高一數(shù)學輾轉相除法與更相減損術2

1、算算 法法 案案 例例第一課時1. 回顧算法的三種表示方法：回顧算法的三種表示方法：（1）、自然語言）、自然語言（2）、程序框圖）、程序框圖（3）、程序語言）、程序語言（三種邏輯結構）（三種邏輯結構）（五種基本語句）（五種基本語句）復習引入2. 思考：思考： 小學學過的求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法？小學學過的求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法？ 先用兩個公有的質因數(shù)連續(xù)去除，一直先用兩個公有的質因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質數(shù)為止，然后把所有的除到所得的商是互質數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來除數(shù)連乘起來.例：求下面兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)：例：求下面兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)：（1）求）求25和和35

2、的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)（2）求）求49和和63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)25（1） 5535749（2） 77639所以，所以，25和和35的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為5所以，所以，49和和63的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為7思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？例：如何算出例：如何算出8251和和6105的最大公約數(shù)？的最大公約數(shù)？新課講解：新課講解：一、輾轉相除法（歐幾里得算法）一、輾轉相除法（歐幾里得算法）1、定義：、定義： 所謂輾轉相除法，就是對于給定的兩個所謂輾轉相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為數(shù)，用較大的數(shù)除以

3、較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 2、步驟：、步驟： （以求（以求8251和和6105的最大公約數(shù)的過程為例）的最大公約數(shù)的過程為例）第一步第一步 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)8251=61051+2146結論：結論： 8251和和6105的公約數(shù)就是的公約數(shù)就是6105和和2146的公約數(shù)，求的公約數(shù)，求8251和和61

4、05的最大公約數(shù)，只要求出的最大公約數(shù)，只要求出6105和和2146的公約數(shù)就可以了。的公約數(shù)就可以了。第二步第二步 對對6105和和2146重復第一步的做法重復第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公約數(shù)也是的最大公約數(shù)也是2146和和1813的最大公約數(shù)。的最大公約數(shù)。 完整的過程完整的過程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例：例： 用輾轉相除法求用輾轉相除法求225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)225=1351+90135=

5、901+4590=452顯然顯然37是是148和和37的最大公約數(shù)，的最大公約數(shù)，也就是也就是8251和和6105的最大公約的最大公約數(shù)數(shù) 顯然顯然45是是90和和45的最大公約數(shù)，也就是的最大公約數(shù)，也就是225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 思考思考1：從上面的兩個例子中可以看出計：從上面的兩個例子中可以看出計算的規(guī)律是什么？算的規(guī)律是什么？ S1：用大數(shù)除以小數(shù)：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復：重復S1，直到余數(shù)為，直到余數(shù)為0 輾轉相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于輾轉相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于0才停止的步驟，這實際上才

6、停止的步驟，這實際上是一個循環(huán)結構。是一個循環(huán)結構。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過程用程序框圖表示出右邊的過程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否思考：你能把輾轉相除法編成一個計算機程序嗎？(1)(1)、算法步驟：、算法步驟：第一步：輸入兩個正整數(shù)第一步：輸入兩個正整數(shù)m,n(mn).第二步：計算第二步：計算m除以除以n所得的余數(shù)所得的余數(shù)r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,則則m,n的

7、最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于m； 否則轉到第二步否則轉到第二步. 第五步：輸出最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)m.(2)(2)、程序框圖：、程序框圖：開始開始輸入輸入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 輸出輸出m結束結束(3)(3)、程序：、程序：INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND二、更相減損術二、更相減損術 可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：第一

8、步：任意給定兩個正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。任意給定兩個正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。減數(shù)和差相等為止，則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。（1）、九章算術中的更相減損術：1、背景介紹：（2）、現(xiàn)代數(shù)學中的更相減損術：2、定義：、定義： 所謂更相減損術，就是對于給定的兩個所謂更

9、相減損術，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，再用較大的數(shù)減較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較去較小的數(shù)，反復執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原來兩個小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。數(shù)的最大公約數(shù)。例例: : 用更相減損術求用更相減損術求9898與與6363的最大公約數(shù)的最大公約數(shù). .解：由于解：由于6363不是偶數(shù)，把不是偶數(shù)，把9898和和6363以大數(shù)減小數(shù)，以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉相減并輾轉相減 98986363353563

10、6335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于7 7 3、方法：1、用更相減損術求兩個正數(shù)、用更相減損術求兩個正數(shù)84與與72的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 練習：練習：思路分析：先約簡，再求思路分析：先約簡，再求21與與18的最大公約數(shù)的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡的質因數(shù)然后乘以兩次約簡的質因數(shù)4。2、求、求324、243、135這三個數(shù)的最大公約數(shù)。這三個數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個思路分析：求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個數(shù)的最大公約數(shù)

11、，第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)，第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。(1)、算法步驟、算法步驟第一步：輸入兩個正整數(shù)第一步：輸入兩個正整數(shù)a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,則執(zhí)行第三步；否則轉則執(zhí)行第三步；否則轉到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b的差賦予的差賦予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b賦給賦給a,把把r賦給賦給b;否否則把則把r賦給賦給a，執(zhí)行第二步；，執(zhí)行第二步；第五步：輸出最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)b.*思考：你能根據(jù)更相減損術設計程序，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？(2)(2)、程序框圖、程序框圖開始開始輸入輸入a,bab?是是否否 輸出輸出b結束結束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是(3)(3)、程序、程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND比較輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別比較輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別（1 1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字上