第5章拉普拉斯變換1

1、信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)第第5章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？引言引言dtetfFdeFtftftjtj)()()(21)()(，其中分解復(fù)指數(shù)信號之和：連續(xù)時間信號傅氏變換的本質(zhì)是將一度；可觀察各頻率分量的幅，使計算簡單；化成頻域中的乘積運算將時域中的卷積運算轉(zhuǎn))2() 1 (優(yōu)點：優(yōu)點：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？。則傅氏變換不一定存在若信號不滿足該條件，傅氏變換存在；信號需絕對可積，即,)(dttf引言引言局限性：局限性：寬的范圍內(nèi)應(yīng)用。方法使傅氏變換能在更針對這一局限性，找一信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換的函數(shù)；積

2、分結(jié)果使令表示：用的傅氏變換一定存在，則絕對可積，即，使選擇是實的，構(gòu)造一個新的信號對可積）并不知道該信號是否絕假定有一信號s),s ()()()()()()()()(,)()()()()(s)(1FdtetfGjsdtetfdteetfdtetgGFtgdttgtgetftgtfttjtjttjt，拉普拉斯變換dtetfFts)() s (信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？jsdeeGtfdeGetftgGtgtjttjtFT令所以所以因為,)(21)(:,)(21)()(:)()(:5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換根據(jù)傅里葉逆變換：根據(jù)傅里葉逆變換：，拉普拉斯逆變換dseFjtfjjst) s (

3、21)(信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換對：)()(;)()()()()1(sFLTtftfLTsFsFtfLT，雙邊拉普拉斯逆變換，雙邊拉普拉斯變換dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s表示為：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？：例1的拉氏變換單位沖激信號)(t任意值，解：1)()(dtetsFst5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換1)(LTt信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例2 2： 求單邊指數(shù)信號 和 的拉氏變換， 其中 為復(fù)數(shù)。 0( )s te u t0()s te ut000sj00()0( )( )s ts tstjtF s

4、e u t edte edt00()()0tjteedt 當 時001( )F sss001( )s te u tss L0，5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？同理0000()()( )()s ttjtstF se ut edteedt 001()s te utss L，05.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換時當00s0,1)(stuLT0,1)(stuLT信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？，為傅氏變換；時，稱為復(fù)頻率值不同，中的兩者的區(qū)別只在于，與傅氏變換思想一致之和的形式，其幅度為號可將其分解為復(fù)指數(shù)信通過拉氏變換表示信號jdssFeILTtfsts0ss2)()() 1 (5

5、.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換對：，雙邊拉普拉斯逆變換，雙邊拉普拉斯變換dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s說明：說明：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？氏變換不存在；在收斂域外，函數(shù)的拉氏變換存在；在收斂域內(nèi)，函數(shù)的拉的收斂域。值的范圍，稱為絕對可積的使不是任意選取的，表明絕對可積。，即的選擇需滿足：是有條件的，拉氏變換)()(s)()()() s ()2(ssFetfetfdtetfdtetfFtttt5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換收斂域:記為ROC (region of convergence)信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？拉氏變換的ROC，可將其圖示

6、在S平面的復(fù)平面上 收斂域的圖示：收斂域的圖示：5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？拉普拉斯變換F(s) 通常可表示為：11101110( )( )( )MMMMNNNb sbsbsbN sF sD ssasa sa極點：極點：使D(s)=0 的根p1，p2 ， ， pN ， 在s平面上用“”表示。2.拉普拉斯變換的零點和極點拉普拉斯變換的零點和極點 5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域零點：零點：使N(s)=0 的根Z1，Z2 ， ， ZM ， 在s平面上用“o”表示。信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？F(s)可用零點和極點表示為：1212()()(

7、)( )( )( )()()()MNszszszN sF sKD sspspsp零極點圖：零極點圖：將F(s)的零點和極點標注在S平面上，稱為拉氏變換的零極點圖。 5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例：已知信號 求該信號的拉氏變換F(s) ，并畫出其零極點圖。 2366( )( )( )()55ttf tteu te ut232366( ) ( )( )()5566( )( )()55ttststtsttstF steu te ut edtt edteu t edte ut edt261112( )1,23523(2)(3)ssF sssss 解：解：

8、5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？零點：極點：在S平面上， 的零極點圖及ROC如下圖所示123,4zz 122,3pp ( )F s5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？性質(zhì)性質(zhì)3 3：如果信號是時限信號f(t)且是絕對可積的， 那么ROC是整個s平面。性質(zhì)性質(zhì)1 1：在s平面內(nèi)，拉普拉斯變換的收斂域是平行 于j軸的帶狀區(qū)域。性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果信號f(t)的拉普拉斯變換F(s)是有理式， 則ROC內(nèi)不包含任何極點。3.拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì) 信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？性質(zhì)性質(zhì)4 4：如果f(

9、t)是右邊信號，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為最右邊極點的右側(cè)s平面。性質(zhì)性質(zhì)5 5：如果f(t)是左邊信號，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為最左邊極點的左側(cè)s平面。性質(zhì)性質(zhì)6 6：如果f(t)是雙邊信號，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為兩極點間平行于虛軸的帶狀區(qū)域或空集3.拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì) 信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？0,)(cos0,)11(21)(sin)(21)(21)(sin)()(21)(sin2222sstutsjsjsjtuttuejtuejtuttueejtut

10、LTLTtjtjtjtj)(sintut 例：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？2222)()(cos)()(sinasastuteastuteLTatLTat的拉氏變換及求練習(xí))(cos)(sin:tutetuteatat信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例: 如果信號f(t)的拉氏變換為： 以極點為界，可將平面分成三個區(qū)域、。討論不同的ROC及其對應(yīng)的時間信號f(t)。11( )32F sss信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？(1)若收斂域ROC為為區(qū)域，即 2 ，則 32( )( )( )ttf teu te u t(3)若收斂域ROC為為區(qū)域，即-3-2111( )( )2f tF ss， -212( )(

11、 )( )f tf tf t121( )( )( ),33F sF sF ss 解：解：5.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？若若：則則：( )( ),ROC:f tF sR L00()( ), ROC:stcf t teF sRR L2.時移特性時移特性信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？0( )()kf tu tkT()ksTeu tkTs L拉氏變換的線性011( )(1)skTsTskTkF seeess例例：求 的拉普拉斯變換。解：解：1( ),0(1)sTF sse2.時移特性時移特性信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.s域移位特性域移位特性( )( ),ROC:f

12、 tF sR L000sj000( )(),ROC:s tcef tF ssRR L若若： ，且則則：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？4.4.尺度變換特性尺度變換特性( )( ),ROC:f tF sR L1()( ),ROC:csf atFRaRaa L若若：0a ，對則則：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例：設(shè)信號f(t)的拉氏變換為F(s)，收斂域:0。求信號 的拉氏變換，并標明收斂域。3(21)teft0(1)( ),ROC:sf te F s L/201(21)( /2),ROC:22sfteF s L3(3)/201(21)(3)/2,ROC:232tsefteF s L尺度變換特性 s域移

13、位特性 解：解：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.5.共軛特性共軛特性( )( ),ROC:f tF sR L( )(),ROC:cftFsRR L若若:則則:信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？若若:6. 6. 時域卷積特性時域卷積特性1( )( ),ROC:f tF sR L2( )( ),ROC:h tH sR L12( )( )( )( ),ROC:cf th tF s H sRRR L則則:信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例: 已知信號 ， ， 為實數(shù)，計算卷積 。 ( )( )tf te u t( )( )th te u t( )( )( )y tf th t,1)()()(ssFtuetfLTtss

14、HtuethLTt1)()()()11(1)()()()(sssHsFsYtyL,)()(1)(tuetuetytt解：解：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？7. 時域微分特性時域微分特性 ( )( ),ROC:f tF sR L( )( )( ),ROC:cdf tftsF sRRdt L若：若：則：則：) s (s)(FdttfdnLnn?)()()(Latdttdftuetf，問：例：已知assdttdfLT)(信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？思考：思考：?)(Lt?)()(Lntsns信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？8. 8. 時域積分特性時域積分特性( )( ),ROC:f tF sR L1( )( )

15、,ROC:0tcfdF sRRs L若：若：則：則：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？9.s9.s域微分特性域微分特性( )( ),ROC:f tF sR L若：則：( )( ),ROC:cdF stf tRRds L信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？1)(1)(!.nLTatnastuent1)(!)(nLTatnasntuet例：試證明astueLTat1)(證明：2)(1)()(astuetLTt323)(1)(2)(1)2()()(astuetastutetLTatLTt即：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？10. 10. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理: : 如果 是因果信號， 的拉氏變換為 （1）初

16、值定理）初值定理 在原點不含沖激 及其各階導(dǎo)數(shù)，則( )f t( )F s( ) t0(0 )lim( )lim( )stff tsF s（2）終值定理）終值定理 的收斂域包含虛軸，則( )sF s0( )lim( )lim( )tsff tsF s ( )f t( )f t信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例：例： 已知信號 ，利用初值 定理和終值定理求信號的初值和終值。解：解： 滿足初值定理和終值定理適用條件，所以 ( )4( )( ),0atf te u tu ta41( )( ),0f tF ssas( )F s41(0 )lim( )lim5ssfsF sssas0041( )lim( )l

17、im1ssfsF sssas 10. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理: 信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(21 ) 1 (FT思考：思考：）不存在，無公共？ROC(1LT2,21)()2(2stueLTt軸）不包含不存在，？jtueTtROC()(F2信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.5 拉普拉斯逆變換的計算方法拉普拉斯逆變換的計算方法拉普拉斯逆變換研究由F(s)如何得出f(t)，根據(jù)ILT： jjstdsesFtf)(21)(但通常不會用該積分式求解拉氏逆變換，與IFT一樣，通常采用部分分式展開法。 信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？部分分式展開法的基礎(chǔ)：部分分式展開法的基礎(chǔ)： 性質(zhì)中講）(,)(!)

18、(!)(,1)(11aasntuetsntutaastuenFTatnnFTnLTat信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？部分分式展開法：部分分式展開法： 通常，F(xiàn)(S)是一個關(guān)于S的有理函數(shù) ）無重極點）真分式條件：個分式之和一定可以寫出則，個極點，共則有無重極點，無重根，即）若21(n)().()()()(n.)(0() 1 (2121sFpspspssNsFpppsFsDnn假定為真分式,.)()()(01110111bsasasbsbsbsbsDsNsFNNNMMMM信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？寫出其反變換。根據(jù)為待定系數(shù)，ROCpssFkkpskpskpskpsksFipsiiinnii)()(.)(.)()()(2211部分分式展開法：部分分式展開法： 信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？?)(,35210114)(122tfsssssF求其原函數(shù)：例部分分式展開法：部分分式展開法： )()(3)(2)()(521)1(6212)()()1(212)(3524235210114)(2325232321222tuetuettfsssFsksksFssssssssFtt解：信號信號響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？有重極點有重根，即）若)(0()2(sFsD部分分式展開法：部分分式展開法： ?)(,