大學(xué)物理：第3章 剛體力學(xué)

1、力學(xué) 剛體力學(xué)3.1 力矩的瞬時(shí)效應(yīng)力矩的瞬時(shí)效應(yīng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理3.1.1 描述剛體力學(xué)的物理參量描述剛體力學(xué)的物理參量角參量角參量 (角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度)；線(xiàn)參量與角參量的關(guān)系；線(xiàn)參量與角參量的關(guān)系 (參第參第 1 章章)(1) 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角參量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角參量(2) 改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量力矩力矩力臂力臂：力與轉(zhuǎn)軸的：力與轉(zhuǎn)軸的距離距離力矩力矩：力與力臂的：力與力臂的矢積矢積FrM 或或 zyxzyxFFFzyxeeeM (3) 保持剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量保持剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參參下節(jié)下節(jié)內(nèi)容內(nèi)容3.1.2

2、繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理(1) 物理模型物理模型對(duì)固定轉(zhuǎn)軸剛體，只有分解到對(duì)固定轉(zhuǎn)軸剛體，只有分解到 xoy 平面的平面的切向的分力切向的分力，才影響轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，才影響轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受力分析繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受力分析 x Fi y z o ri fji rj 切向分力影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)切向分力影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)(2) 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理 x Fi y z o ri fji rj 設(shè)位矢設(shè)位矢 ri 的質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn) j 內(nèi)力內(nèi)力 fji，受到合外力為，受到合外力為 Fi，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律iijijiiiamf

3、F dsinsin 剛體繞固定剛體繞固定z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) iira iiijijiiirmfF dsinsin 將上式兩邊同時(shí)乘以將上式兩邊同時(shí)乘以 ri 并利用矢量矢積的定義有并利用矢量矢積的定義有 2diijijiiirmfrFr 考慮剛體中所有質(zhì)點(diǎn)、力矩的定義以及內(nèi)力考慮剛體中所有質(zhì)點(diǎn)、力矩的定義以及內(nèi)力 jijijifrfr 上式成為上式成為 iiiiirmM 2d當(dāng)微元趨于無(wú)限小時(shí)當(dāng)微元趨于無(wú)限小時(shí) VmrMd2 定義定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 VmrId2繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 IM A 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義物理意義：保持剛體原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)：保持剛體原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)慣

4、性慣性的量度的量度B 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：慣性系繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：慣性系3.1.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例例3.1.1 質(zhì)量相等的三小球等間距分布在質(zhì)量相等的三小球等間距分布在x-y平面角平分線(xiàn)上并繞平面角平分線(xiàn)上并繞 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)求求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 x y m a o 解解：由：由 iiirmI22222732222222maaaamI 例例3.1.2 線(xiàn)密度為線(xiàn)密度為 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為的均勻細(xì)桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為 求求 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解解：由：由 VmrId2在桿上在桿上 l 處任取微元處任取微元

5、 dmlmdd x y m o dm r 22302022sin31)(sin31d)sin(d0mllllmrIlV 而桿的總長(zhǎng)度而桿的總長(zhǎng)度 ml 0例例3.1.3 桿上等間距地套上三個(gè)質(zhì)量都等于桿的質(zhì)量的小球，系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)桿上等間距地套上三個(gè)質(zhì)量都等于桿的質(zhì)量的小球，系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)求求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解解：桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2221sin31dmlmrIV 三個(gè)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三個(gè)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2227marmIii 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 22221sin317mlmaIII 例例3.1.4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理平行軸定理 Ic 過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

6、慣量，過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，l 是與過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸平行、相距為是與過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸平行、相距為 l 另一轉(zhuǎn)軸另一轉(zhuǎn)軸 2mlIIc l Ic I l rc r 證明證明 VVmrrmrId)(d2 VccVccmlrlrmlrlrd)2(d)()(22 VccmrlmlId22質(zhì)心坐標(biāo)求解方法質(zhì)心坐標(biāo)求解方法 mrrVcd Ic是過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2mlIIc 例例3.1.5 垂直軸定理垂直軸定理：平面薄板剛體對(duì)垂直于平面任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等：平面薄板剛體對(duì)垂直于平面任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等 于剛體對(duì)在平面內(nèi)并與該垂直軸相交的任二正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和于剛體對(duì)在平面內(nèi)并與該垂直軸相交

7、的任二正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和 yxIII 證明證明 VVmrrmrId)(d2 Vyxyxmeyexeyexd)()(yxVIImyx d)(22 z x y o 例例3.1.6 求均勻分布、質(zhì)量為求均勻分布、質(zhì)量為 m 的球體繞其直徑作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的球體繞其直徑作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 I解解：球體的質(zhì)量密度：球體的質(zhì)量密度 343RmVm 采用球坐標(biāo)系采用球坐標(biāo)系rrVmdddsindd2 ddsin2dddsin)sin(d34222rrrrrmrIVV52158cosd )cos1(5225025mRRR 課后作業(yè)課后作業(yè)：一些常見(jiàn)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算：一些常見(jiàn)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算 (參教材參教材 p99-

8、p100)3.1.4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用 例例3.1.6 電風(fēng)扇開(kāi)啟電源經(jīng)電風(fēng)扇開(kāi)啟電源經(jīng) t1 達(dá)到額定轉(zhuǎn)速達(dá)到額定轉(zhuǎn)速 0，關(guān)閉電源時(shí)經(jīng)，關(guān)閉電源時(shí)經(jīng) t2 停止；設(shè)電停止；設(shè)電 風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I，且電機(jī)的電磁力矩與摩擦力矩為恒量，且電機(jī)的電磁力矩與摩擦力矩為恒量求求：電機(jī)的電磁力矩：電機(jī)的電磁力矩 解解：設(shè)電風(fēng)扇的電磁力矩、摩擦力矩分別為：設(shè)電風(fēng)扇的電磁力矩、摩擦力矩分別為 M、Mf 電風(fēng)扇電風(fēng)扇開(kāi)啟時(shí)開(kāi)啟時(shí)受電磁力矩與摩擦力矩的作用，即受電磁力矩與摩擦力矩的作用，即 1 IMMf 當(dāng)電風(fēng)扇達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí)當(dāng)電風(fēng)扇達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí) 110

9、t 電風(fēng)扇電風(fēng)扇關(guān)閉過(guò)程關(guān)閉過(guò)程中，只受到摩擦力矩的作用，即中，只受到摩擦力矩的作用，即 2 IMf 達(dá)到停止時(shí)達(dá)到停止時(shí) 0220 t 解此聯(lián)立方程組，得解此聯(lián)立方程組，得 )11(210ttIM 例例3.1.7 質(zhì)量為質(zhì)量為 M、半徑為、半徑為 R 的勻質(zhì)柱體可繞通過(guò)其中心軸線(xiàn)的光滑水平定的勻質(zhì)柱體可繞通過(guò)其中心軸線(xiàn)的光滑水平定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩下端掛一質(zhì)量為軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩下端掛一質(zhì)量為 m 的物體的物體求求：柱體的角加速度及繩中的張力：柱體的角加速度及繩中的張力解解：用隔離體法：用隔離體法maTmg 對(duì)對(duì)m對(duì)柱對(duì)柱 RaITR ，解得解得)2/(

10、2RMmmg )2/(MmMmgT 例例3.1.8 可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量分別為可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量分別為 m1=24 kg ， m2=5 kg， 一輕繩一端纏繞于一輕繩一端纏繞于m1上，另一端經(jīng)上，另一端經(jīng) m2 鏈接鏈接 m=10 kg 的物體的物體求求：物體：物體 m 由靜止開(kāi)始下落由靜止開(kāi)始下落 h=0.5 m 時(shí)，物體的速度及時(shí)，物體的速度及 繩的張力繩的張力 解解：各物體受力情況如圖所示：各物體受力情況如圖所示1211121 RmRTm ：22212221 rmrTrTm ：maTmgm 2：ahrRa2221 v， 求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得求解聯(lián)立方程，

11、代入數(shù)據(jù)，可得NTNTsm5848/221 ，v例例3.1.9 質(zhì)量為質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒 AB，可繞水平光滑軸，可繞水平光滑軸 o 在豎直平面內(nèi)在豎直平面內(nèi) 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，o 軸離軸離 A 端的距離為端的距離為 l/3，棒從靜，棒從靜 止開(kāi)始由水平位置繞止開(kāi)始由水平位置繞 o 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)求求：棒轉(zhuǎn)過(guò)角：棒轉(zhuǎn)過(guò)角 時(shí)的角加速度和角速度。時(shí)的角加速度和角速度。 解解：各物體受力情況如圖所示：各物體受力情況如圖所示 cos6lmgMo 22291)6(121mllmmlIo cos23lgIMoo cos23ddddddddlgtt 又因又因所以所以 dcos23d00

12、 lg積分得積分得lg sin3 例例3.1.10 質(zhì)量為質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 R 的勻質(zhì)圓盤(pán)繞通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面的光滑軸的勻質(zhì)圓盤(pán)繞通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面的光滑軸 以以 o 轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)將盤(pán)置于摩擦系數(shù)為的轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤(pán)置于摩擦系數(shù)為的 粗糙水平桌面上粗糙水平桌面上求求：圓盤(pán)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？：圓盤(pán)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？解解：摩擦力分布在整個(gè)盤(pán)面上，取半徑為：摩擦力分布在整個(gè)盤(pán)面上，取半徑為 r、寬為、寬為dr 的微元，摩擦力矩為的微元，摩擦力矩為mgRrrRmgrMR 32d202 221mRI 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RgIM34 于是得于是得00 t gRt 4300 gRNo

13、o 1632222 又由又由，所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過(guò)的，所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)圈數(shù)為為 22023.2 力矩的時(shí)間累積效應(yīng)力矩的時(shí)間累積效應(yīng)角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理3.2.1 描述力矩時(shí)間累積效應(yīng)的物理參量描述力矩時(shí)間累積效應(yīng)的物理參量(1) 沖量矩沖量矩tMJdd 21dtttMJ或或 記記討論討論：沖量矩的討論完全類(lèi)似于沖量的討論，：沖量矩的討論完全類(lèi)似于沖量的討論，(略，自己補(bǔ)充略，自己補(bǔ)充) 力矩在時(shí)間上的累積矢量，稱(chēng)為力矩在時(shí)間上的累積矢量，稱(chēng)為沖量矩沖量矩(2) 角動(dòng)量定理與角動(dòng)量角動(dòng)量定理與角動(dòng)量)(dddItMJ 112221dIItMJtt 其中，其中，I1、 1 和和 I2、 2 分

14、別表示始末狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度分別表示始末狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度 定義剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定義剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量角動(dòng)量IL LJdd 于是于是12LLJ 討論討論：關(guān)于角動(dòng)量與角動(dòng)量定理：關(guān)于角動(dòng)量與角動(dòng)量定理 (1) 角動(dòng)量的其它角動(dòng)量的其它表述形式表述形式 因因 2rrv LrmJd)d(d v于是于是即角動(dòng)量可以定義為即角動(dòng)量可以定義為 v rmL角動(dòng)量的普遍定義式角動(dòng)量的普遍定義式 (2) 沖量矩、角動(dòng)量與角動(dòng)量定理的沖量矩、角動(dòng)量與角動(dòng)量定理的矢量性矢量性與與獨(dú)立性獨(dú)立性 zttzyttyxttxzzyyxxe tMe tMe tMeJeJeJJ 212121ddd222zyxJJ

15、JJ (3) 適用條件。其適用條件仍然是慣性系適用條件。其適用條件仍然是慣性系(4) 角動(dòng)量定理中的力矩只有外力矩角動(dòng)量定理中的力矩只有外力矩(5) 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)外力沖量矩的矢量和為零時(shí)，角動(dòng)量保持不變：當(dāng)外力沖量矩的矢量和為零時(shí)，角動(dòng)量保持不變1122II 例例3.2.1 當(dāng)當(dāng) I1=I2 時(shí)，時(shí)， 0 ，剛體做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)當(dāng) I 變化時(shí)，變化時(shí)， 現(xiàn)象解釋現(xiàn)象解釋2112 II3.2.2 角動(dòng)量定理的應(yīng)用角動(dòng)量定理的應(yīng)用例例3.2.2 勻質(zhì)園盤(pán)勻質(zhì)園盤(pán) (m、R) 與一人與一人(m/10，視為質(zhì)點(diǎn)，視為質(zhì)點(diǎn)) 一起以角速度一起以角速度 0 繞通過(guò)

16、其繞通過(guò)其 盤(pán)心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人相對(duì)于盤(pán)以速率盤(pán)心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人相對(duì)于盤(pán)以速率 v、沿半徑為、沿半徑為 R/2 的園周運(yùn)動(dòng)的園周運(yùn)動(dòng) (方向與盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反方向與盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反) 求求 (1)圓盤(pán)對(duì)地的角速度圓盤(pán)對(duì)地的角速度 (2)欲使園盤(pán)對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤(pán)的速度大小和方向？欲使園盤(pán)對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤(pán)的速度大小和方向？解解：系統(tǒng)：圓盤(pán)：系統(tǒng)：圓盤(pán)+人人 0 R/2 )2()2(1021)21(102122022RRmmRRmmRv 解出解出R2120v 得得0221 R v負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與 0 方向相同方向相同(2) 欲使盤(pán)靜止，令

17、欲使盤(pán)靜止，令02120 Rv 解解：繩的拉力的作用線(xiàn)通過(guò)：繩的拉力的作用線(xiàn)通過(guò) o 點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)，對(duì) o 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒例例3.2.3 細(xì)繩一端系有置于水平桌面、質(zhì)量細(xì)繩一端系有置于水平桌面、質(zhì)量 m 的小球，另一端穿過(guò)桌面小孔的小球，另一端穿過(guò)桌面小孔 o 并用力往下拉住。設(shè)開(kāi)始時(shí)小球以并用力往下拉住。設(shè)開(kāi)始時(shí)小球以 0 繞孔繞孔o(hù) 作半徑作半徑 r 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng), 現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r/2 止止求求：這一過(guò)程中拉力的功：這一過(guò)程中拉力的功02024)2/( rmmr202202222321)

18、2(21 mrmrrmA 由動(dòng)能定理，由動(dòng)能定理，拉力的功為拉力的功為例例3.2.4 質(zhì)量、半徑分別為質(zhì)量、半徑分別為 M1、M2 和和 R1、R2 的兩均勻圓柱各自繞相互平行的兩均勻圓柱各自繞相互平行 中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)角速度分別為中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)角速度分別為 1、 2，現(xiàn)將它們緩慢移近并接觸，現(xiàn)將它們緩慢移近并接觸 求求：兩圓柱在它們相互間摩擦力作用下所達(dá)到的最終角速度：兩圓柱在它們相互間摩擦力作用下所達(dá)到的最終角速度 解解：在兩圓柱體之間的摩擦力作用下，最終：在兩圓柱體之間的摩擦力作用下，最終線(xiàn)速度線(xiàn)速度相等相等 R1 M1 M2 R2 2 1 2211RR 由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理

19、)(d11101 ItfRt)(d22202 ItfRt R1 M1 M2 R2 2 1 圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 211121RMI 222221RMI 聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程 )(2112221111MMRRMRM )(2121112222MMRRMRM 討論討論：(1) 關(guān)于關(guān)于連接條件連接條件 (2) 連接體的角動(dòng)量守恒問(wèn)題，角動(dòng)量應(yīng)守恒嗎？連接體的角動(dòng)量守恒問(wèn)題，角動(dòng)量應(yīng)守恒嗎？ 系統(tǒng)系統(tǒng)初始狀態(tài)初始狀態(tài)的角動(dòng)量的角動(dòng)量 L1 為為 )(222212111 RMRML 系統(tǒng)系統(tǒng)末狀態(tài)末狀態(tài)的角動(dòng)量的角動(dòng)量 L2 為為 222212112 RMRML聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程 摩擦

20、力沖量矩的代數(shù)和并不為零摩擦力沖量矩的代數(shù)和并不為零 不是繞同一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不是繞同一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng) R1 M1 M2 R2 2 1 2122222122122212121122)(MMRMRRRRMMLL (不一定等于零不一定等于零)例例3.2.5 人們把物體所受的指向同一固定點(diǎn)的作用力稱(chēng)為有心力或人們把物體所受的指向同一固定點(diǎn)的作用力稱(chēng)為有心力或中心力中心力證明證明：(1) 在有心力作用下運(yùn)動(dòng)的物體，在有心力作用下運(yùn)動(dòng)的物體，角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒； (2) 有心力是保守力，在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)有心力是保守力，在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒； (3) 隆格楞茨矢量隆格楞茨矢量 守恒；

21、守恒； (4) 中心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿(mǎn)足中心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿(mǎn)足開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng) rrkLB v證明證明：(1) 有心力場(chǎng)中有心力場(chǎng)中有有心力對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的力矩為零，故心力對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的力矩為零，故角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 (2) 有心力可表示為有心力可表示為 0rFF 質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下沿任意路徑運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有心力所做的功質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下沿任意路徑運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有心力所做的功 )()()dd()(120021rUrUnrrrrrFArrnr 其中，勢(shì)能其中，勢(shì)能 rrrrFrU0d)(受力物體與有心力場(chǎng)場(chǎng)源構(gòu)成的系統(tǒng)只受到保守力作用，受力物體與有心力場(chǎng)場(chǎng)源構(gòu)成的系統(tǒng)只受到保守力作用，機(jī)械

22、能守恒機(jī)械能守恒 (3) 對(duì)平方反比有心力對(duì)平方反比有心力02rrkF 其中，其中，k為常數(shù)?？疾鞛槌?shù)?？疾?LttLLtLt dddddd)(ddvvvv)()()(dd02vvvv rrrkrFrtm trrtrrrkrrrrkrdd1dd223vv )()()(33rrrrrkrrrk vvv )(dddd1)1(ddrrtktrrrtrk 即即 0)(dddd rrkLttBv或或 rrkLB v=常數(shù)常數(shù) (4) 為證明平方反比中心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿(mǎn)足開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)為證明平方反比中心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿(mǎn)足開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)krmLkrrLkrLrBr 2)()(vv另一方面另一方面 co

23、srBBr cos1 pr其中其中 kmLp2 kB =常數(shù)常數(shù) =常數(shù)常數(shù) 上式是極坐標(biāo)下的圓錐曲線(xiàn)方程上式是極坐標(biāo)下的圓錐曲線(xiàn)方程(當(dāng)當(dāng) 1 時(shí)，為時(shí)，為橢圓方程橢圓方程) 計(jì)算單位時(shí)間掃過(guò)的面積計(jì)算單位時(shí)間掃過(guò)的面積 (開(kāi)普勒第二定律開(kāi)普勒第二定律) mLrtrrts221d2ddd v=常數(shù)常數(shù) B v ds o 例例3.2.6 1970年我國(guó)發(fā)射的第一枚地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量年我國(guó)發(fā)射的第一枚地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量 m=173 kg，周，周 期期 T=114 min，近日點(diǎn)距地心，近日點(diǎn)距地心 r1=6817 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心 r2=8762 km， 橢圓軌道半長(zhǎng)

24、軸：橢圓軌道半長(zhǎng)軸：a=7790 km，橢圓軌道半短軸：，橢圓軌道半短軸：b=7720 km 求求：衛(wèi)星的近地速度和遠(yuǎn)地速度：衛(wèi)星的近地速度和遠(yuǎn)地速度 v2 ds o v1 r1 r2 r r+dr 解解：衛(wèi)星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，且角動(dòng)量守恒，設(shè)衛(wèi)星近地速度為：衛(wèi)星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，且角動(dòng)量守恒，設(shè)衛(wèi)星近地速度為 v1，方向與，方向與 r1垂直；遠(yuǎn)地速度為垂直；遠(yuǎn)地速度為 v2，方向與，方向與 r2垂直垂直 于是于是 TrTrs21112121vv 21112121ddvvrrts =常數(shù)常數(shù) 1 . 822111 TrabTrsvkm/s 3 . 622222 TrabTrsvkm/s 在上面式子

25、中，利用了橢圓面積功式在上面式子中，利用了橢圓面積功式 s= ab (2) 回轉(zhuǎn)儀剛體進(jìn)動(dòng)回轉(zhuǎn)儀剛體進(jìn)動(dòng) 回轉(zhuǎn)儀構(gòu)造回轉(zhuǎn)儀構(gòu)造回轉(zhuǎn)儀工作原理回轉(zhuǎn)儀工作原理dLOmgLdrcdLd3.3 力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng)剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律 3.3.1 描述剛體空間累積效應(yīng)的物理參量描述剛體空間累積效應(yīng)的物理參量 設(shè)設(shè) eFeFFrr errdd 質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下所作的功質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下所作的功 21d MA積分形式積分形式 ddsindd MrFrFA微分形式微分形式(1) 力矩的功力矩的功 x F y z o dm 討論討論：A 內(nèi)力所作功之和為零內(nèi)力所作功之和為

26、零 B 力矩作功的正負(fù)符號(hào)規(guī)定力矩作功的正負(fù)符號(hào)規(guī)定 C 力矩作功的功率力矩作功的功率 MtMtApdddd(2) 剛體的勢(shì)能與勢(shì)能定理剛體的勢(shì)能與勢(shì)能定理 結(jié)論結(jié)論：剛體的勢(shì)能等于剛體質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能：剛體的勢(shì)能等于剛體質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能勢(shì)能定理勢(shì)能定理：保守力對(duì)剛體所作的功，等于剛體勢(shì)能增量的負(fù)值：保守力對(duì)剛體所作的功，等于剛體勢(shì)能增量的負(fù)值)(papbabEEA 案例案例：重力勢(shì)能：重力勢(shì)能 cVpmghmmhmgmmmghVghE ddd (3) 剛體的動(dòng)能與動(dòng)能定理剛體的動(dòng)能與動(dòng)能定理 ttIIAMAddddddd 21222121d21 IIIA 積分形式積分形式 )21(ddd2

27、IIA 微分形式微分形式 定義繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定義繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體動(dòng)能動(dòng)能 221 IEk 繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能定理動(dòng)能定理 kEAdd 0kkEEA 3.3.2 剛體的功能原理與機(jī)械能守恒定律剛體的功能原理與機(jī)械能守恒定律 定義剛體動(dòng)能與勢(shì)能之和為剛體的定義剛體動(dòng)能與勢(shì)能之和為剛體的機(jī)械能機(jī)械能 pkEEE 考慮到剛體內(nèi)力不做功考慮到剛體內(nèi)力不做功0EEA 外外功能原理功能原理：外力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體機(jī)械能的增量：外力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體機(jī)械能的增量3.3.3 剛體功能原理的應(yīng)用剛體功能原理的應(yīng)用 (1) 剛體功能原理的應(yīng)用剛體功能原理的應(yīng)用

28、 例例3.3.1 質(zhì)量、半徑相同的圓柱質(zhì)量、半徑相同的圓柱、薄球殼薄球殼、 球體從相同光滑斜面、相同高球體從相同光滑斜面、相同高 度由靜止無(wú)相對(duì)滑動(dòng)下滑度由靜止無(wú)相對(duì)滑動(dòng)下滑求求：質(zhì)心所獲得的速度：質(zhì)心所獲得的速度 解解：將地球、斜面、：將地球、斜面、m看作為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒看作為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒 無(wú)滑動(dòng)的條件無(wú)滑動(dòng)的條件 Rc v222121 ccImmgh v對(duì)圓柱對(duì)圓柱 221mRIc 對(duì)球殼對(duì)球殼232mRIc 對(duì)球體對(duì)球體252mRIc 質(zhì)心獲得的速度分別為質(zhì)心獲得的速度分別為 ghc34 vghc56 vghc710 v例例3.3.2 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的火箭以與地軸的火箭以與

29、地軸 oo 平行、速度平行、速度 v0 發(fā)射，運(yùn)動(dòng)軌道與地軸發(fā)射，運(yùn)動(dòng)軌道與地軸 oo 相交于距相交于距 o 為為 3R 的的C點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力求求：火箭在：火箭在C點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 v 與與 v0 之間的夾角之間的夾角 。(設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R) o O v A 解解火箭運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒火箭運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒 RMmGmRMmGm32121220 vv對(duì)對(duì) o 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒)43(3sin2020GMRR vv 解得解得 sin30RmRm vv例例3.3.3 質(zhì)量質(zhì)量 m、長(zhǎng)、長(zhǎng) l 的均勻細(xì)直棒

30、可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定 軸軸 o 轉(zhuǎn)動(dòng)；開(kāi)始時(shí)，棒靜止在豎直位置轉(zhuǎn)動(dòng)；開(kāi)始時(shí)，棒靜止在豎直位置求求：棒轉(zhuǎn)到與水平面成：棒轉(zhuǎn)到與水平面成 角時(shí)的角速度和角加速度角時(shí)的角速度和角加速度 C hc o 解解：取水平面為零勢(shì)面，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒：取水平面為零勢(shì)面，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒221sin22 Ilmglmg 22231)2(121mllmmlI lg/ )sin1(3 cos23ddddddddlgtt 討論討論：本題也可先由：本題也可先由 求出求出 ，再用，再用 積分求積分求 IM td/d 例例3.3.4 由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物

31、由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物 M 組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被 靜止釋放；繩與滑輪無(wú)滑動(dòng)靜止釋放；繩與滑輪無(wú)滑動(dòng)求求：(1) 重物重物 M 下落下落 h 時(shí)的速度；時(shí)的速度；(2) 彈簧的最大伸長(zhǎng)量彈簧的最大伸長(zhǎng)量解解：(1) 系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力和彈性力系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力和彈性力 作功，所以機(jī)械能守恒作功，所以機(jī)械能守恒 222212121khIMMgh vrmrI v，221mMkhMgh2122 v(2) 令令 M 的速度的速度v=0，彈簧的最大伸長(zhǎng)量為，彈簧的最大伸長(zhǎng)量為kMgh/2max 例例3.3.5 空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸空心園環(huán)

32、可繞光滑的豎直固定軸 AC 自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I0 ，半，半 徑為徑為 R，初始角速度為，初始角速度為 0 。質(zhì)量為。質(zhì)量為 m 的小球靜止在環(huán)的最高處的小球靜止在環(huán)的最高處 A 點(diǎn)，點(diǎn)， 由于某種擾動(dòng)，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)由于某種擾動(dòng)，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)求求：小球滑到與環(huán)心：小球滑到與環(huán)心 o 在同一高度的在同一高度的B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的 速度各為多少速度各為多少? (設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)解解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量守恒；機(jī)械能也守恒：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量守恒；機(jī)械能也守恒

33、上式中的上式中的 v 是小球相對(duì)于地的速度，它應(yīng)為是小球相對(duì)于地的速度，它應(yīng)為222)(BRvv )(2000mRII (1)220200212121vmImgRI (2)vB 表小球在表小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)地面的豎直分速度點(diǎn)時(shí)相對(duì)地面的豎直分速度由由(2)得得0222002ImRRIgRB v2000mRII 由由 (1) 得環(huán)的角速度為得環(huán)的角速度為例例3.3.6 長(zhǎng)長(zhǎng) l、質(zhì)量質(zhì)量 M 的勻質(zhì)桿可繞過(guò)其一端的光滑軸的勻質(zhì)桿可繞過(guò)其一端的光滑軸 o 轉(zhuǎn)動(dòng)，桿初始時(shí)豎轉(zhuǎn)動(dòng)，桿初始時(shí)豎 直下垂；質(zhì)量為直下垂；質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度射入桿的的子彈以水平速度射入桿的A點(diǎn)并嵌其中，點(diǎn)并嵌其中，oA

34、 = 2l/3求求：(1) 子彈射入后瞬間桿的角速度；子彈射入后瞬間桿的角速度；(2) 桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度 解解：(1) 桿桿+子彈：豎直位置，外力均不產(chǎn)生力矩，碰撞過(guò)程中子彈：豎直位置，外力均不產(chǎn)生力矩，碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 )32(3132220lmMllm v)43(60mMlm v 2l/3 mv0 o A (2) 桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中顯然機(jī)械能守恒桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中顯然機(jī)械能守恒)cos1(32)cos1(2)32(3121222 lmglMglmMl)3/22/()3/2(3/ 2)3/2(1cos2220mglMgllmMllm v 由此得由此得2l/3 mv0 o A (2) 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)問(wèn)題剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都平行于某一平面的運(yùn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都平行于某一平面的運(yùn)動(dòng)結(jié)論結(jié)論：慣性參考系中，平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，其總動(dòng)能應(yīng)等于：慣性參考系中，平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，其總動(dòng)能應(yīng)等于質(zhì)心平動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)的的 動(dòng)能與剛體動(dòng)能與剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能