的概率。4、根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣

6、和初始概率進行預(yù)測。7.2.3.1 馬爾可夫模型預(yù)測馬爾可夫模型預(yù)測是利用概率建立一種隨機型時序模型進行預(yù)測的方法。預(yù)測模型： 式中：是預(yù)測對象t=k時刻的狀態(tài)向量；為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣; 是預(yù)測對象在t=k+1時的狀態(tài)向量，預(yù)測的結(jié)果。根據(jù)上述預(yù)測模型可得：1、預(yù)測模型：式中：S(0)為預(yù)測對象的初始狀態(tài)向量。是由狀態(tài)的初始概率組成的向量。對于馬氏鏈，它處于任一時刻t的概率可由初始概率初始狀態(tài)向量和一步轉(zhuǎn)移概率所決定。2、適用條件：預(yù)測模型只適用于具有馬爾可夫性的時間序列，在要預(yù)測期內(nèi)，各時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率保持穩(wěn)定，均為一步轉(zhuǎn)移概率。若時序的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨不同時刻在變化，不宜用此方法。此方法一

7、般適用于短期預(yù)測。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P全面地描述了預(yù)測對象在各個狀態(tài)之間變化的關(guān)系，在預(yù)測中有著很重要的作用。它不僅決定了預(yù)測對象所處的狀態(tài)，而且決定著預(yù)測對象的變化趨勢和最終結(jié)果。 7.2.3.2終極市場占有率預(yù)測 經(jīng)過較長一段時間以后，馬氏鏈將逐漸趨于這樣一種狀態(tài)，它與初始狀態(tài)無關(guān)，在n+1期的狀態(tài)概率與前一期即n期的狀態(tài)概率相等，有成立。馬氏鏈這個狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)。一、馬氏鏈的穩(wěn)態(tài)概率馬氏鏈達到穩(wěn)定狀態(tài)時的狀態(tài)概率就是穩(wěn)定狀態(tài)概率，也稱為穩(wěn)態(tài)概率。馬氏鏈在一定條件下，經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后，會達到穩(wěn)定狀態(tài)。1、穩(wěn)定狀態(tài)的條件如果一步轉(zhuǎn)移概率矩陣是標準概率矩陣，則馬氏鏈能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)。 2、穩(wěn)態(tài)概

8、率的求解由馬氏鏈穩(wěn)定狀態(tài)定義可知，處于穩(wěn)定狀態(tài)時，有，即，假設(shè)，且是經(jīng)k步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：根據(jù) S（k+1）=S（k）·P= S（k）展開為：得如下方程組： 移項得： 上式中有n個變量，但有n+1個方程，說明其中一個方程不獨立，消去其中第n個方程，寫成矩陣形式 ： =令 則： 即求得是馬氏鏈的穩(wěn)態(tài)概率。7.3實驗數(shù)據(jù)7.3.1 廠家1，廠家2和廠家3是北京地區(qū)三個牛奶供應(yīng)商表示。去年12月份對2000名消費者展開調(diào)查。得到轉(zhuǎn)移頻率矩陣如下：試對三個廠家17月份的市場占有率進行預(yù)測。7.3.2 某汽車修理公司在北京市有甲、乙、丙3個修理廠，經(jīng)過幾年的發(fā)展公司形成了

9、一定規(guī)模的、穩(wěn)定的客戶群。對客戶調(diào)查的結(jié)果顯示，客戶在甲、乙、丙3個修理廠之間的轉(zhuǎn)移概率為：由于公司的原因，公司目前打算只對其中的一個維修廠進行擴大規(guī)模。試分析應(yīng)選擇哪個維修廠。7.4實驗過程實驗數(shù)據(jù)7.3.1實現(xiàn)過程如下：步驟1：計算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣首先統(tǒng)計每個廠家的購買人數(shù)，即計算各行數(shù)據(jù)的和輸入上述公式，sum(A1:C1)計算第一行的值，然后按回車【Enter】鍵,得到和為800，點鼠標左鍵向下拖到D3,便得到每一行的和。然后用一行中的每一個數(shù)據(jù)除以它們的和，得到轉(zhuǎn)移概率矩陣p步驟2：計算初始狀態(tài)去年12月份各廠家的市場占有率，用2000去除800，600和600，得到步驟3：預(yù)測今年

10、1月三個廠家市場占有率；首先，用鼠標選中B5：D5區(qū)域以存儲今年1月三廠家的市場占有率；然后點擊主菜單中的【公式】，下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，出現(xiàn)如下對話框：在【或選擇類別】中選中數(shù)學與三角函數(shù)，【選擇函數(shù)】選數(shù)組乘法函數(shù)【MMULT】，點確定，結(jié)果如下：在數(shù)組Array1輸入初始狀態(tài)的市場占有率的單元格范圍B1：D1，同樣在數(shù)組Array2中輸入一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的單元格范圍B2：D4:特別注意，不要點確定鍵，如果按確定鍵會輸出單個值，先按F2使表格處于編輯狀態(tài)，然后同時按鍵盤上的【Ctrl】, 【Shift】,【Enter】，輸出單元格區(qū)域為B5：D5，即廠家1預(yù)計今年1月份市場占有率為0

11、.52，廠家2預(yù)計今年1月份市場占有率為0.24，廠家3預(yù)計今年1月份市場占有率為0.24。步驟4：預(yù)測今年2月份三個廠家市場占有率用鼠標選中存儲單元格B6：D6，按照上面的步驟點擊主菜單中的【公式】，下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，在【或選擇類別】中選中數(shù)學與三角函數(shù)，【選擇函數(shù)】選數(shù)組乘法函數(shù)【MMULT】，修改數(shù)組Array1輸入今年1月份市場占有率，即B5：D5，數(shù)組Array2中輸入一步轉(zhuǎn)移概率矩陣B2：D4，按三鍵【Ctrl】+【Shift】+【Enter】，輸出單元格區(qū)域為B6：D6。即廠家1、廠家2和廠家3預(yù)計今年2月份市場占有率分別為0. 496、0.252、0.252步驟5：類

12、似的可以計算三個廠家3月、4月、5月、6月、7月的市場占有率：從結(jié)果可以看到，廠家1的市場占有率隨時間的推移逐漸穩(wěn)定在50%，而廠家2和廠家3的市場占有率隨都逐漸穩(wěn)定在25%. 馬爾科夫穩(wěn)態(tài)預(yù)測實驗過程步驟1：判斷一步轉(zhuǎn)移概率矩陣是否為正規(guī)矩陣用鼠標選中B7：D9，按照上面步驟選擇函數(shù)MMULT,在矩陣Array1和 矩陣Array2中輸入客戶轉(zhuǎn)移概率矩陣單元格范圍B4：D6，按F2，然后同時按三鍵Ctrl+Shift+Enter,由于一步轉(zhuǎn)移概率矩陣平方后的矩陣p2的所有元素都大于0，所以P是正規(guī)矩陣。因此P存在唯一的概率向量。步驟2：根據(jù)公式求穩(wěn)態(tài)時甲、乙、丙3個修理廠客戶群的比例首先求一

13、步轉(zhuǎn)移概率矩陣的轉(zhuǎn)置，用鼠標選中矩陣，點右鍵【復(fù)制】，選擇區(qū)域B10：D12，點鼠標右鍵，選中【選擇性粘貼】，出現(xiàn)如下對話框：選中“轉(zhuǎn)置”，點確定，便得到轉(zhuǎn)置矩陣p3,將矩陣p3最后一行去掉，添加上方程 即向量1 1 1,計算除最后元素外主對角線所有元素與1之差，算后結(jié)果如下：接下來求此矩陣的逆矩陣：選中存儲的區(qū)域B13：D15，單擊主菜單中的【公式】，在其下拉菜單中選擇【插入函數(shù)】，在【或選擇類別】點數(shù)學與三角函數(shù)，在選擇函數(shù)選中【MINVERSE】求逆矩陣。點擊【確定】出現(xiàn)如下對話框：在數(shù)組Array輸入矩陣單元格位置B10：D12，然后按F2使其處在編輯狀態(tài)，再同時按Ctrl+Shift

14、+Enter,得到逆矩陣根據(jù)馬爾科夫穩(wěn)態(tài)模型，方程右側(cè)為向量0,0,1的轉(zhuǎn)置接下來計算矩陣p5與向量u的積，同理點【公式】，【插入函數(shù)】，選中矩陣乘法MMULT；分別在Array1, Array2輸入矩陣所在單元格的位置B13:D15，B16：B18;按F2，然后同時按Ctrl+Shift+Enter三鍵。得到馬爾科夫穩(wěn)態(tài)時三個廠家的客戶比例x。由此從長期來看，當公司的客戶在3個維修廠之間的轉(zhuǎn)移達到均衡狀態(tài)時，大約有50%的客戶在甲廠維修，大約有16.67%的客戶在乙廠維修，大約有33.33%的客戶在丙廠維修，因此從長遠利益考慮應(yīng)選甲廠進行項目投資。7.5小結(jié)通過本實驗的學習我們能更好的理解馬

15、爾科夫鏈、轉(zhuǎn)移概率矩陣的內(nèi)涵；能熟練靈活掌握用Excel軟件計算轉(zhuǎn)移概率矩陣，并在此基礎(chǔ)上進行馬爾科夫鏈、市場占有率、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)的相關(guān)預(yù)測。7.6練習實驗1、某企業(yè)產(chǎn)品兩年來月度銷售情況如下，這種產(chǎn)品的銷售狀態(tài)化為暢銷和滯銷兩種（這里簡稱暢，滯），根據(jù)下面給出的資料利用Excel軟件估計一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，并預(yù)測第25個月、26個月產(chǎn)品的銷售狀況。月份123456789101112銷售狀態(tài)暢滯滯暢暢滯暢暢滯暢滯暢月份131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢滯滯暢暢滯暢暢滯滯暢暢2、某市市場供應(yīng)A、B、C三個品牌的洗衣機，調(diào)查結(jié)果表明，上個月市場總共銷售出800臺洗衣機，其中A

16、品牌銷售出250臺，B品牌銷售出250臺，C品牌銷售300臺，A品牌上個月顧客有72%依然購買A品牌，12%轉(zhuǎn)移到購買B品牌，16%轉(zhuǎn)移到購買C品牌；上個月購買B品牌的顧客有80%依然購買B品牌，8%轉(zhuǎn)移到購買A品牌，12%轉(zhuǎn)移到購買C品牌；上個月購買C品牌的顧客有85%依然購買C品牌，10%轉(zhuǎn)移到購買A品牌，5%轉(zhuǎn)移到購買B品牌。試預(yù)測該市本月和下個月洗衣機各品牌的市場占有率和穩(wěn)態(tài)時的市場占有率。3、某農(nóng)村農(nóng)業(yè)收成變化分為豐收、中收和欠收三種狀態(tài)，下表為該地區(qū)19732012年農(nóng)業(yè)收成變化統(tǒng)計情況，年份1973197419751976197719781979198019811982狀態(tài)豐收豐收平收欠收平收豐收欠收平收豐收平收年份19831984198519861