二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)名師課件

1、基礎(chǔ)教育同步課堂 1二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理： (a? ?b)? ?C a? ?C an0nn1 n? ?1nb? ?C a2nn? ?2 2b? ?C arnn? ?rb ? ? ?C brnnn2二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)： C,C,C0n1n2n,?,C,?,Crnn? ?1n,Cnn3楊輝三角形楊輝三角形 1 （a+b）1 1 1 （a+b）2 1 2 1 （a+b）3 1 3 3 1 （a+b）4 1 4 6 4 1 （a+b）5 1 5 10 10 5 1 （a+b）6 1 6 15 20 15 6 1 （a+b）7 1 7 21 35 35 21 7 1 （a+b）012nnnn CC

2、C Cn? ?2nCn? ?1nCnn二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩項(xiàng)的二的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。項(xiàng)式系數(shù)相等。 （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)镃? ?Cmnn? ?mn,C? ?C ,C? ?C0nnn1nn? ?1n,C? ?C2nn? ?2n?） 若若n為偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若最大，若n 為奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相為奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大。等并且最大。 n(n? ?1 )(n? ?1 )1解答解答: 證明：證明：C? ?1 ，C? ?n? ?C? ?n,C? ? ?Cn? ?,2? ?120

3、n1n0n2nn(n? ?1 )(n? ?2)n? ?2423n? ?3C? ? ?Cn? ?,Cn? ?Cn3? ?2? ?1343nC? ?Cknk? ?1nn? ?k? ?1kn? ?k? ?1n? ?1k所以：當(dāng)所以：當(dāng)? ?1 ,即即k? ?時(shí)，時(shí)，Cn遞增，遞增，k2n? ?1kk? ?1當(dāng)當(dāng)k? ?時(shí)，時(shí)，Cn? ?Cn,n為奇數(shù)，為奇數(shù)，2n? ?1k當(dāng)當(dāng)k? ?時(shí)，時(shí)，Cn遞減。（遞減。（k? ?0 ,1 ,2 ,? n）2 對每一個對每一個n,有有 C? ?C? ?C? ? ?C? ? 2on1n2nnnn證明：因?yàn)椋ㄗC明：因?yàn)椋╝? ?b）? ?C a? ?C annnn

4、onn1nn? ?1b? ?C a2nn? ?22? ?1b? ? ?C b ,令令a? ?b? ?1得得2? ?（1? ?1 ）? ?C? ?C? ?C? ? ?Cnn0n1n2nnn 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二n-1項(xiàng)式系數(shù)的和，且同為項(xiàng)式系數(shù)的和，且同為2。 證明：由證明：由(a? ?b)? ?C a? ?C a令令a? ?1 ,b? ? ? ?10n1nn0nn1nn? ?1b? ?C a2nn? ?22b? ? ?C bnnn得得2n3n4n0? ?C? ?C? ?C? ?C? ?C ? ?所以所以又又所以所以C? ?C? ?C? ? ?

5、C? ?C? ?C? ?C? ?C? ?C? ? ?C? ?20n2n4n1n0n1n2nnnn0n2n4n1n3n5nC? ?C? ?C? ? ?C? ?C? ?C? ? ?23n5nn? ?1（因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)镃? ?1? ?C ） 每一行的首尾每一行的首尾0nnn項(xiàng)為項(xiàng)為1， 每行除每行除1外、每個數(shù)都為它肩上兩外、每個數(shù)都為它肩上兩個數(shù)的和個數(shù)的和 （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)镃m? ?1n? ?C? ?C）mnmn? ?1總總 結(jié)：結(jié)： （1）性質(zhì)）性質(zhì)1與與2反映的是關(guān)于二項(xiàng)式系數(shù)的反映的是關(guān)于二項(xiàng)式系數(shù)的大小的規(guī)律大小的規(guī)律 0n1n2nnnnC（2） ? ?C? ?C? ? ?C? ?2 也是一個重

6、要性質(zhì)，也是一個重要性質(zhì)，反映了反映了n個無素的集合的子集個個無素的集合的子集個數(shù)為數(shù)為2。n131.求（求（1-x） 的展開式中的含的展開式中的含x的奇次項(xiàng)的系數(shù)的奇次項(xiàng)的系數(shù) 的和。的和。 解：（解：（1? ?x） ? ?1? ?C x? ?C x? ?C x1313131133135131311321323133? ? ?Cx? ?C? ?C? ?C? ? ?C? ? ? ?2121313? ? ? ?40962證明證明 C? ?C? ?C? ? ?C? ?20n2n4nnnn? ?1(n是偶數(shù)是偶數(shù))解：由解：由C? ?C? ?C? ?C? ?C? ? ?C0n2n4nnn1n0n1n2n3n4nn? ?1n? ?C? ?23n5nnnn所以所以 （C? ?C? ?C? ? ?C ） ? ?(C? ?C? ?C? ? ?C0n2n4nnn1n3n5nn? ?1n)? ?2n又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃? ?C? ?C? ? ?C? ?C? ?C? ?C? ? ?C0n2n4nnnn? ?1n? ?1n故故C? ?C? ?C? ? ? ?C? ?23求求 C? ?C? ? ?C1113111111解：由解：由 C? ?C? ?C? ?C? ? ?C? ?2011111211311111111且