數(shù)列知識點及常用結論

1、數(shù)列知識點及常用結論一、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的基本公式通項公式： ana1(n 1)d（從第 1 項 a1 開始為等差）anam(n m)d（從第 m項 am 開始為等差）前 n 項和公式： Snn(a1 an )n(n1)2na1d2（2）證明等差數(shù)列的法方定義法： 對任意的 n，都有 an 1 and （d 為常數(shù)） an 為等差數(shù)列等差中項法： 2an 1 an an 2 （ nN* ） an 為等差數(shù)列通項公式法： an =pn+q (p ，q 為常數(shù)且 p0) an 為等差數(shù)列即：通項公式位 n 的一次函數(shù)，公差 dp ，首項 a1 p q前 n 項和公式法： Sn pn2qn (

2、p ， q為常數(shù) ) an 為等差數(shù)列即：關于 n 的不含常數(shù)項的二次函數(shù)（3）常用結論若數(shù)列 an ， bn 為等差數(shù)列，則數(shù)列 an k ， kan ， anbn ， kanb (k ， b 為非零常數(shù) ) 均為等差數(shù)列 .若 m+n=p+q (m，n，p，qN * ) ，則 anam =ap aq .特別的，當 n+m=2k時，得 anam =2ak在等差數(shù)列 an 中，每隔 k(kN * ) 項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為(k+1)d( 例如： a1 ， a4 ， a7 ， a10仍為公差為3d 的等差數(shù)列 )若數(shù)列 an 為等差數(shù)列，則記 Ska1a2

3、ak ，S2 kSkak 1ak 2a2k ，S3k S2k a2k 1 a2k 2a3k，則Sk，S2kk ， 3k 2k仍成等差數(shù)列，且公差為k2dS S S若 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項和，則數(shù)列 Sn 也為等差數(shù)列 .nanS1 ,( n 1)此性質對任何一種數(shù)列都適用SnSn 1 ,( n2)求 Sn 最值的方法：I:若，公差，則當 ak0時，則Sn有最大值 且Sk最大；a1 >0d<0ak0,1ak0時，則 Sn 有最小值，且 Sk 最?。蝗?a1 <0，公差 d>0，則當0ak 1II：求前 n 項和 Snpn2qn 的對稱軸，再求出距離對稱軸最

4、近的正整數(shù)k ，當 nk 時， Sk 為最值，是最大或最小，通過 Sn 的開口來判斷。二、等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的基本公式通項公式： ana1 qn 1（從第 1 項 a1 開始為等比）anamqn m（從第 m項 am 開始為等差）前 n 項和公式： Sna1(1qn ) ,( q 1) ， Sn na1 ,( q 1)1q（2）證明等比數(shù)列的法方定義法： 對任意的 n，都有 an 1qan (an 0)an 1q (q 0) an 為等比數(shù)列an等比中項法： an2an 1an 1 （ an1an 10） an 為等比數(shù)列通項公式法： anaqn 1 (a,q是不為 0的常數(shù) ) an 為

5、等比數(shù)列（3）常用結論若數(shù)列 an ， bn 為等比數(shù)列，則數(shù)列 1 ， k an ， an2 ， a2n 1 ， anbn an anbn(k 為非零常數(shù) ) 均為等比數(shù)列 .若 m+n=p+q (m， n， p， q*，則anam = ap aq .N)特別的，當 n+m=2k 時，得 anam =ak2在等比數(shù)列 an 中，每隔 k(kN * )項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為 qk 1(例如： a1 ， a4 ， a7 ， a10仍為公比 q3 的等比數(shù)列 )若數(shù)列 an 為等差數(shù)列，則記Sk a1 a2ak ， S2k Skak 1ak 2a2k ， S

6、3k S2ka2k 1 a2k 2a3k ，則 Sk ， S2kSk ， S3kS2 k 仍成等比數(shù)列，且公差為 qk三、求任意數(shù)列通項公式an 的方法（ ）累加法： 若n+1n利用累加法求： a1an 滿足 a=a +f(n)n例題：若 a11 ，且 an 1an2n ，求： an練習題： 若數(shù)列 an 滿足 an1an2n10 ，且 a1 0（2）累乘法： 若 an 滿足 an1f (n)an 利用累乘法求： an例題：在數(shù)列 an 中， a11 , an1n1 an ，求： an .2n練習題： 在數(shù)列 an 中， a11且 annan 1 ，求： an（提示： 1 23 .n n!）（

7、3）遞推公式中既有 Sn ，又有 an ，用逐差法anS1n=1特別注意：該公式對一切數(shù)列都成立。SnSn 1n2（4）若 an 滿足 an1panq,( pq) ，則兩邊加： xq，在提公因式 P，構造出p1一個等比數(shù)列，再出求：an例題：已知數(shù)列 an ，滿足： an 12an1 ，且 a1 1，求： an習題 1：已知數(shù)列 an 滿足： an 13an1 且 a11，求： an習題 2：已知數(shù)列 an 滿足： a12 ，且 Sn ann ，求： an（5）若 an 滿足 an 1 panpn k ，則兩邊同時除以：pn 1 ，構造出一個等差數(shù)列，再求出： an例題：已知 an 滿足： a

8、11 an 12an2n 1 ，求： an解： an 12ann 1anan1，既有：anan122n 12n22n 12n2所以：an是首項為： a11 ，公差d1 的等差數(shù)列2n222an1(n 1)1n所以： ann2nn 2n 12n2222習題 1：已知 an 13an3n 1 且 a11，求： an習題 2：已知 an 12an3 2n1 且 a11，求： an（六）待定系數(shù)法： 若 an 滿足以下關系：an 1kanfn都可用待定系數(shù)法轉變成一個等比數(shù)列來：溫馨提示： 提 k ，對 f (n) 待定系數(shù)例題 1：已知數(shù)列 an 滿足 an 12an35n ， a1 6 ，求數(shù)列

9、an 的通項公式 .解： an 1 x5n12( an x5n )an 12an3x 5n ，與原式對應得， x 1所以： an5n是首項 a1511，公比 q2的等比數(shù)列既有： an 5n2n 1an5n2n 1例題 2：已知數(shù)列 an 滿足 an 13an52n4， a11，求數(shù)列 an 的通項公式 .解： an 1 x2n1y3(anx2ny)an 13anx 2n2 y ，與原式對應得： x5, y2所以： an52n2 是首項為：a15 212 13，公比 q3 的等比數(shù)列既有： an5 2n213 3n 1an13 3n 15 2n2（七）顛倒法： 若 an滿足： an 1C an

10、，用顛倒法；anC所以： 111，所以： 1 是以首項為：1 ，公差 d1的等差數(shù)列an 1anCana1C例題 1：已知 an 12 an ，且 a12，求： anan2例題 2：已知 an 1an3an 3an 1 ，且 a11，求： an（八）倒數(shù)換元法： 若數(shù)列 an滿足： an 1A an，則顛倒變成B anC1B anCC 1Ban 1A anA anA然后再用兩邊加：q或者待定系數(shù)法既可求出1，再顛倒就可得到： anp 1an例題：若數(shù)列an滿足： an12an，且 a11，求： anan3解： an 12an31311 ，兩邊加： 1 得： 113 13anan 12 an2a

11、n 12 an211131an 131)，1(an12an 121an所以：11是首項為： 112 ，公比： q3 的等比數(shù)列；ana12既有： 112 ( 3)n113n12n2an2n2an2an2n 23n 12n 2若用待定系數(shù)法： an 12an13111x3 ( 1x)an3an 12 an2an 12 an1x3 13 x13 11 x 與原式子對應得 x1 ，然后的方an 12 an2an 12 an2法同上；習題：已知3an1an 2an 1an 且 a11，求： an四、求前 n 項和 Sn 的方法（1）錯位相減求和n 項和；或者是等差與等比主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積

12、的數(shù)列的前的商的前 n 項和；（是商的時候，適當轉變一下就變成了乘積形式）。既：設 an 為等差數(shù)列， bn 為等比數(shù)列，求： anbn 或 an的前 n 項和常用此方法（ an都轉變?yōu)槌朔ebnbn形式）例題 1：已知數(shù)列 an2n ，數(shù)列 bn 的前n 項和 Sn22n ，求數(shù)列 an bn的前 n 項n和 T n例題 2：求數(shù)列 an3n1 的 anbn 的前 n 項和 Sn2n習題 1：求： Sn12422723.(3n2)2n習題 2：設數(shù)列 an(2 n1) ，求 an 的前 n 項和 Sn（2）裂項相消求和3n 1適用于 an1的形式，變形為： an11(11)n (n k )n (n k) k n n k例題：求數(shù)列 an1的前 n 項和 Snn(n1)習題 1：求數(shù)列 an1的前 n 項和 Snn( n2)習題 2：求數(shù)列1,1,1,的前 n 項和 .23nn121（ 3）、分組法求和 ：有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求，在進行加減；例題：求 an 3n 2n 1 的前 n 和 Sn ？習題 1：已知 an 是一個遞增的等差數(shù)列且 a2 a445, a1 a5 14 ， an 前 n 項和為 Sn數(shù)列 bn 22n 1 的前 n 項和為 Sn ，求數(shù)列 c