-非齊次邊界條件的處理-泊松方程

1、 8.3 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理利用疊加原理，將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為另一函利用疊加原理，將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為另一函數(shù)的齊次邊界條件。數(shù)的齊次邊界條件。一、一般的處理方法：一、一般的處理方法： 首先要將非齊次的邊界條件齊次化：首先要將非齊次的邊界條件齊次化： 設(shè)設(shè) u( (x, ,t) )=w( (x, ,t) )+v( (x, ,t) ) 要求要求v( (x, ,t) )滿足滿足，可得，可得)()0()()0()()()()0()(2xxuxxuttluttutxfuautxxtt，0)(0)0()()()()0(tlwtwttlvttv， 為齊次邊界條件為齊次邊界條件定解

2、問題可化為定解問題可化為可按第二節(jié)的方法求解可按第二節(jié)的方法求解實(shí)際上滿足實(shí)際上滿足的的v( (x, ,t) )很多，最簡單的可設(shè)很多，最簡單的可設(shè) v( (x, ,t) )=A( (t) )x+B( (t) )0()()0()0()()0(0)()0()(22，xvxxwxvxxwtlwtwvavtxfwawttxxttxxtt由由若兩端都是第二類非齊次邊界條件：若兩端都是第二類非齊次邊界條件：則改設(shè)則改設(shè) v( (x, ,t) )=A( (t) )x2+B( (t) )x二、特殊處理方法：二、特殊處理方法：當(dāng)方程是齊次而邊界條件是非齊次時(shí)，特殊情況當(dāng)方程是齊次而邊界條件是非齊次時(shí)，特殊情況

3、下可選擇合適的特解下可選擇合適的特解v，令，令u=w+v，能使關(guān)于，能使關(guān)于w的的)()()()()()()()()0(ttBltAttBttlvttv，)()()()(txltttxv，)()()()0(ttluttuxx，定解問題為齊次方程和齊次邊界條件。不同問題定解問題為齊次方程和齊次邊界條件。不同問題所設(shè)不同。所設(shè)不同。例：例：( (P175，習(xí)題習(xí)題1) )求解細(xì)桿的導(dǎo)熱問題。細(xì)桿求解細(xì)桿的導(dǎo)熱問題。細(xì)桿長長l，初始溫度均勻?yàn)?，初始溫度均勻?yàn)閡0，兩端分別保持溫度，兩端分別保持溫度u1和和u2?？闪羁闪?212)0()()0(0uxuutluutuuauxxt，)(121uulxuw

4、u習(xí)題習(xí)題2可令可令其中其中l(wèi)xuuuuxwtlwtwwawxxt/)()0(0)()0(012102，0)0(0)()0(02，xutluAttuuauxxt)()(xgxfAtwulxlxlxaAlxglxxf236)(1)(2322lxlxlxaAlxwtlwtwwawxxt236)0(0)()0( 023222，習(xí)題習(xí)題3令令)()0()()0(sin)(0)0(002txuxxutESFtlutuuautxxxtt，tESFxftxwusin)()(0，其中其中axalaxfsincos)(alYSaxaFxxwxxwtlwtwwawtxxxttcossin)()0()()0(0)()0( 002， 8.4 泊松方程泊松方程 u=f( (x,y,z z) )基本思想：基本思想：( (1) ) 令令u=w+v ( (特解特解) )，且且v=f( (x,y,z z) ) 使使w=0為拉普拉斯方程；為拉普拉斯方程；( (2) ) 利用方程關(guān)于利用方程關(guān)于x，y，