【數(shù)學(xué)】2020.2.15三角函數(shù)和數(shù)列高考題1(2015-2019全國(guó)1卷)答案

1、2020.2.15三角函數(shù)和數(shù)列高考題學(xué)校 姓名： 班級(jí)： 考號(hào)： 一、選擇題（本大題共 10小題，共50.0分）1 . 記？分為等差數(shù)列?的前n項(xiàng)和.已知？= 0, ?= 5,貝心）A. ?= 2?- 5B. ?= 3?- 10 C. ?= 2?亨-8? D. ?= 2?- 2?【答案】A【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，關(guān)鍵是求出等差數(shù)列的公差以及首項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列?努的公差為d,則有4? + 6?二 0,求出首項(xiàng)和公差，然后求 ? + 4?= 5出通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和即可.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列?3?的公差為d,由？= 0, ?= 5,得4?

2、 + 6?= 0? = -3?+ 4?= 5，. ?= 2，.?= 2?- 5, ?= ? - 4?故選：A.2 .關(guān)于函數(shù)/但 ="i川上I + I血足有下述四個(gè)結(jié)論： ，一、一 ？是偶函數(shù)在區(qū)間（2,?彈調(diào)遞增在-?, ?肓4個(gè)零點(diǎn)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，結(jié)合絕對(duì)值的應(yīng)用以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.【解答】解：，則函是偶函數(shù)，故確；當(dāng)時(shí)，則數(shù)，故 錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，,得即或，由是偶函數(shù)，在上還有個(gè)零點(diǎn)，即

3、函數(shù)在-?,?肓3個(gè)零點(diǎn)，故 錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，取得最大值 2,故正確，故正確是，故選C.3 .記？?等差數(shù)列?的前n項(xiàng)和.若3?= ?+ ?,?= 2,則？=（）A. -12B. -10C. 10D. 12【答案】B【解析】 解：.？名為等差數(shù)列J ?的前n項(xiàng)和，3?= ?+ ?, ?= 2,.3 X(3? + ?？尸?+ ?+ ?+ 4? + ?把？ 二 2,代入得？?= -3.,.? =2+4 X（-3） = -10 .故選：B.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程，能求出 ？的值.本題考查等差數(shù)列的第五項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是

4、基礎(chǔ)題.4 .記？?等差數(shù)列?蓊的前n項(xiàng)和.若？+ ? = 24, ?= 48,則?為的公差為（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列公式及等差數(shù)列求和的基本量運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出?）的公差.【解答】解：？?為等差數(shù)列?）的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為d,. ?+ ?= 24, ?= 48,? + 3?+ ? + 4?= 24.6 X5,6? + ?= 48解得？= -2 , ?= 4,，?）的公差為4.故選C.5 .已知曲線？：，？：，則下面結(jié)論正確的是（）?.A.把？?上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到

5、原的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移 衛(wèi)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線?.B.把？?上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移石個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線?1?C.把？?上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原的 1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移召個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線? 1 . .一 ？ 一一D.把？?上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原的 2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移 石個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線?【答案】D【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：把？?上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原的 1倍，縱坐標(biāo)

6、不變，得到函數(shù)圖象, ？再把得到的曲線向左平移 在個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，即曲？，故選D.6.已知等差數(shù)列?前9項(xiàng)的和為27, ?0 = 8,則？?00 =()A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)已知可得?= 3,進(jìn)而求出公差，可得答案.【解答】解：設(shè)?圖的公差為d,.等差數(shù)列?日前9項(xiàng)的和為27,9(?+?3)9X2?=12 9 = -= 9?. .9? =27, ? = 3,又？?D = 8 = ?+ (10 - 5)?= 3 + 5?.?= 1,.?00 = ?+

7、95?= 98 .故選C.7.已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在(:?,!?5上單調(diào)，則？勺最大值為()18 36A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.根據(jù)已知可得？然正奇數(shù)，且?<12,結(jié)合為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，求出滿足條件 的解析式，并結(jié)合在(18?，36)上單調(diào)，可得？勺最大值.【解答】解：為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，2?+1 ?% ? 即 2?+1?2?_ ? (?e?)即？= 2?+ 1 , (? ?),即？效正奇數(shù)，? 5?5?在(石，36)上單調(diào)，則36 G=而W2,即？?=專產(chǎn)三,解彳導(dǎo):

8、?< 12,當(dāng)？= 11 時(shí)，?-I?l<2-，'?= 7此時(shí)在(J?，5不單調(diào)，不滿足題意；18 36當(dāng)？= 9時(shí)，?'|?l<2-，.?=?4,此時(shí)在（18?，56?）單調(diào)，滿足題意;故？勺最大值為9, 故選B.8. ?20 ° ?)? 160 ° ?7?加A.-B.1C. - 21D. 2【答案】D【解析】 解：？20° ?-?160° ?10°=?2?2? ° ?1?=?3?_ 1=2'故選：D.直接利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)的

9、應(yīng)用，基本知識(shí)的考查.9.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如 下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及 為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為 8尺，米堆的高為5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放的米約有（）A. 14 斛B. 22 斛【答案】B【解析】【分析】本題主要考查椎體的體積的計(jì)算，比較基礎(chǔ).根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的體積即可.【解答】?解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2?= 8,解得？?= 1?,故米堆的體積為4X1X?X （1-?

10、）2 X 5 320-,1斛米的體積約為1.62立方，32? .,-1.62 =22,故選：B.C. 36 斛D. 66 斛10.函數(shù)的部圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為AL答案】DC .【解析】 解：由函數(shù)的部圖象，可得函數(shù)的周期為 篝=2（ 4 - 1）= 2,.?= ?.根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點(diǎn)法作圖，可得?+ ?=即？?= ?,424由得，故單調(diào)遞減區(qū)為，選：D.由周期求出？?，由五點(diǎn)法作圖求出？可得的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的減區(qū)間.本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由周期求出？?，由五點(diǎn)法作圖求出？勺值;還考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共 8小

11、題，共40.0分）11.記？油等比數(shù)列?然的前【解析】【分析】本題主要考查等比數(shù)列前 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式, 算即可.【解答】1n項(xiàng)和.若？=可，? = ?,則？=3n項(xiàng)和的計(jì)算，結(jié)合條件建立方程組求出 q是解決本題的關(guān)鍵. 建立方程求出q的值，結(jié)合等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)解：在等比數(shù)列中，由？= ?,得（?？?）2= ?,即？?？= ?, 解得？?= 3,則？=3(1-3 5)121=51-312.記？克為數(shù)列?4的前n項(xiàng)和，若？?= 2?+ 1 ,貝U? =.【答案】-63【解析】【分析】本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題.先根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得 ?%是以-

12、1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)求和 公式計(jì)算即可.【解答】解：？?為數(shù)列?的前n項(xiàng)和，？?= 2?+ 1,當(dāng)？?= 1 時(shí)，？= 2?+ 1,解得？= -1 ,當(dāng)？? 2時(shí),?縱1 = 2?-1 + 1,由-可得？?= 2?- 2?3?-1，.?= 2?3?-1 ,.?>?是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,? =-1 X (1-2 6) =-63故答案為-6313.已知函數(shù)，則最小值是【答案】-32f2【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題.由題意可得？?= 2?星的一個(gè)周期，問題轉(zhuǎn)化為在0,2?讓的最小值，求導(dǎo)數(shù)計(jì)算極值和 端點(diǎn)值，比

13、較可得.【解答】解：由題意可得？?= 2?星的一周期，故只考慮在上的域，先求該函數(shù)在0,2?)上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得可解或，可此時(shí)，？或；的最小只能在，？或爭(zhēng)口邊界點(diǎn)中取到,計(jì)算可得？(§2, ?(?= 0 , ?(5-?) = - 2,?(0) = 0 , 232函數(shù)的最小值為故答案為：-U14.設(shè)等比數(shù)列?*滿足？ + ? = 10, ?+ ?= 5,則？ ?？?【答案】64【解析】【分析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，屬于中檔題.求出數(shù)列的公比與首項(xiàng)，化簡(jiǎn) 加.2? ? ?然后求解最值.【解答】解：等比數(shù)列?符滿足？+ ?= 10, ?+?= 5,設(shè)公比為q,一，r 一

14、.1可得？ + ? = ?+ ?) = 5,解得？?=萬，?+ ? = 10,解得? = 8,則？ ?？ ? ?= ?+2+3+?+ (?-1)1 ?(?-1)?2-?7?-?2=8?(2 = 2-=2，12當(dāng)？?= 3或？?= 4時(shí)，？ ? ? ?取得最大值：2T = 26 = 64,故答案為64.15.在平面四邊形 ABCD 中，/?2 /?=/?= 75°, ?= 2,貝U AB 的取值范圍是.【答案】(v6 - v2, v6 + v2)【解析】【分析】本題考查求AB的取值范圍，考查三角形中的幾何計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.【解答】如圖所示，延長(zhǎng) BA, CD交于點(diǎn)E

15、,則在?!?, /?=?105°, /?=?45°, /? 30°, .設(shè)，一 ？? ?,.? 2, ?而，.?的取值范圍是故答案為（笆-v2, v6+ v2）.16 .函數(shù)的最正周期是 .一、 ?【答案】2【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是合理使用二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.用二倍角公式可得，然用周期公式求出周期即可.【解答】解：, 一一 ?,的期？?= 2, ?故答案為2.17 .設(shè)等差數(shù)列?的前n項(xiàng)和為？?？若？ = -3 , ?= -10 ,則？ =, ?例最小值 為.【答案】0,-10【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的第 5項(xiàng)的求法，考查

16、等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的最小值的求法， 考查等 差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用等差數(shù)列?%的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，能求出 ？= -4 , ?= 1,由 此能求出？的？?期最小值.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列?號(hào)的前n項(xiàng)和為？% ? = -3 , ?= -10 , ? + ?= -3. 5? + 54 ?= -10 ,12解得? = -4 , ?= 1 ,. .? = ?+ 4?= -4 +4X1 = 0,”一 ”嗔?（?-1'上？（？-1）_ 19.2 81?= ?+ - ?= -4? + 二一=&（?- 2）-.?= 4或？?= 5時(shí)，？

17、?報(bào)最小值為？= ?= -10 .故答案為0, -10 .18 .已知數(shù)列?汛?？ C?）是等差數(shù)列J, ?藥是其前n項(xiàng)和.若?+ ?= 0,?= 27,貝U?的 值是.【答案】16【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題.設(shè)等差數(shù)列?的首項(xiàng)為？，公差為d,由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求解首項(xiàng)與公差，再由等 差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得？?的值.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列?)的首項(xiàng)為？，公差為d,(? + ?)(?+ 4?)+ ?+ 7?= 0 /口？ = 5 則c_ 9X8 C，解得?=-59? + ?= 27?= 28X 7? = 8? + 8 X(-5) +

18、28 X2 = 16.故答案為16.三、解答題(本大題共19. ?的內(nèi)角 A, B,5小題,共60.0分)C的對(duì)邊分別為a, b, ?：x l?'?'?% ?- ?=?求A；(2)若 v2?+ ?= 2?求 sinC.【答案】 解：(1) .”?的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.設(shè)化？?-?：?)/2?- ?則Sin2?+ sin2?- 2?=>?S>in,2?- ?，由正弦定理得：濟(jì)?2-?2.？?2?+?- ? = ?2?=0 < ?< ? . .?=?(2) .y?+ ?= 2? ?=?3'，由正弦定理得 2?f?7?=72?

19、v62?5+ Sin(y - ?)= 2?解得 sin(?- 6 = ?.?-=64'?= ?+?. ? (?+ ?) =Sin (46)?V2 V3v21 v6+ <2sin 4cos 6 +cos 4sin6 ="2"x"2"+"2"x2= -4-'【解析】(1)由正弦定理得：？+?-?=?再由余弦定理能求出 A.(2)由已知及正弦定理可得：sin(?- ?) = 可解得C的值，由兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解.本題考查了正弦定理、 檔題.余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中20.在平面四邊

20、形ABCD2, ? 5.求cos?(2)若？ 2 v2 求BC.【答案】 解：(1) . /?90°, /?= 45°, ? 5.中，/ ?90°, Z ?2?25，由正弦定理得:. 骨C= _ J 即= sin / ? sin / ? sin / ? ?452?45 °力 . .加/?_5_=/,.?< ? ./ ?/ ?c0s / ?，1 -(目一 ,。、無(2) . / ?90 , /.cosZ ?sinZ ?L_,.? 2v2,.?= V?+ ?- 2 x?< ?c0s/ ?=V25 + 8- 2X5X2 亞 Xt= 55【解析】本題

21、考查三角函數(shù)中角的余弦值、線段長(zhǎng)的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.(1)由正弦定理得 /赤?？?45求出sin/？?？?f，由此能求出cos？?(2)由/ ?90 °,得 c0s/ ?sin Z ?若，再由？ 2v2,利用余弦定理能求u-出BC.21. ?的內(nèi)角A, B，C的對(duì)邊分別為a, b, c，已知?面積為 一.求 sinBsinC;(2)若6?l?,?= 3,求?周長(zhǎng).【答案】解：由三角形的面積公式可得？?=? 2 ?*?.3?由正弦定理可得 3?. .? ?.?32. ) .6?1?1 .?=?.?:-二6- 32 &

22、#39;1. cos(?+ ?)= - 5,1. .?, 2.0 <?< ?.?=?3'?二= _ 二r_=_2?=?3二亙二2v3,? _ ? 2. .? = =-=-2? 2? (23)2123，.? 8,1 . ? = ?+ ?- 2?.? + ?- ? 9,2 .(?+ ?2 = 9 + 3? 9 + 24 = 33 ,.?+ ?= v33,.周長(zhǎng)？?+ ?+?= 3+ v3 .【解析】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，(2)根據(jù)兩角余弦公式可得 ?,即可求出？?= ?：再根據(jù)正弦定理可得 ? 8,根 23據(jù)余弦定理即可求出？?+ ?問題得以解決.22. ?內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 2?磔？?+?= ?(1)求角C的大?。?2)若？?= v7, ?面積為 多，求?周長(zhǎng)【答案】解：(1)已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2?(?+?整理得：2?z)(q?. .? sin(?+ ?)= ?1 .? .又0 < ?< ?.,.?= -3,(2)由余弦定理得7 =?+? - 2?1,.(?+ ?2 - 3? 7,. ?= 1 ? 3-3,24 2'.?