大學(xué)物理：第2章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)c功和能(完全版1)

1、11.功功 若質(zhì)點(diǎn)在恒力若質(zhì)點(diǎn)在恒力F作用下沿直線運(yùn)動，作用下沿直線運(yùn)動， 位移為位移為S, 則力則力F作的功為作的功為 從從a到到b，力力f 的總功的總功: 位移元位移元dr上的上的元功元功為為 cosFSSFA 若質(zhì)點(diǎn)受變力若質(zhì)點(diǎn)受變力f 作用作用, 沿一曲線沿一曲線L從從a到到b,abfLdr bardfAbafdscosdsrdrdfdAcosrdfcosfds2.3 力的空間累積力的空間累積功功一一. 功功 質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理力與力作用點(diǎn)位移的空間累積力與力作用點(diǎn)位移的空間累積22.力的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng):質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理hm 質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理說明說明

2、:合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。點(diǎn)動能的增量。 dtdAP 功率功率 例：例： 重力對重力對m的功的功: 地面參考系：地面參考系： A=mgh 物體物體m參考系：參考系： A=0222121obammrdfA dA=f.dr cosff (1)功是標(biāo)量功是標(biāo)量,且有正負(fù)。且有正負(fù)。(2)功是相對量功是相對量,其大小隨所選參考系的其大小隨所選參考系的不同而不同。不同而不同。3 (3)在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中 功是沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道進(jìn)行積分計算的。一般地說功是沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道進(jìn)行積分計算的。一般地說,功的值既與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的始末位置有關(guān)功的值既與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的始末位置有關(guān)

3、,也與運(yùn)動路徑也與運(yùn)動路徑的形狀有關(guān)。的形狀有關(guān)。 (4)應(yīng)當(dāng)明白應(yīng)當(dāng)明白,動能定理只在慣性系中成立動能定理只在慣性系中成立,相應(yīng)的功相應(yīng)的功也只能在同一慣性系中計算。也只能在同一慣性系中計算。 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：學(xué)習(xí)要點(diǎn)：變力的功。變力的功。 babazybaxbadzfdyfdxfrdfA,kfjfiffzyx kdzjdyidxrd 4 例題例題 今有一倔強(qiáng)系數(shù)為今有一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置，的輕彈簧，豎直放置，下端連接一質(zhì)量為下端連接一質(zhì)量為m的物體，開始時使彈簧為原長的物體，開始時使彈簧為原長而物體而物體m恰好與地面接觸。今將彈簧上端緩慢地提恰好與地面接觸。今將彈簧上端緩慢地提起，直

4、到物體起，直到物體m剛能脫離地面時止，求此過程中外剛能脫離地面時止，求此過程中外力作的功。力作的功。 解解 將彈簧上端緩慢地提起的過程中，將彈簧上端緩慢地提起的過程中，需要用多大的外力？需要用多大的外力？ x(原長)xomF 外力外力: F=kx ，這是一個變力。，這是一個變力。 物體物體m脫離地面的條件是什么？脫離地面的條件是什么？ kxo mg baxdxfAk)mg(dxkxx2200 所以外力作的功為所以外力作的功為5完成積分得：完成積分得： = 10(m/s) 。 解解 22100212152ommdx)x( 因力是坐標(biāo)的函數(shù)，應(yīng)用動能定理因力是坐標(biāo)的函數(shù)，應(yīng)用動能定理 例題例題2

5、質(zhì)量質(zhì)量m=4kg的物體在力的物體在力F=(2x+5)i (SI)的作的作用下用下, 沿沿x軸作直線運(yùn)動軸作直線運(yùn)動, 初速初速 o =5i (m/s); 求物體從求物體從x=0到到x=10(m)時的速度。時的速度。 A222121omm baxdxf6)ba(mdyFdxFAabyx 0022221 解解 因因: x=acos t, y=bsin t 當(dāng)當(dāng)t=0時，時，x=a, y=0; 當(dāng)當(dāng)t= /(2 )時，時，x=0, y=b。 合外力的功為合外力的功為合外力合外力:=-m 2(xi+yj )rmmaF2 例題例題 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上運(yùn)動，其位平面上運(yùn)動，其

6、位置矢量為置矢量為 (SI),式中式中a、b、 是正值常數(shù)，且是正值常數(shù)，且ab。求：。求：t=0到到t= /(2 )時間內(nèi)合外時間內(nèi)合外力的功及分力力的功及分力Fx、Fy的功。的功。 tjbtiarsincos baybaxdyfdxfA分力：分力：Fx=-m 2x, Fy=-m 2y7 分力分力Fx、Fy的功為的功為 )ba(mAAAyx22221 22021amdxFAaxx 22021bmdyFAbyy (1)顯然合外力的功等于分力的功之和：顯然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由動能定理直接求出。合外力的功也可由動能定理直接求出。 j tsinbi tcosar j

7、tcosbi tsinadtrd Fx=-m 2x Fy=-m 2y8)ba(mmmA222202212121 由動能定理得合外力的功為由動能定理得合外力的功為當(dāng)當(dāng)t=0時，時， o= b j , 大小大小: o= b; j tcosbi tsinadtrd 當(dāng)當(dāng)t= /(2 )時時, =- a i , 大小大小 = a 。9 例題例題 在在光滑的水平桌面上光滑的水平桌面上，平放著如圖所示的固，平放著如圖所示的固定的半圓形屏障。質(zhì)量為定的半圓形屏障。質(zhì)量為m的滑塊以初速度的滑塊以初速度 0沿切線沿切線方向進(jìn)入屏障內(nèi)，滑塊和屏障間的摩擦系數(shù)為方向進(jìn)入屏障內(nèi)，滑塊和屏障間的摩擦系數(shù)為。求。求滑塊滑

8、過屏障的過程中，摩擦力的功?；瑝K滑過屏障的過程中，摩擦力的功。 解解 滑塊在水平面內(nèi)受兩個力的作用：摩擦力滑塊在水平面內(nèi)受兩個力的作用：摩擦力fr、屏障給它的支持力屏障給它的支持力N, 如圖所示。如圖所示。 法向：法向： (1) RmN2 dtdmN 切向：切向： (2) 將式將式(1)代入式代入式(2), 有有在自然坐標(biāo)系中，在自然坐標(biāo)系中，o 0 Nfr10化簡后得：化簡后得：d = - d dtdR 2 由于支持力由于支持力N不作功，不作功， 由動能定由動能定理得摩擦力的功為理得摩擦力的功為)e(mo12122 222121ommA RmN2 dtdmN ddRdtddd o 0圖3-3

9、 Nfr e,o o 0 d d 11 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m沿曲線沿曲線L從從a到到b(高度分別為高度分別為ha 和和hb )，重力，重力對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)m作的功為作的功為 abA 重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始末重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的實(shí)而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的實(shí)際路徑形狀無關(guān)。際路徑形狀無關(guān)。CLabmghbhaoyx圖3-4bamghmgh bahhdymg 二二.保守力場中的勢能保守力場中的勢能1.保守保守力作功的特點(diǎn)力作功的特點(diǎn)重力的功重力的功 12 小球由小球由a到到b的過程中，彈性力所作的功為的過程中，彈性力所作的功為 baxabdxFA 由此可見，由此可見，彈性力的功彈性力的功

10、和重力的功一樣，只與運(yùn)和重力的功一樣，只與運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的動質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與其經(jīng)過的實(shí)際路徑形狀始末位置有關(guān)，而與其經(jīng)過的實(shí)際路徑形狀無關(guān)。無關(guān)。彈性力的功彈性力的功xa (原長原長)oxbabx222121bakxkx baxxkxdx13 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m在在M的引力場中的引力場中,由由a點(diǎn)點(diǎn)到到b點(diǎn)點(diǎn),萬有引力對萬有引力對質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m所作的功為所作的功為drrMmGbarr2 )11(barrGMm 由上式可見由上式可見,萬有引力的功也只萬有引力的功也只與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān)與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的實(shí)際路徑形狀無關(guān)。過的實(shí)際路徑形狀無關(guān)。萬有引力的功萬有引力的功注意：注意：

11、dscos( - )=dr。 baabfdsA cosmrarbabMrfdrds14 如果一個力的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)如果一個力的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與而與路徑形狀無關(guān)，這種力稱為路徑形狀無關(guān)，這種力稱為保守力保守力。相應(yīng)的力場稱相應(yīng)的力場稱為為保守力場保守力場。否則叫做非保守力。否則叫做非保守力。 顯然顯然重力重力、彈性力彈性力、萬有引力萬有引力都是都是保守力保守力。 因?yàn)楸Ｊ亓ψ鞯墓χ慌c質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，因?yàn)楸Ｊ亓ψ鞯墓χ慌c質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)而與路徑無關(guān),故保守力故保守力F保保沿任意閉合路徑沿任意閉合路徑L所作的所作的功總為零功總為零,亦即亦即上式表明：上式表

12、明：保守力的環(huán)流保守力的環(huán)流(沿任意閉合路徑沿任意閉合路徑L的線積分的線積分)為零。為零。這也是保守力的一種定義和數(shù)學(xué)判據(jù)。這也是保守力的一種定義和數(shù)學(xué)判據(jù)。2.保守力和非保守力保守力和非保守力 LrdF0保保15ijkxAyAzAAxyz SLSdArdA）（根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的斯托克斯公式根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的斯托克斯公式在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，i )zAyA(yzj )xAzA(zxk )yAxA(xy160rdFL保0SdFS）（保0F保這是力為保守力的判據(jù)。這是力為保守力的判據(jù)。0?F ijkxFyFFxyz zF如果給出了力的表達(dá)式，如果給出了力的表達(dá)式，對保守力而言，對保守力而言，

13、17滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功ab 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在粗糙的臺面上設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在粗糙的臺面上運(yùn)動，其運(yùn)動，其滑動摩擦力滑動摩擦力與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向相反的運(yùn)動方向相反,可表示為：可表示為：tkkeff當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從a處運(yùn)動到處運(yùn)動到b處，摩擦力做功：處，摩擦力做功：bakrdfAtbatkedsefbakdsfkfabs結(jié)論：結(jié)論：摩擦力做功不僅與始末位置有關(guān)，而且摩擦力做功不僅與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)與路徑有關(guān)。摩擦力是非保守力。摩擦力是非保守力。kfrd18baabmghmghA 重力的功重力的功222121baabkxkxA 彈性力的功彈性力的功)rr(GMmAbaab11 引力的功引力

14、的功 定義：定義：Epa是系統(tǒng)在位置是系統(tǒng)在位置a的勢能的勢能; Epb是系統(tǒng)在位置是系統(tǒng)在位置b的勢能。的勢能?？梢姡Ｊ亓Φ墓蓪憺榭梢?，保守力的功可寫為 bapapbpbpaEEEErdFA)(保保保保3.勢能的定義勢能的定義19 式的意義是式的意義是: 保守力的功等于勢能增量的負(fù)值。保守力的功等于勢能增量的負(fù)值。含義：系統(tǒng)在位置含義：系統(tǒng)在位置a的勢能等于系統(tǒng)從該位置移到勢的勢能等于系統(tǒng)從該位置移到勢能零點(diǎn)時保守力所作的功能零點(diǎn)時保守力所作的功。這就是計算勢能的方法。這就是計算勢能的方法。 原則上講，勢能的零點(diǎn)是可以任意選擇的，因此原則上講，勢能的零點(diǎn)是可以任意選擇的，因此勢能僅具有相

15、對的意義。勢能僅具有相對的意義。 bapapbpbpaEEEErdFA)(保保保保drFEapa零勢點(diǎn)保若取若取b點(diǎn)為零勢點(diǎn)，則由上式我們得到系統(tǒng)在位置點(diǎn)為零勢點(diǎn)，則由上式我們得到系統(tǒng)在位置a的勢能為的勢能為 20 重力勢能重力勢能 (1)零勢面可任意選擇零勢面可任意選擇,由問題的方便而定。由問題的方便而定。 (2)重力勢能為重力勢能為 Ep=mgh (3)物體在零勢面以上物體在零勢面以上,重力勢能為正重力勢能為正,否則為負(fù)否則為負(fù)。(3)彈性勢能總是正值。彈性勢能總是正值。彈性勢能彈性勢能(1)通常規(guī)定彈簧無形變通常規(guī)定彈簧無形變(即未伸長也未壓縮即未伸長也未壓縮)時的勢時的勢能為零。能為零

16、。xx (原長)aok 0 xpkxdxE221kx 4.勢能零點(diǎn)的選擇勢能零點(diǎn)的選擇(2)彈簧伸長或壓縮彈簧伸長或壓縮x時的彈性勢能時的彈性勢能,按定義應(yīng)為按定義應(yīng)為21rdFEbpb 零零勢勢點(diǎn)點(diǎn)保保xo (原長原長)oxabx oxxpbkxdxE222121okxkx 如選如選x=xo處為勢能零點(diǎn)，則彈性勢能處為勢能零點(diǎn)，則彈性勢能22 (1)通常選取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時通常選取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時(此時引力為零此時引力為零)的勢能為零。的勢能為零。 rPdrrMmGE2 (3)引力勢能總是負(fù)值。引力勢能總是負(fù)值。 應(yīng)當(dāng)注意：應(yīng)當(dāng)注意：勢能是勢能是屬于相互作用著屬于相互作用著的物體所組成的

17、的物體所組成的系統(tǒng)的系統(tǒng)的,不應(yīng)把它看不應(yīng)把它看作是屬于某一個物體的。作是屬于某一個物體的。引力勢能引力勢能 (2)兩物體兩物體M、m相距相距r時的引力勢能時的引力勢能,按定義式為按定義式為 rMmG Ep=mghrMmGEp rfM圖3-8drm221kxEp 23這一對內(nèi)力所作的元功之和為這一對內(nèi)力所作的元功之和為jjiiijrdfrdfdA三三.系統(tǒng)動能定理系統(tǒng)動能定理f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn2.內(nèi)力的功內(nèi)力的功外力外力系統(tǒng)以外的物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。系統(tǒng)以外的物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。1.質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 內(nèi)力和外力內(nèi)力和外力質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系(系統(tǒng)系統(tǒng))

18、作為研究對象的作為研究對象的質(zhì)點(diǎn)的集合。質(zhì)點(diǎn)的集合。內(nèi)力內(nèi)力系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。 ijf系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)j對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)i相互作用力。相互作用力。 jif系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)i對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)j相互作用力。相互作用力。 )ff(jiij24這這一對內(nèi)力一對內(nèi)力所作的元功之和為所作的元功之和為jjiiijrdfrdfdA)ff(jiij)rdrd(fjiijijijijijfdrf dr)rr(dfjiij (1)通常通常 ,故故一對內(nèi)力所作一對內(nèi)力所作的功之和一般也不為零。的功之和一般也不為零。jirdrd (2)因相對位移和相對元位移與參考系無關(guān)，故因相對位

19、移和相對元位移與參考系無關(guān)，故一對內(nèi)力所作的功之和也與參考系無關(guān)。一對內(nèi)力所作的功之和也與參考系無關(guān)。drij是第是第i個個質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)對第第j個個質(zhì)點(diǎn)的相對質(zhì)點(diǎn)的相對元位移。元位移。可見，可見，一對內(nèi)力的元功之一對內(nèi)力的元功之和轉(zhuǎn)化為其中一個力的功。和轉(zhuǎn)化為其中一個力的功。irjro圖3-9ijr質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)j人在船上行，船在靜水中退。人在船上行，船在靜水中退。oirjr25人在船上行，船在靜水中退。人在船上行，船在靜水中退。船對地船人人對地人船rdfrdfdA)(地對船人對地人船rdrdf船對地人船人對地人船rdfrdf人對船人船rdf一對內(nèi)力做功轉(zhuǎn)化為一個力的功一對內(nèi)力做功轉(zhuǎn)化為一個

20、力的功船對地船人人對地人船rdfrdfdA船對地船對地船人對地人對地人rddtdmrddtdm)2()2(22船船人人mdmd)22(22船船人人人對船人對船mmdrdf22A22船船人人mm26VoLmM Tmg車對地車球球?qū)Φ厍蜍噐dTrddA T車對球的拉力和球?qū)嚨睦κ擒噷η虻睦颓驅(qū)嚨睦κ且粚?nèi)力一對內(nèi)力(M和和m) 做功為：做功為：車對地車球球?qū)Φ厍蜍噐dTrd T地對車車球球?qū)Φ厍蜍噐dTrd T球?qū)嚽蜍噐d T00車對地車球球?qū)Φ厍蜍噐dTrddA T27jjiiijrdfrdfdA)ff(jiij)(jiijrdrdfjijiijijfdrf dr質(zhì)點(diǎn)之間有相互作用

21、力，但是沒有相互距離，一質(zhì)點(diǎn)之間有相互作用力，但是沒有相互距離，一對內(nèi)力的功也為零。對內(nèi)力的功也為零。剛體就是這樣剛體就是這樣。Zoij28 設(shè)系統(tǒng)由設(shè)系統(tǒng)由n個質(zhì)點(diǎn)組成個質(zhì)點(diǎn)組成, 對對mi 應(yīng)用動能定理應(yīng)用動能定理,有有2022121iiiiiiimmAAA 外外內(nèi)內(nèi)2022121iiiiiiiiiiiimmAAA 外外內(nèi)內(nèi) 這就是系統(tǒng)動能定理：這就是系統(tǒng)動能定理：外力的功與內(nèi)力的功之和外力的功與內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)動能的增量。等于系統(tǒng)動能的增量。寫成：寫成：A內(nèi)內(nèi) + A外外 = Ek Ek0式中：式中：i=1,2,3,。對對上式求和得上式求和得f1nfn1fi1f1iFiF1mim1F

22、nfnifinmn3.系統(tǒng)動能定理表述系統(tǒng)動能定理表述29注意：注意：1 對系統(tǒng)而言，對系統(tǒng)而言， ，0ijf.不一定等于零內(nèi)A人在船上行，船在靜水中退。人在船上行，船在靜水中退。m1m2FF2 系統(tǒng)所受外力的矢量和為零，系統(tǒng)所受外力的矢量和為零，.不一定等于零外A, 0F但但. 0外AA內(nèi)內(nèi) + A外外 = Ek Ek0系統(tǒng)動能定理：系統(tǒng)動能定理：ijijrdf一對內(nèi)力dA30 將上述結(jié)果代入動能定理將上述結(jié)果代入動能定理: A內(nèi)內(nèi)+A外外 = Ek- Ek0 二二.功能原理功能原理內(nèi)力的功內(nèi)力的功A內(nèi)內(nèi)也可以寫成也可以寫成 A內(nèi)內(nèi)=A保守內(nèi)力保守內(nèi)力+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力 )(popEE

23、A 保保守守內(nèi)內(nèi)力力式中式中:E=Ek+Ep是系統(tǒng)的機(jī)械能。上式表明是系統(tǒng)的機(jī)械能。上式表明:系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。這一結(jié)論稱為系統(tǒng)的這一結(jié)論稱為系統(tǒng)的功能原理功能原理。A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)31A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)注意：注意： 1、用功能原理時，只須計及、用功能原理時，只須計及所有外力和非保守內(nèi)力所有外力和非保守內(nèi)力的功的功。無須計算保守內(nèi)力的功無須計算保守內(nèi)力的功。因?yàn)橐驗(yàn)楸Ｊ貎?nèi)力的功已經(jīng)用勢能表示了。保守內(nèi)力

24、的功已經(jīng)用勢能表示了。2、 功能原理只適用于慣性系。功能原理只適用于慣性系。32 A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 如果如果外力的功與非保守內(nèi)力的功之和為零外力的功與非保守內(nèi)力的功之和為零(即即A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=0)時時, 則則 Ep+Ek=Ep0+Ek0 這一結(jié)論稱為這一結(jié)論稱為機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律。三.機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律應(yīng)當(dāng)指出，機(jī)械能守恒的條件是應(yīng)當(dāng)指出，機(jī)械能守恒的條件是A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=0,這當(dāng)然是對這當(dāng)然是對慣性系慣性系而言的。而言的。 還應(yīng)看到還應(yīng)看到,在某一慣性系中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒在某一慣性系中

25、系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,并不能保證在另一慣性系中系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒并不能保證在另一慣性系中系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒,因?yàn)橐驗(yàn)锳非保守內(nèi)力雖然與參考系的選擇無關(guān)非保守內(nèi)力雖然與參考系的選擇無關(guān),但但A外外卻取決定于參考系的選擇。卻取決定于參考系的選擇。 33機(jī)械能守恒定律的條件：機(jī)械能守恒定律的條件：A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=0討論機(jī)械能守恒的條件討論機(jī)械能守恒的條件a 系統(tǒng)受內(nèi)力，系統(tǒng)受外力，但均不做功。系統(tǒng)受內(nèi)力，系統(tǒng)受外力，但均不做功。0非保守內(nèi)力A0非保守內(nèi)力外AA, 0外Ab有兩種情況：有兩種情況：.不一定等于零內(nèi)A.不一定等于零外A2 對系統(tǒng)而言，對系統(tǒng)而言， ，0F1 對系統(tǒng)而言，對系統(tǒng)

26、而言， ，0ijf再次強(qiáng)調(diào)：再次強(qiáng)調(diào)：34 例題例題 如圖所示，一輛質(zhì)量為如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體以的小物體以水平速度水平速度 o滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為數(shù)為 ，求，求:(1)從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需多少時間？多少時間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？人在車上走，摩擦力的方向如何？為什么人多少？人在車上走，摩擦力的方向如何？為什么人的摩擦力可以做正功。的摩擦力可以做正功。

27、M 0mgmMMt)( 解解 (M+m):水平方向不受外力，水平方向不受外力，故動量守恒：故動量守恒： m o=(M+m) 式中式中 是相對靜止時的速度。是相對靜止時的速度。 (1)對物體對物體m應(yīng)用動量定理，有應(yīng)用動量定理，有 - mg.t=m -m o解得解得35M m 解：解： 由于一對內(nèi)力由于一對內(nèi)力(摩擦力摩擦力)的功與參考系無關(guān)的功與參考系無關(guān), 可取車為參考系來計算摩擦力的功可取車為參考系來計算摩擦力的功, 由系統(tǒng)動能定由系統(tǒng)動能定理得理得 mgL 2221)(21ommM 要物體不滑下車頂要物體不滑下車頂, 車的車的最小長度為最小長度為)(22mMgMLo m o=(M+m)

28、36 例題例題 如圖所示，一鏈條總長為如圖所示，一鏈條總長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m，放，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的長度為在桌面上，一端下垂，下垂一端的長度為a，鏈條與桌，鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為面之間的滑動摩擦系數(shù)為,令鏈條由靜止開始運(yùn)動，令鏈條由靜止開始運(yùn)動，求鏈條末端離開桌面時的速率。求鏈條末端離開桌面時的速率。 解解 鏈條受三個力作用：摩擦力、重力鏈條受三個力作用：摩擦力、重力(保守力保守力)以以及桌面對它的支持力及桌面對它的支持力(此力不作功此力不作功)。此題宜用功能原。此題宜用功能原理求解。理求解。 L-xxox2)(2aLLmg 建立如圖所示的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)ox,

29、 先求摩擦力先求摩擦力(變力變力)的功：的功：gmf桌gxLLm)( AfdxgdxxLLm)(aL37 取取桌面為零勢面桌面為零勢面，由功能原理，由功能原理:)212(2 mLmg )-(-)(222aLaLLg 解得解得A外外+A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)2(aagLm 對鏈條、細(xì)棒這樣一些對鏈條、細(xì)棒這樣一些有有一定長度的物體一定長度的物體，計算，計算重力勢重力勢能和重力的力矩能和重力的力矩時可將其時可將其質(zhì)量質(zhì)量集中在集中在質(zhì)心質(zhì)心，從而當(dāng)作一個質(zhì)，從而當(dāng)作一個質(zhì)點(diǎn)處理點(diǎn)處理。2)(2aLLmgA L-aa圖3-11ox38 例題例題 如圖所示，光滑地

30、面上有一輛質(zhì)量為如圖所示，光滑地面上有一輛質(zhì)量為M的的靜止的小車，小車上一長為靜止的小車，小車上一長為L的輕繩將小球的輕繩將小球m懸掛于懸掛于o點(diǎn)。把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運(yùn)動到點(diǎn)。把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時的速率。最低點(diǎn)時的速率。 解解 小球受兩個力：繩的張小球受兩個力：繩的張力力T，重力，重力mg。221 mmgL 解得：解得：gL2 這個解法對嗎？這個解法對嗎？oLmM Tmg 因?yàn)樾∏蚶@因?yàn)樾∏蚶@o點(diǎn)作圓運(yùn)動，點(diǎn)作圓運(yùn)動，張力張力T與運(yùn)動方向垂直，因此它與運(yùn)動方向垂直，因此它不作功，只有重力不作功，只有重力(保守力保守力)作功，作功，所以所以小球機(jī)械能守

31、恒小球機(jī)械能守恒：39 說小球繞說小球繞o點(diǎn)作圓運(yùn)動，張力點(diǎn)作圓運(yùn)動，張力T不作功，因而機(jī)械能守恒，這是以不作功，因而機(jī)械能守恒，這是以小車為參考系作的結(jié)論。這里有兩小車為參考系作的結(jié)論。這里有兩個錯誤個錯誤: 錯錯! 錯在那里？錯在那里？ 對系統(tǒng)對系統(tǒng)(小車、小球小車、小球): 一對內(nèi)力一對內(nèi)力(張力張力T)作功之和作功之和為零，只有保守力為零，只有保守力重力作功，則該重力作功，則該系統(tǒng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。VoLmM Tmg一是小車是非慣性系一是小車是非慣性系(有加速度有加速度)，機(jī)械能守恒定律是不成立機(jī)械能守恒定律是不成立！二是機(jī)械能守恒條件中的功，應(yīng)二是機(jī)械能守恒條件中的功，應(yīng)該

32、在該在慣性系中計算慣性系中計算。在慣性系。在慣性系(地面地面)上看上看,張力張力T要作功要作功,小球的機(jī)械能是不守恒的。但一對張小球的機(jī)械能是不守恒的。但一對張力力(內(nèi)力）做功為零。內(nèi)力）做功為零。 40222121MVmmgL (1)mMMgL 2 豎直方向的動量顯然不守恒，豎直方向的動量顯然不守恒，只有在水平方向只有在水平方向(根本不受根本不受外力外力)動量守恒動量守恒 0= MV-m (2) 解式解式(1)、(2)得小球運(yùn)動到最得小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時的速率為低點(diǎn)時的速率為(M+m)：VoLmM Tmg系統(tǒng)動量守恒嗎？系統(tǒng)動量守恒嗎？41 例題例題 半徑為半徑為R 、質(zhì)量為、質(zhì)量為M且表面光

33、滑的半球，放且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為m的的小物體，當(dāng)小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所小物體，當(dāng)小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所示的示的 角位置處，開始脫離球面，試求：角位置處，開始脫離球面，試求： (1) 角滿足的關(guān)系式；角滿足的關(guān)系式； (2)分別討論分別討論m/M1時時cos 的取值。的取值。 解解 (1)小物體脫離球面的條小物體脫離球面的條件是：件是：N=0。Rmmgr2cos(1) 小物體離開球面的瞬間相小物體離開球面的瞬間相對球面作圓運(yùn)動，而此時球?qū)η蛎孀鲌A運(yùn)動，而此時球面是面是慣性系慣性系，于是沿法向有

34、，于是沿法向有RM mmVx rmgNr為為m相對于相對于M的速度的速度42 取地面為慣性系取地面為慣性系, 以以m、M和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒械能守恒,于是有于是有222121)cos1(xMVmmgR (2) 取地面為慣性系取地面為慣性系, 以以m、M和地球?yàn)橄到y(tǒng)和地球?yàn)橄到y(tǒng),水平水平方向動量守恒方向動量守恒:(3)0 xxMVm 應(yīng)當(dāng)注意：式應(yīng)當(dāng)注意：式(2)、(3)中的中的 x、 是是m相對地面的相對地面的速度。速度。RM mmVx rmgN43 由速度合成定理由速度合成定理:xy,Vxrx cos222)sin()cos( rxrV (5)02cos3cos3 mMm

35、解上述式子得解上述式子得:222121)cos1(xMVmmgR (2)(3)0 xxMVm Rmmgr2cos (1)對地對地對對對地對地MMmm RM mmVx rmgN(4) sinry 44 (2) 當(dāng)當(dāng)m/Mm時時, cos =2/3這相當(dāng)于這相當(dāng)于M不動的情況。不動的情況。 當(dāng)當(dāng)m/M1,即即mM時時, 有有 cos3 -3cos +2=0分解因式得分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0這表明這表明m豎直下落。豎直下落。02cos3co3 smMmRM mmVx rmgN45 例題例題 若從地面以一定初速度若從地面以一定初速度 o發(fā)射一發(fā)射一質(zhì)量

36、為質(zhì)量為m的的衛(wèi)星衛(wèi)星,并使衛(wèi)星進(jìn)入離地心為并使衛(wèi)星進(jìn)入離地心為r的圓軌道。設(shè)地球的的圓軌道。設(shè)地球的質(zhì)質(zhì)量和半徑分別為量和半徑分別為me和和Re，不計空氣阻力，則，不計空氣阻力，則 o =？ 解解 rmrmmGe22 圓軌道：圓軌道：rGme 機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：221om rmmGme 221 eeRmmG )21 (2)21 (2rRgRrRRGmeeeeeo 46討論：討論：(1)當(dāng)當(dāng)r=Re時時,eogR =7.9km/s, 稱為稱為第一第一宇宙速度宇宙速度。若以這個速度垂直地球半徑方向發(fā)射，。若以這個速度垂直地球半徑方向發(fā)射，衛(wèi)星將貼近地面沿圓軌道飛行。衛(wèi)星將貼近地面沿圓軌道飛

37、行。 , s/km.gReo2112 稱為稱為第二第二宇宙速度宇宙速度。以此速度發(fā)射的衛(wèi)星將飛離地球。以此速度發(fā)射的衛(wèi)星將飛離地球。(2)當(dāng)當(dāng)r時，時，)21 (2)21 (2rRgRrRRGmeeeeeo 47一質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下做圓周運(yùn)動一質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下做圓周運(yùn)動,證明：證明：平方反比引力是保守力平方反比引力是保守力22yxrrxxrryyr033rkyrkxzyxkjiF)()(33rkxyrkyxk0j yi xrrerkF2rrk 3)(3j yi xrk0F是保守力。F48 例題例題 一質(zhì)點(diǎn)在方向指向圓心的力一質(zhì)點(diǎn)在方向指向圓心的力 (式中式中k為常量為常量)的作用

38、下，沿半徑為的作用下，沿半徑為r的園周運(yùn)動，取的園周運(yùn)動，取無窮遠(yuǎn)為零勢點(diǎn)，求該質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能。無窮遠(yuǎn)為零勢點(diǎn)，求該質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能。2rkF 解解 rmrk22 rkEk2 drrkErp2 rk rkEEEpk2 機(jī)械能機(jī)械能(注意：注意：平方反比引力是保守力平方反比引力是保守力)49例題例題 如圖所示，固定的光滑斜面，如圖所示，固定的光滑斜面， =30。一。一輕彈輕彈簧上端固定，下端輕輕地掛上質(zhì)量簧上端固定，下端輕輕地掛上質(zhì)量M=1.0kg的木塊。的木塊。當(dāng)木塊下滑當(dāng)木塊下滑x=30厘米時，一水平方向飛行的質(zhì)量厘米時，一水平方向飛行的質(zhì)量m=0.01kg、速度、速度 =200m/s子彈與其相碰并陷在其中。子彈與其相碰并陷在其中。彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=25N/m。求子彈打入木塊后它們剛。求子彈打入木塊后它們剛一起運(yùn)動時的速度。一起運(yùn)動時的速度。 xk Mm (1)木塊的下滑過程木塊的下滑過程(2)碰撞過程碰撞過程分兩步求解：分兩步求解：50 (木塊木塊+彈簧彈簧+地球地球)：系統(tǒng)機(jī)械能守恒。選彈簧原：系統(tǒng)機(jī)械能守恒。選彈簧原長處為零勢點(diǎn)，則有長處為零勢點(diǎn)，則有0sin21212