數(shù)值分析第一章誤差

1、1數(shù)數(shù) 值值 分分 析析林甲富林甲富2教材教材丁麗娟丁麗娟, 程杞元程杞元,數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法, 高等教育高等教育出版社出版社, 2011年年.3第一章第一章 數(shù)值計算中的誤差數(shù)值計算中的誤差1.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 1.3 數(shù)值計算中誤差的傳播數(shù)值計算中誤差的傳播1.4 數(shù)值計算中應注意的問題數(shù)值計算中應注意的問題 1.1 數(shù)值計算的內(nèi)容與特點數(shù)值計算的內(nèi)容與特點 4 數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復雜問題或運算輸入復雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算機計算機近似解近似解1.1 數(shù)值計算的內(nèi)容與特點

2、數(shù)值計算的內(nèi)容與特點 5 研究對象研究對象 那些在理論上有解而又無法手工計算的那些在理論上有解而又無法手工計算的數(shù)學問題數(shù)學問題 例例 解解300階的線性方程組階的線性方程組 求求6階矩陣的全部特征值階矩陣的全部特征值6主要內(nèi)容主要內(nèi)容 數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)近似求解線性方程組近似求解線性方程組 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩陣特征值的計算矩陣特征值的計算 數(shù)值逼近：數(shù)值逼近： 插值法插值法, 函數(shù)逼近函數(shù)逼近 數(shù)值微分與數(shù)值積分數(shù)值微分與數(shù)值積分 微分方程近似求解微分方程近似求解: 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 非線性方程求解非線性方程求解 71.2 誤差的基本概念誤差的基本概

3、念 誤差按來源可分為：誤差按來源可分為： 模型誤差模型誤差 觀測誤差觀測誤差 截斷誤差截斷誤差 舍入誤差舍入誤差 誤差：精確解與近似解之間的差誤差：精確解與近似解之間的差8 模型誤差模型誤差 數(shù)學模型通常是由實際問題抽象得到數(shù)學模型通常是由實際問題抽象得到的的, 一般帶有誤差一般帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為模型誤差模型誤差. 觀測誤差觀測誤差 數(shù)學模型中包含的一些參數(shù)通常是通數(shù)學模型中包含的一些參數(shù)通常是通過觀測和實驗得到的過觀測和實驗得到的, 難免帶有誤差難免帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為觀測誤差觀測誤差. 截斷誤差截斷誤差 求解數(shù)學模型所用的數(shù)值方法通常求解數(shù)學模型所用的數(shù)值

4、方法通常是一種近似方法是一種近似方法, 這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為截截斷誤差斷誤差或或方法誤差方法誤差.9 543251413121)1ln(xxxxxx實際計算時只能截取有限項代數(shù)和計算實際計算時只能截取有限項代數(shù)和計算, 如取前如取前5項有項有:5141312112ln 這里產(chǎn)生誤差這里產(chǎn)生誤差 (記作記作R5 )截斷誤差截斷誤差 8171615R例如例如, 利用利用 ln(x+1) 的的Taylor公式計算公式計算 ln2,10 舍入誤差舍入誤差 由于計算機只能對有限位數(shù)進行由于計算機只能對有限位數(shù)進行, e原則保留有限位原則保留有限位, 這時產(chǎn)生的誤差稱為這時產(chǎn)生

5、的誤差稱為舍入誤差舍入誤差。, 231等都要按舍入等都要按舍入運算運算, 在運算中像在運算中像在數(shù)值分析中在數(shù)值分析中, 均假定數(shù)學模型是準確的均假定數(shù)學模型是準確的, 因而不因而不考慮模型誤差和觀測誤差考慮模型誤差和觀測誤差, 只討論只討論截斷誤差截斷誤差和和舍入舍入誤差誤差對計算結果的影響對計算結果的影響.11 設設x* 是準確值是準確值x 的一個近似值的一個近似值, 記記e=x x*稱稱 e為近似值為近似值 x* 的的絕對誤差絕對誤差, 簡稱誤差簡稱誤差.絕對誤差一般很難準確計算絕對誤差一般很難準確計算, 但可以估計上界但可以估計上界. 絕對誤差絕對誤差則稱則稱 為近似值為近似值 x*

6、的的絕對誤差限絕對誤差限, 簡稱誤差限簡稱誤差限. 若若 滿足滿足 |e1.2.1 絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差12例例 用毫米刻度的米尺測量一長度用毫米刻度的米尺測量一長度 x, 如讀出的長度如讀出的長度是是 x*=765 mm, 由于誤差限是由于誤差限是 0.5 mm, 故準確值故準確值.mm5 .765,mm5 .764 x 精確值精確值x , 近似值近似值 x* 和誤差限和誤差限 之間滿足：之間滿足：通常記為通常記為 *xxx *xx 13 絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞, 如測量如測量 100 m 和和 10 m 兩個長度兩個

7、長度, 若它們的絕對誤若它們的絕對誤差都是差都是 1 cm, 顯然前者的測量結果比后者的準確顯然前者的測量結果比后者的準確. 因此因此, 決定一個量的近似值的精確度決定一個量的近似值的精確度, 除了要除了要看看絕對誤差絕對誤差外外, 還必須考慮還必須考慮該量本身的大小該量本身的大小.14稱稱 er 為近似值為近似值 x* 的的相對誤差相對誤差. 記記,*xxxxeer 由于由于 x 未知未知, 實際使用時總是將實際使用時總是將 x* 的相對誤差取為的相對誤差取為*xxxxeer .|rre 相對誤差相對誤差 稱為近似值稱為近似值x*的的相對誤差限相對誤差限. |*| xr 15例例 設設 x*

8、=1.24是由精確值是由精確值 x 經(jīng)過四舍五入得到的經(jīng)過四舍五入得到的近似值近似值, 求求x*的絕對誤差限和相對誤差限的絕對誤差限和相對誤差限.由已知可得由已知可得:所以所以 =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似凡是由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值值, 其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位.16有有 位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第 位位* 若近似值若近似值 x*滿足滿足 則稱則稱 x*準準確到小數(shù)點后第確到小數(shù)點后第n位位.

9、 并把從第一個非零數(shù)字到這并把從第一個非零數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字有效數(shù)字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：問：問： 有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？* 31050* .|解：解：431.2.2 有效數(shù)字有效數(shù)字17數(shù)數(shù)x*總可以寫成如下形式總可以寫成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作為作為x的近似值的近似值, 具有具有n位有效數(shù)字當且僅當位有效數(shù)字當且僅當nmxx 1021*其中其中m是整數(shù)是整數(shù), ai是是0到到9中的一個數(shù)字中的一個數(shù)字,. 01 a由此可見由此可見, 近似值的有效數(shù)字越多

10、近似值的有效數(shù)字越多, 其絕對誤差越小其絕對誤差越小. 有效數(shù)字的另一等價定義有效數(shù)字的另一等價定義18故取故取 n=6, 即取即取 6 位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 此時此時 x*=1.41421.解解則近似值則近似值x*可寫為可寫為由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 為了使為了使 的近似值的絕對誤差不大于的近似值的絕對誤差不大于105, 問應取幾位有效數(shù)字問應取幾位有效數(shù)字?2 x19 相對誤差限與有效數(shù)字之間的關系相對誤差限與有效數(shù)字之間的關系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.

11、x* 有效數(shù)字有效數(shù)字 相對誤差限相對誤差限已知已知 x* = 0.a1a2an10m有有 n 位位有效數(shù)字有效數(shù)字, 則其則其相對誤差限相對誤差限為為20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相對誤差限相對誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相對誤差限相對誤差限可寫為可寫為則則可見可見 x* 至少有至少有 n 位有效數(shù)字位有效數(shù)字.21 基本運算中基本運算中( )的誤差估計的誤差估計,105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 問問?|414. 1236

12、. 225| ?236. 2414. 152 1.3 數(shù)值計算中誤差的傳播數(shù)值計算中誤差的傳播如如22例例 計算計算 A=f (x1, x2). 如果如果x1, x2的近似值為的近似值為 x1*, x2*, 則則A的近似值為的近似值為 A*=f (x1*, x2*), 用多元函數(shù)微分近用多元函數(shù)微分近似公式可以得到似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 絕對誤差絕對誤差 e 運算可近似看成微分運算運算可近似看成微分運算.2

13、3由此可以得到基本運算中由此可以得到基本運算中( )的誤差估計的誤差估計,),()()(2121xexexxe 和差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限之和和差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限之和乘法相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限之和.25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xe

14、xexxxxexxexxxerrr 乘除相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限之和乘除相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 26例例 設設 y=xn, 求求 y 的相對誤差與的相對誤差與 x 的相對誤差之間的相對誤差之間的關系的關系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxenxxenxyyeyernnr 所以所以xn 的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的n倍倍.x2的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的 2 倍倍,x的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的 1/2 倍倍.2

15、7 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 一種數(shù)值算法一種數(shù)值算法, 如果其計算舍入誤差積累是可控如果其計算舍入誤差積累是可控制的制的, 則稱其為數(shù)值穩(wěn)定的則稱其為數(shù)值穩(wěn)定的, 反之稱為數(shù)值不穩(wěn)定的反之稱為數(shù)值不穩(wěn)定的.28 101dxexIxnn利用分部積分法可得計算利用分部積分法可得計算In的遞推公式的遞推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 計算積分計算積分算法算法1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此遞推計算由此遞推計算 I1, I2, , I9.解解291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn

16、10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119 eI由此計算由此計算 I8, I7, , I0.并將計算公式改寫為并將計算公式改寫為算法算法2：此時此時10121|1*99 eII.0316. 0 30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26

17、420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091631 對任何對任何 n都應有都應有In0, 但算法但算法1的計算結果顯示的計算結果顯示I8 (n+1)n!當當n=25時時, 在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為 首先首先, 若算法計算量太大若算法計算量太大, 實際計算無法完成實際計算無法完成(億年億年)13 40 其次其次, 即使是可行算法即使是可行算法, 則計算量越大積累的誤差則計算量越大積累的誤差也越大也越大. 因此因此, 算法的計算量越小越好算法的計算量越小越好.0111.)(axaxaxaxpnnnnn 若直接逐項計算若直接逐項計算, 大約需要乘法運算次數(shù)為大約需要乘法運算次數(shù)為2)1(12.)1( nnnn例例 計算計算n次多項式：次多項式：41一般地，對于一般地，對于n次次多項式將它改寫為多項式將它