第5章拉普拉斯變換1

1、信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第5章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？引言引言dtetfFdeFtftftjtj)()()(21)()(，其中分解復(fù)指數(shù)信號(hào)之和：連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅氏變換的本質(zhì)是將一度；可觀察各頻率分量的幅，使計(jì)算簡(jiǎn)單；化成頻域中的乘積運(yùn)算將時(shí)域中的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn))2() 1 (優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？。則傅氏變換不一定存在若信號(hào)不滿足該條件，傅氏變換存在；信號(hào)需絕對(duì)可積，即,)(dttf引言引言局限性：局限性：寬的范圍內(nèi)應(yīng)用。方法使傅氏變換能在更針對(duì)這一局限性，找一信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換的函數(shù)；積

2、分結(jié)果使令表示：用的傅氏變換一定存在，則絕對(duì)可積，即，使選擇是實(shí)的，構(gòu)造一個(gè)新的信號(hào)對(duì)可積）并不知道該信號(hào)是否絕假定有一信號(hào)s),s ()()()()()()()()(,)()()()()(s)(1FdtetfGjsdtetfdteetfdtetgGFtgdttgtgetftgtfttjtjttjt，拉普拉斯變換dtetfFts)() s (信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？jsdeeGtfdeGetftgGtgtjttjtFT令所以所以因?yàn)?)(21)(:,)(21)()(:)()(:5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換根據(jù)傅里葉逆變換：根據(jù)傅里葉逆變換：，拉普拉斯逆變換dseFjtfjjst) s (

3、21)(信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換對(duì)：)()(;)()()()()1(sFLTtftfLTsFsFtfLT，雙邊拉普拉斯逆變換，雙邊拉普拉斯變換dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s表示為：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？：例1的拉氏變換單位沖激信號(hào))(t任意值，解：1)()(dtetsFst5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換1)(LTt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例2 2： 求單邊指數(shù)信號(hào) 和 的拉氏變換， 其中 為復(fù)數(shù)。 0( )s te u t0()s te ut000sj00()0( )( )s ts tstjtF s

4、e u t edte edt00()()0tjteedt 當(dāng) 時(shí)001( )F sss001( )s te u tss L0，5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？同理0000()()( )()s ttjtstF se ut edteedt 001()s te utss L，05.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換時(shí)當(dāng)00s0,1)(stuLT0,1)(stuLT信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？，為傅氏變換；時(shí)，稱為復(fù)頻率值不同，中的兩者的區(qū)別只在于，與傅氏變換思想一致之和的形式，其幅度為號(hào)可將其分解為復(fù)指數(shù)信通過拉氏變換表示信號(hào)jdssFeILTtfsts0ss2)()() 1 (5

5、.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換對(duì)：，雙邊拉普拉斯逆變換，雙邊拉普拉斯變換dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s說明：說明：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？氏變換不存在；在收斂域外，函數(shù)的拉氏變換存在；在收斂域內(nèi)，函數(shù)的拉的收斂域。值的范圍，稱為絕對(duì)可積的使不是任意選取的，表明絕對(duì)可積。，即的選擇需滿足：是有條件的，拉氏變換)()(s)()()() s ()2(ssFetfetfdtetfdtetfFtttt5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換收斂域:記為ROC (region of convergence)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？拉氏變換的ROC，可將其圖示

6、在S平面的復(fù)平面上 收斂域的圖示：收斂域的圖示：5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？拉普拉斯變換F(s) 通?？杀硎緸椋?1101110( )( )( )MMMMNNNb sbsbsbN sF sD ssasa sa極點(diǎn)：極點(diǎn)：使D(s)=0 的根p1，p2 ， ， pN ， 在s平面上用“”表示。2.拉普拉斯變換的零點(diǎn)和極點(diǎn)拉普拉斯變換的零點(diǎn)和極點(diǎn) 5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域零點(diǎn)：零點(diǎn)：使N(s)=0 的根Z1，Z2 ， ， ZM ， 在s平面上用“o”表示。信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？F(s)可用零點(diǎn)和極點(diǎn)表示為：1212()()(

7、)( )( )( )()()()MNszszszN sF sKD sspspsp零極點(diǎn)圖：零極點(diǎn)圖：將F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)標(biāo)注在S平面上，稱為拉氏變換的零極點(diǎn)圖。 5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例：已知信號(hào) 求該信號(hào)的拉氏變換F(s) ，并畫出其零極點(diǎn)圖。 2366( )( )( )()55ttf tteu te ut232366( ) ( )( )()5566( )( )()55ttststtsttstF steu te ut edtt edteu t edte ut edt261112( )1,23523(2)(3)ssF sssss 解：解：

8、5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？零點(diǎn)：極點(diǎn)：在S平面上， 的零極點(diǎn)圖及ROC如下圖所示123,4zz 122,3pp ( )F s5.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？性質(zhì)性質(zhì)3 3：如果信號(hào)是時(shí)限信號(hào)f(t)且是絕對(duì)可積的， 那么ROC是整個(gè)s平面。性質(zhì)性質(zhì)1 1：在s平面內(nèi)，拉普拉斯變換的收斂域是平行 于j軸的帶狀區(qū)域。性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)是有理式， 則ROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)。3.拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì) 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？性質(zhì)性質(zhì)4 4：如果f(

9、t)是右邊信號(hào)，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為最右邊極點(diǎn)的右側(cè)s平面。性質(zhì)性質(zhì)5 5：如果f(t)是左邊信號(hào)，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為最左邊極點(diǎn)的左側(cè)s平面。性質(zhì)性質(zhì)6 6：如果f(t)是雙邊信號(hào)，且f(t)的拉氏變換F(s)為有理分式，則F(s)的ROC為兩極點(diǎn)間平行于虛軸的帶狀區(qū)域或空集3.拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì) 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？0,)(cos0,)11(21)(sin)(21)(21)(sin)()(21)(sin2222sstutsjsjsjtuttuejtuejtuttueejtut

10、LTLTtjtjtjtj)(sintut 例：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？2222)()(cos)()(sinasastuteastuteLTatLTat的拉氏變換及求練習(xí))(cos)(sin:tutetuteatat信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例: 如果信號(hào)f(t)的拉氏變換為： 以極點(diǎn)為界，可將平面分成三個(gè)區(qū)域、。討論不同的ROC及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)f(t)。11( )32F sss信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？(1)若收斂域ROC為為區(qū)域，即 2 ，則 32( )( )( )ttf teu te u t(3)若收斂域ROC為為區(qū)域，即-3-2111( )( )2f tF ss， -212( )(

11、 )( )f tf tf t121( )( )( ),33F sF sF ss 解：解：5.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？若若：則則：( )( ),ROC:f tF sR L00()( ), ROC:stcf t teF sRR L2.時(shí)移特性時(shí)移特性信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？0( )()kf tu tkT()ksTeu tkTs L拉氏變換的線性011( )(1)skTsTskTkF seeess例例：求 的拉普拉斯變換。解：解：1( ),0(1)sTF sse2.時(shí)移特性時(shí)移特性信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.s域移位特性域移位特性( )( ),ROC:f

12、 tF sR L000sj000( )(),ROC:s tcef tF ssRR L若若： ，且則則：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？4.4.尺度變換特性尺度變換特性( )( ),ROC:f tF sR L1()( ),ROC:csf atFRaRaa L若若：0a ，對(duì)則則：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例：設(shè)信號(hào)f(t)的拉氏變換為F(s)，收斂域:0。求信號(hào) 的拉氏變換，并標(biāo)明收斂域。3(21)teft0(1)( ),ROC:sf te F s L/201(21)( /2),ROC:22sfteF s L3(3)/201(21)(3)/2,ROC:232tsefteF s L尺度變換特性 s域移

13、位特性 解：解：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.5.共軛特性共軛特性( )( ),ROC:f tF sR L( )(),ROC:cftFsRR L若若:則則:信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？若若:6. 6. 時(shí)域卷積特性時(shí)域卷積特性1( )( ),ROC:f tF sR L2( )( ),ROC:h tH sR L12( )( )( )( ),ROC:cf th tF s H sRRR L則則:信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例: 已知信號(hào) ， ， 為實(shí)數(shù)，計(jì)算卷積 。 ( )( )tf te u t( )( )th te u t( )( )( )y tf th t,1)()()(ssFtuetfLTtss

14、HtuethLTt1)()()()11(1)()()()(sssHsFsYtyL,)()(1)(tuetuetytt解：解：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？7. 時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性 ( )( ),ROC:f tF sR L( )( )( ),ROC:cdf tftsF sRRdt L若：若：則：則：) s (s)(FdttfdnLnn?)()()(Latdttdftuetf，問：例：已知assdttdfLT)(信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？思考：思考：?)(Lt?)()(Lntsns信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？8. 8. 時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性( )( ),ROC:f tF sR L1( )( )

15、,ROC:0tcfdF sRRs L若：若：則：則：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？9.s9.s域微分特性域微分特性( )( ),ROC:f tF sR L若：則：( )( ),ROC:cdF stf tRRds L信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？1)(1)(!.nLTatnastuent1)(!)(nLTatnasntuet例：試證明astueLTat1)(證明：2)(1)()(astuetLTt323)(1)(2)(1)2()()(astuetastutetLTatLTt即：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？10. 10. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理: : 如果 是因果信號(hào)， 的拉氏變換為 （1）初

16、值定理）初值定理 在原點(diǎn)不含沖激 及其各階導(dǎo)數(shù)，則( )f t( )F s( ) t0(0 )lim( )lim( )stff tsF s（2）終值定理）終值定理 的收斂域包含虛軸，則( )sF s0( )lim( )lim( )tsff tsF s ( )f t( )f t信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例：例： 已知信號(hào) ，利用初值 定理和終值定理求信號(hào)的初值和終值。解：解： 滿足初值定理和終值定理適用條件，所以 ( )4( )( ),0atf te u tu ta41( )( ),0f tF ssas( )F s41(0 )lim( )lim5ssfsF sssas0041( )lim( )l

17、im1ssfsF sssas 10. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理: 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(21 ) 1 (FT思考：思考：）不存在，無公共？ROC(1LT2,21)()2(2stueLTt軸）不包含不存在，？jtueTtROC()(F2信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.5 拉普拉斯逆變換的計(jì)算方法拉普拉斯逆變換的計(jì)算方法拉普拉斯逆變換研究由F(s)如何得出f(t)，根據(jù)ILT： jjstdsesFtf)(21)(但通常不會(huì)用該積分式求解拉氏逆變換，與IFT一樣，通常采用部分分式展開法。 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？部分分式展開法的基礎(chǔ)：部分分式展開法的基礎(chǔ)： 性質(zhì)中講）(,)(!)

18、(!)(,1)(11aasntuetsntutaastuenFTatnnFTnLTat信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？部分分式展開法：部分分式展開法： 通常，F(xiàn)(S)是一個(gè)關(guān)于S的有理函數(shù) ）無重極點(diǎn)）真分式條件：個(gè)分式之和一定可以寫出則，個(gè)極點(diǎn)，共則有無重極點(diǎn)，無重根，即）若21(n)().()()()(n.)(0() 1 (2121sFpspspssNsFpppsFsDnn假定為真分式,.)()()(01110111bsasasbsbsbsbsDsNsFNNNMMMM信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？寫出其反變換。根據(jù)為待定系數(shù)，ROCpssFkkpskpskpskpsksFipsiiinnii)()(.)(.)()()(2211部分分式展開法：部分分式展開法： 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？?)(,35210114)(122tfsssssF求其原函數(shù)：例部分分式展開法：部分分式展開法： )()(3)(2)()(521)1(6212)()()1(212)(3524235210114)(2325232321222tuetuettfsssFsksksFssssssssFtt解：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？有重極點(diǎn)有重根，即）若)(0()2(sFsD部分分式展開法：部分分式展開法： ?)(,