離散系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)及狀態(tài)方程-zhj-Concise

1、 第第5 5章章 離散時(shí)間系統(tǒng)的相位、離散時(shí)間系統(tǒng)的相位、結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量描述結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量描述第5章 離散時(shí)間系統(tǒng)的相位、 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量描述5.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；5.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位；系統(tǒng)的線性相位；5.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點(diǎn)分布；具有線性相位系統(tǒng)的零點(diǎn)分布；5.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)；全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)；5.5 譜分解；譜分解；5.6 FIR 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；5.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的 Lattice 結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)；5.8 狀態(tài)變量狀態(tài)變量5.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)()()()jjjH eH ee 幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)

2、() :( ):jH e 如果：( )k 我們稱其為線性相位。若：也稱線性相位() k+ b()()()()()xjjjjkjY eH eX eX ee()1jH e對輸入 ，有( )x n假定：所以：( )()y nx nk輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于 因此不會(huì)發(fā)生失真。k( )k 例：令100( )cos()cos(2()y nnknk+則：沒有發(fā)生相位失真00( )cos()cos(2)x nnn+()jjkH ee具有線性相位例：令若：200( )cos(/4)cos(2)y nnn+則：發(fā)生了相位失真00( )cos()cos(2)x nnn+()()jjH ee 00/4

3、03/2( )3/2 -1001020-202-1001020-202-1001020-202( )x n1( )y n2( )y n如果令：0( )cos()x nAn+0()1jAHe再令：00000( )cos()cos()y nnn +則：000( )() cos()jy nA H en +則：()()()jjjH eH ee 由于：00000( )cos()cos()y nnn +( )( )p 定義：如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生失真。 ( )( )gdd 定義：為系統(tǒng)的群延遲(Group Delay, GD)為系統(tǒng)

4、的相位延遲(Phase Delay, PD)顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數(shù)。若：可證：0000( )()()cos()jagpy nH ex nn即：相位延遲 反映了載波信號的延遲， 而群延遲 反映了輸出包絡(luò)的延遲。 0()p0()g思考：如何實(shí)現(xiàn)對信號的零相位濾波？若 要保證系統(tǒng)是因果的，又如何實(shí)現(xiàn)？窄帶信號窄帶信號00( )( )cos(),( ):Narrowband Signalacx nx nnx n低頻成分調(diào)制分量(載波信號)5.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位 在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實(shí)現(xiàn)線性相位？對 FIR 系統(tǒng)，如果保證：( )(1

5、)0,1,1h nh NnnN 則該系統(tǒng)具有線性相位。( )(1)h nh Nn :even:oddNN上述對稱有四種情況：第一類 FIR 系統(tǒng)偶對稱( )h n( )(1)h nh Nn :even:oddNN奇對稱( )h n第二類 FIR 系統(tǒng)1. 為奇數(shù)N10()( )Njj nnH eh n e1(3) 2120(1)/21( )( )2NNNjj nj nnnNNh n eh n ehe+1mNn 令：并利用 的對稱性，有()jH e(3) 2(3) 2(1)00()( )(1)NNjj nj NmnmH eh n eh Nm e + 1212NjNhe+第一類 FIR 系統(tǒng)(3)

6、 2(1)/20112( )cos22Nj NmNNeh mmh+()jH e(1) 2nNm令：102( )121,2,(1) 22Nhna nNhnnN 令：(1) 2(1)/21112cos()22Nj NnNNehnnh+()jH e實(shí)數(shù)(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nn最后有：(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa nn 相位增益 所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。2(1)/211()2cos22Njj NnNH eehnn2. 為偶數(shù)N( )2 (),1,2,22NNb nhnn令：2(1)/211

7、()( )cos() 2Njj NnH eeb nn則：( )(1)h nh Nn ( )(1)h nh Nn 第二類 FIR 系統(tǒng)：3. 為奇數(shù)N1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn1( )21,2,(1) 22Nc nhnnN( )(1)/2/2N +4. 為偶數(shù)N122211()( )sin2NNjjnH eed nn( )21,2,22Nd nhnnN( )(1)/2/2N +(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nn2(1)/211()( )cos() 2Njj NnH eeb nnN為奇數(shù)N為偶數(shù) 的線性組合，在 時(shí)， 易取得

8、最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可體現(xiàn)高通、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的波器的 都是偶對稱的都是偶對稱的。0()jH e( )h n說明： 第一類 FIR 系統(tǒng)是cos()n 的線性組合，在 時(shí)， 的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如 Hilbert變換器、差分器等。0()jH e第二類 FIR 系統(tǒng)是sin()n 最好取為奇數(shù)，以便以中心點(diǎn)為對稱。N思考 四類濾波器的對稱點(diǎn)在何處1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn122211()( )sin2

9、NNjjnH eed nnN為奇數(shù)N為偶數(shù)5.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點(diǎn)分布1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z ( )H z1()H z所以， 的零點(diǎn)也是 的零點(diǎn), 反之亦然1mNn 令：1(1)0( )NNnnzh n z 則：1(1)0( )( )NNmmH zh m z+ (1)1()NzH z ( )H z 的零點(diǎn)分布: 零點(diǎn)分布可能有四種情況：1. 不在實(shí)軸也不在圓上，應(yīng)是一對共軛零點(diǎn)，模1;2. 不在實(shí)軸，但在圓上，也是一對共軛零點(diǎn)；模1；3. 在實(shí)軸但不在圓上，無共軛，角度0， 模1;4. 在實(shí)軸，但在圓上，無共軛，角度0， 模1;( )H z .

10、0, ,1kkar()()1111( )111111kkkkjjkkkjjkkHzz r ez r ezezerr四個(gè)零點(diǎn)同時(shí)存在, 構(gòu)成四階系統(tǒng).kz在單位圓內(nèi)把該式展開，其系數(shù)也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。.0, ,1,.kkkbrz在實(shí)軸上()111( )11mkkHzz rzr無共軛零點(diǎn), 有鏡象零點(diǎn)()()11( )11kkjjlH zz ez e.0, ,1,.kkkcrz在單位圓上無鏡象對稱零點(diǎn), 有共軛零點(diǎn).kmlnnlmkzHzHzHzHzH)()()()()(一個(gè)具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類 FIR 子系統(tǒng)的級聯(lián)，即：很容易證明，每一個(gè)子系

11、統(tǒng)的系數(shù)都是對稱的，因此它們都具有線性相位。.0, ,11,1kkkdrz)1 ()(1zzHn無鏡象零點(diǎn), 也無共軛零點(diǎn).5.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng) 如果一個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對所有的頻率都等于1 (或一個(gè)常數(shù)), 即1| )(|japeH|0則稱系統(tǒng) 為全通系統(tǒng)。)(zHap( )kapHzz最簡單的全通系統(tǒng)，純延遲全通系統(tǒng)1111( )11apzHzz一階全通系統(tǒng)：Pole:,Zero:1zz鏡像對稱212( )( )()apapapHzHz Hz22()()()jjjapapapHeHeHe二階全通系統(tǒng)： 111111(1)(1 ()( )(1)(1)apzzHzzz一對位于單位圓內(nèi)的

12、共軛極點(diǎn)，一對共軛零點(diǎn)和極點(diǎn)以單位圓為鏡像對稱 。111( )11NkapkkkzHzz 高階全通系統(tǒng)：高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：1(1)111212( )1NNNNapNNaaza zzHza za za z+ +1()( )( )NapzA zHzA z 即：2*()()()1jjjapapapHeHeHe對該全通系統(tǒng)，請自己證明： 1 . 是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）； 2. 極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)相等； 3. 極點(diǎn)和零點(diǎn)是以單位圓鏡像對稱的； 4. 極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),零點(diǎn)都在單位圓外； 5. 全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。全通系統(tǒng)的特點(diǎn)：IIR系統(tǒng)的 無限長，無法對稱，即無法作到線性相位

13、。在實(shí)際中，可以用一個(gè)全通系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)相級聯(lián)，在不改變幅頻響應(yīng)的情況下對相頻響應(yīng)做矯正，使其接近線性相位。( )h n全通系統(tǒng)的應(yīng)用：全通系統(tǒng)還廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)分析及一些特殊濾波器的設(shè)計(jì)方面（如功率互補(bǔ)IIR濾波器組）-101-1-0.500.51(a)00.20.400.511.5(b)00.20.4-4-3-2-10(c)05101520-0.500.51(d) 一階全通系統(tǒng)極零圖幅頻相頻抽樣響應(yīng)-101-1-0.500.51(a)00.20.400.51(b)00.20.4-8-6-4-20(c)0102030-0.500.51(d) 三階全通系統(tǒng) 一個(gè)離散系統(tǒng)，其極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，

14、但對零點(diǎn)沒有限制，如果：1. 所有的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)： 最小相位系統(tǒng)；2. 所有的零點(diǎn)都在單位圓外： 最大相位系統(tǒng)；3. 單位圓內(nèi)、外都有零點(diǎn) ： 混合相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)1. 在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器 集合中, 最小相位濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例：作為作業(yè)，請證明如下兩個(gè)系統(tǒng)具有相同 的幅頻響應(yīng)：1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz哪一個(gè)是最小相位系統(tǒng)1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz00.20.4024(a)00.20.4-1.

15、501.53(b)0510152000.20.40.60.81(c)05101520-1-0.500.51(d)幅頻相頻( )( )12HH121h2h2. 在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中, 最 小相位系統(tǒng)的 具有最小的延遲；( )h n令：20()( )0MnE Mh nM 累計(jì)能量有：22min00( )( )MMnnhnh n所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)又稱最小延遲序列。思考： 具有線性相位的FIR系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng)？/31 2/31 212/31/31/31/3122/31 2/31 232(1 0.5) (1 0.5)( )1 0.81(1 0.5)(1 0.5)(0.5

16、)(0.5)( )1 0.81(0.5) (0.5)( )1 0.81jjjjjjjjezezH zzezezezezHzzezezHzz例. 三個(gè)系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個(gè)是最小相位系統(tǒng)？最大相位系統(tǒng)？混合相位系統(tǒng)？請注意：為保證系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)（相同的定標(biāo)）， 的表達(dá)式。123( ),( ),( )H zHzHz-101-101222-202-1012-202-10122200.250.50102000.250.5-20-1001001020-20201020-202010202E3E123HHH極零圖極零圖H1H2H3沖擊沖

17、擊響應(yīng)響應(yīng)h1(n)h2(n)h3(n)幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)累計(jì)能量曲線累計(jì)能量曲線)(arg| )(|)(zHjezHzH( )ln( )ln |( )|arg( )H zH zH zjH z+3. 設(shè) 為最小相位系統(tǒng)( )H z令：構(gòu)成一對Hilbert變換)(jReH)(jIeH+deHeHdeHheHjRjIjjR)2cot()(21)()2cot()(21)0()(1則：和( )()( )jH zH eh n、復(fù)倒譜：Cepstrum4. 對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位 系統(tǒng)時(shí), 該系統(tǒng)才有逆系統(tǒng) （Inverse System)。 令：( )( )( )N zH

18、 zD z記：INV1( )( )( )( )D zHzH zN z 的逆系統(tǒng)( )H z( )H zINV( )Hz( )y n( )x n( )x nDeconvolution(反卷積）System identification(系統(tǒng)辨識(shí)）5. 任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng) 級聯(lián)而成, 即：)()()(minzHzHzHap由于最小相位系統(tǒng)有著以上特殊的性質(zhì)，因此有著廣泛的應(yīng)用，特別是在信號的建模與系統(tǒng)辨識(shí)方面。要理解，具有相同幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)，它們所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可以是不相同的，區(qū)別就在于相位（或零點(diǎn)的位置）。5 譜分解（Spectral fact

19、orization）將一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)的極零點(diǎn)重新分配，得到兩個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)作分解，并且往往是分解成兩個(gè)具有相同幅頻響應(yīng)的子系統(tǒng)。什么是譜分解什么是譜分解?若已知一個(gè)線性相位系統(tǒng),能否由該系統(tǒng)得到一個(gè)最小相位系統(tǒng)，或最大相位系統(tǒng)，或混合系統(tǒng)問題提出問題提出 1( )( )()P zH z H z令該系統(tǒng)是線性相位顯然P(Z)的零點(diǎn)是以單位圓為鏡像對稱的,如果它有復(fù)零點(diǎn),那么它的零點(diǎn)又是共軛對稱的,根據(jù)線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)分布的特點(diǎn),P(Z)一定具有線性相位或零相位注意： 并不是每一個(gè)具有線性相位的系統(tǒng)，都可以進(jìn)行以上分解。完成以上

20、分解的條件完成以上分解的條件1 P(z)在單位圓上沒有零點(diǎn)。2 如果P(z)在單位圓上有零點(diǎn)，但這些零 點(diǎn)必須是偶數(shù)倍的重零點(diǎn) 。譜分解有些時(shí)候可以按照以下方式譜分解有些時(shí)候可以按照以下方式：)()()(10zHzHzP其中H0和H1的零點(diǎn)不再互為鏡像對稱，因此二者的幅頻響應(yīng)也不會(huì)相同因此，只要因此，只要P(z)P(z)是線性相位系統(tǒng)就可以是線性相位系統(tǒng)就可以按照以上辦法進(jìn)行譜分解：按照以上辦法進(jìn)行譜分解： 若將單位圓內(nèi)的零點(diǎn)賦給若將單位圓內(nèi)的零點(diǎn)賦給H H0 0, ,那么那么H0是是最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)， H1是最大相位系統(tǒng)。是最大相位系統(tǒng)。 如果如果H0是混合系統(tǒng)，是混合系統(tǒng)， H1

21、也是混合系統(tǒng)也是混合系統(tǒng)( )p n=1.0000 ，4.0500，8.1000 ，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000例. 令顯然，該系統(tǒng)具有線性相位，共有12個(gè)零點(diǎn)：0.8,1/0.8,0.6,1/0.6,2/32/3/3/3,0.6,/0.6jjjjeeee102( )121,2,(1) 22Nhna nNhnnN (1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHann0510020406000.250.500.51-2-101-101221200.250.500

22、.510510012-101-101600.250.500.510510051015-2-101-1016( )P z( )H z1()H z 上圖是對 作譜分解的結(jié)果，可以看出，分解后的兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)。( )P z 譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統(tǒng)，這在信號建模、特殊濾波器的設(shè)計(jì)中經(jīng)常要用到。分解的一般方法是： 令一個(gè)系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)； 則另一個(gè)系統(tǒng)必然是最大相位系統(tǒng)。這樣，兩個(gè)系統(tǒng)都有著相同的幅頻響應(yīng)。 另外一種分解方法是得到兩個(gè)混合系統(tǒng)，目的是保證它們都具有線性相位。5.6 FIR 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實(shí)現(xiàn):12012( )( )MMY zX z bb zb zb

23、z+0( )MnnnH zb z一、 直接實(shí)現(xiàn)和級聯(lián)實(shí)現(xiàn)級聯(lián)實(shí)現(xiàn):+LkkkkzzzH122110)()(bbb0( )MnnnH zb zM是偶數(shù) L=M/2 ； M奇數(shù) L=（m-1）/2 個(gè)二階系統(tǒng) 和一個(gè)一階系統(tǒng)( )(1)h nh Nn :oddM:evenM乘法量減少一半二、 具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1/0( )Nh n 其它1, 1 , 0 Nn11011 1( )1NNnnzH zzNNzFIR 系統(tǒng)該系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)N點(diǎn)平均器。11001( )() ( )()NNkky nx nk h kx nkNIIR系統(tǒng)三、 FIR系統(tǒng)的遞歸實(shí)現(xiàn)及梳狀濾波器該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和

24、一個(gè)一階IIR系統(tǒng)級聯(lián)而成，極零點(diǎn)抵消后，仍是一FIR系統(tǒng)。12111( ),( )1NzH zHzNz令令I(lǐng)IR 實(shí)現(xiàn)11 1( )1NzH zNz211101( )(1),NjkNkH zezN/21sin(2)()2jj NNH ej eN211101( )(1),NjkNkH zezN/21sin(2)()2jj NNH ej eN梳狀濾波器N點(diǎn)平均器1100( )( ),( )( )NNnknNnnH zh n zH kh n W10121)(1NkkjNzekHNzN思路：用DFT系數(shù) 表示系統(tǒng)函數(shù)( )H k( )H z四、 頻率抽樣實(shí)現(xiàn)211001101( )( )11( )1

25、NNNnknNnkNNjknH zH k WzNzH kNezK=0令：11( )NzH zN1, 221)()(zekHzHkjkN梳狀濾波器N個(gè)一階IIR系統(tǒng))()()(10, 21zHzHzHNkk則：21101( )( )1NNNjkkzH kH zNez可按上述級聯(lián)方式得到系統(tǒng)的信號流圖：該結(jié)構(gòu)一方面反映了 Z 變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另一方面，給出了FIR 濾波器設(shè)計(jì)的一種有效方法。5.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的 Lattice 結(jié)構(gòu)Lattice 結(jié)構(gòu)又稱“格形”結(jié)構(gòu)，是一種非常新穎、有特色的結(jié)構(gòu)，在基于模型的功率譜估計(jì)、語音信號處理、自適應(yīng)濾波方面有著重要的應(yīng)用。對一個(gè)FIR

26、系統(tǒng)，其Lattice 結(jié)構(gòu)是：)(1npm)(1nqm1zmkmk)(npm)(nqm) 1()()(11nqknpnpmmmm11( )( )(1)mmmmqnk pnqn +mk反射系數(shù)Lattice 結(jié)構(gòu)的基本單元1. 全零點(diǎn)系統(tǒng)(FIR)的Lattice結(jié)構(gòu)111111( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmP zPzk z QzQzk Pzz Qz +如何實(shí)現(xiàn)濾波器系數(shù)和 的相互轉(zhuǎn)換mk)()(1)()(1111zQzPzkzkzQzPmmmmmm( )010( )( ) /( )1( )( ) /( )miimmmimmBzPzP zbzBzQzQz+定義：MmMm,

27、 2 , 1, 2 , 1 00( )( )P zQzLattice結(jié)構(gòu)中的基本關(guān)系Bm(z),Bm(z)分別是由輸入端分別是由輸入端x(m)至第至第m個(gè)單元后所對應(yīng)個(gè)單元后所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。的轉(zhuǎn)移函數(shù)。Bm(z),對應(yīng)上端輸出，對應(yīng)上端輸出，Bm(z)對應(yīng)下端輸出。對應(yīng)下端輸出。當(dāng)當(dāng)m=M時(shí)時(shí)Bm(z)=B(z)%：是Lattice 結(jié)構(gòu)中第 m 個(gè)上、下結(jié)點(diǎn)相對輸入端的轉(zhuǎn)移函數(shù)。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz +11111( )( )( )( )mmmmmmk zBzBzBzBzkz 1211( )( )/(1)( )( )mmmmmmmkBzBz

28、kBzBzzkz得到由低階到高階，或由高到低的遞推關(guān)系。Bm(z), Bm(z)-()( )( )()11()( )( )()21/(1)mmmiim immmmmmmiim immmmmbkbbk bkbbbk bk +得到時(shí)域遞推關(guān)系：低到高階高到低階給定b就可以求出k。MATLAB中有相應(yīng)的 m 文件。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz +例：123( )( )1 1.71.50.648H zB zzzz +(1)(2)(3)3331.7,1.5,0.648bbb (3)330.648kb (1)(1)(2)2233 33(2)(2)(1)2233

29、33/(1)1.221453/(1)0.738498bbk bkbbk bk+ +122( )1 1.2214530.738498B zzz +(2)220.738498kb (1)(1)(1)212222/(1)0.70259bbk bk+ 11( )1 0.70259B zz (1)110.70259kb 111( )( )1MkkkH zA za z+看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2. 全極點(diǎn)系統(tǒng)(IIR)的Lattice結(jié)構(gòu)11( )( )(1)mmmmpnpnk qn+11( )( )(1)mmmmqnk pnqn +mkmk)(npm)(nqm1z)(1npm)(1nqm( )1( )

30、1,( )( )( )( )mmmmY zY zP zAzQzAz( )1( )11( )( )( )1MiiMMMiY zH zPzAza z+的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法, 只是將多項(xiàng)式的系數(shù) 換成 . Mkkk,21 Mmmiaim, 2 , 1, 2 , 1,)( )(ima系數(shù)系數(shù)及及( ) imb注意：在遞推求解的過程中，反射系數(shù)1,1,2,mkkM有關(guān)反射系數(shù)的更多討論見第12章信號建模。01( )( )( )1NkkrNkkkb zB zH zA za z+3. 極零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)上半部對應(yīng)全極系統(tǒng)下半部對應(yīng)全零系統(tǒng)下半部對應(yīng)全

31、零系統(tǒng)12,Nk kkNk, 1 , 0 兩組Lattice系數(shù)1201,NNk kkc cc1/( )( )A zB z求出同全極系統(tǒng)；()1Nm kkkmmm kcbc a +遞推求解5.8 離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉(zhuǎn)移函數(shù)、線性卷積1. 線性移不變(LSI)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程01( )( )( )1NrrrNkkkb zB zH zA za z+01( )( )1MrrrNkkkb zY zX za z+11( )( )1NkkkV zX za z+0( )( )MrrrY zV zb z1( )()( )Nkkv na v nkx n +0( )()Mkky nb

32、v nk轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系1. “狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量, 它包含了系統(tǒng)全部 過去的信息, 由這一組變量和現(xiàn)在與將來的 輸入，可求出現(xiàn)系統(tǒng)現(xiàn)在和將來的全部輸出；2. 可用于分析多輸入、多輸出系統(tǒng)；如何選擇狀態(tài)變量？有著不同的方法。方法之一是選擇( ), (1), ()v n v nv nN作為系統(tǒng)的狀態(tài)。12( )(1)( )(2)( )()Nw nv nw nv nwnv nN定義一組新的變量相互關(guān)系21321(1)( )(1)( )(1)( )NNw nw nw nw nwnwn+111(1)( )( )( )( )NNw nv na w na wnx n+ +121112

33、233(1)( )1(1)( )10000(1)0100( )0( )00100(1)( )NNNNaaaaw nw nw nw nw nw nx nwnwn+ + + + 狀態(tài)方程1( )()( )Nkkv na v nkx n +01011( )( )(1)()( )( )( )MMMy nb v nbv nb v nMb v nbw nb wn+0( )( )MrrrY zV zb z121,230( )( )( ),( )( )( )NNw nw ny nc ccw nb x nwn+1101220201010,MMMMMNNcbb acbb acbb acb acb a+ 輸出方程(

34、1)( )( )( )( )( )nnnnnn+wAwBxyCwDx)(nxBD) 1( +nw1z)(nwC)(nyA上述內(nèi)容討論了如何由差分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程。當(dāng)然，反過來也可以。(1)( )( )( )( )( )nnnnnx n+wAwBxyCwD兩邊取兩邊取Z變換：變換：( )( )( )( )( )( )zzzzzzz+WAWBXYCWDX)()()()(1zBXAzIzWzBXzWAzI)()()(1zDXzBXAzICzY+DBAzICzXzYzH+1)(/ )()(2.由狀態(tài)方程求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù))()()()()() 1(nDxnCwnynBxnAwnw+) 3() 3()2

35、()2()2() 1() 1() 1()(+nBxnAwnwnBxnAwnwnBxnAwnw2( )(2)(2)(1)w nA w nABx nBx n+) 1()2() 3() 3(23+nBxnABxnBxAnwA0nn前某時(shí)刻+00110)()()(nnllnnlnBxAnwAnw狀態(tài)方程輸出方程3.由狀態(tài)方程求輸出及單位抽樣響應(yīng)+11)()()(llnDxlnBxCAny0)()()()()(llnxlhnhnxny抽樣響應(yīng)為：)(nhBCADn 10000nnn零輸入解)()(00nwCAnynnoi零狀態(tài)解+011)()()(nnllosnDxlnBxACny+00110)()()()(nnllnnnDxlnBxACnWCAny（在特定情況下，見（在特定情況下，見p251）例 對系統(tǒng)，當(dāng) 時(shí)， 即是系統(tǒng)的