四川理工學(xué)院2014級研究生有限元分析復(fù)習(xí)題參考答案

1、簡答題（20分）1、在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程的平衡微分方程、幾何方程和物理方程中分別運用了彈性力學(xué)的哪些基本假設(shè)？ （ 5分）平衡微分方程利用了連續(xù)性假定和小變形假定幾何方程也利用了連續(xù)性假定和小變形假定物理方程 利用了連續(xù)性假定、完全彈性假定、均勻性假定、各向同性假定 2、彈性力學(xué)的應(yīng)力分量在物體內(nèi)部和邊界上應(yīng)滿足什么條件才可能是解？應(yīng)滿足什么條件才是客觀的、真實存在的唯一的解？ （5分）3、試寫出平面問題的平衡方程、幾何方程、本構(gòu)（物理）方程。 （5分）解：平衡方程：e4 v ndx dy幾何方程：外=磊耳6工cy物理方程:J與一 "（0 + 6）%）1% =后%1片萬口1/獷=石

2、,4、在彈塑性力學(xué)中，用張量符號表示的方程2" " 0所代表的物理意義是什么？寫出方程的j 1 ,IJ全稱。（5分）二、計算題（80分）1、對于無體力的平面應(yīng)力問題,如果一組連續(xù)的位移函數(shù)u u（x,y）、v v（x, y）可作為問題的解，試證明該位移函數(shù)必須滿足2其中，2 x為泊松比。（20分）2、建筑在水下的墻體受水壓、 的比重為 。設(shè)應(yīng)力函數(shù)為集中力和集中力偶作用，如圖所示。已知墻體的端部與水平面等高，水-323Ay Bx Cxy Dx y3Ex。試求墻體的應(yīng)力分重。（20分）x3、已知一彈性力學(xué)問題的位移解為：2/ 22、u Z_（x y）;2a式中a為已知常數(shù)。試

3、求應(yīng)變分量，并指出它們能否滿足變形協(xié)調(diào)條件（即相容方程）4、設(shè)如圖所示三角形懸臂梁，只受自重作用，梁材料的容重為Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3O若采用純?nèi)味囗検?作應(yīng)力函數(shù)，式中 A、=Ay3+By25、矩形截面柱體承受偏心載荷作用，如果不計柱體臼身重量，則若應(yīng)力函數(shù)為試求應(yīng)力分量。設(shè) O點不動，且其任意微線元不轉(zhuǎn)動，求軸線的撓曲線方程。6矩形截面柱側(cè)面受均布載荷 q的作用，如圖所示。試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(不計體力)7、如下圖所示：為一由二桿組成的結(jié)構(gòu)(二桿分別沿X、丫方向)結(jié)構(gòu)參數(shù)：E(1) E 2 106kg/cm2,A(1)2A 2cm2。試寫出下列FEM分析(1)寫出各單元的剛

4、度矩陣；(2)寫出總剛度矩陣；(3)求出節(jié)點2的位移U2x、u2y ；(4)求各單元應(yīng)力。(20分)建筑在水下的墻體受水壓，軸向壓力尸和側(cè)向力尸作用，如圖所示。已知墻體的端部與水平面等高，水的比重為乃側(cè)向力與水平面距離為2兒設(shè)應(yīng)力函數(shù)為伊9=A'十五?7+或試求y =3h墻體截面的應(yīng)力分量e_ F根據(jù)邊界條件hy在 了 = 士 一處* er, R -ry, / =-2"6在 =0處,=24F在y=0處，自%刀加=2產(chǎn)我，£ =/在尸10處，g 工守dx * F t4C7A + Dh，= -AP .所以Z）由，c-親應(yīng)力分量為F 12F24 F3P 6尸 2T 工 -

5、）廠% 2h病墻體軸續(xù)在M方向的位移表達(dá)式為妙n 16勁/ + 10幼.3.已知一彈性力學(xué)問題的位移解為士 （13分）十城）”經(jīng)加一絲2a ； a ； <i ；式中z為已知常數(shù)，試求應(yīng)變分量，并指出它們直結(jié)滿足變形協(xié)調(diào)條件（即相容方程） 解：將位移分量代入幾何方程得；由于應(yīng)變分量是工的線性函數(shù)，固如它們必然滿足變形協(xié)調(diào)條件:dy2 dx2 為效 箱,十流J _七 a?a 方,辦也 d*十浜彳二出以 dx2 比: 法治士也+男.勾=2也 加Gx dy dz ） d 砂設(shè)如圖所示三角形懸臂粱，只,受自重作用，梁材料的容重為？若采用葩三次多項式, 二4 +R 1,+Cjy3+ 5/作應(yīng)力函數(shù)，

6、式中A. D. C、D為待定常贊您試乘此懸臂梁的應(yīng)力解, （15分）Xy第，* 0式代入V,夕二0 知福足,可檢應(yīng)力函域.用近的庖力分量為： CSC Fy = D. F廣丫 >a'<J = v -= 2Cx+ 6Dy&y2丐二翳一吊尸=644+2&-»% =-f= -2 殊-2Cydxqy邊界條件士±3力界：)=0,內(nèi)二。，%=0,代入上式得1且=b =心融界；，=求g% 良=% = 0, / = cos,第=-sina,貝i；-sin a(2cx + 6Dxtg 苗 + cos a(-2cxtg d) .= 0>cos at-yx

7、tg a) - sin a(-2cxtg a) = 0汽 tgyctg.L - U =-于是應(yīng)力解為:2 i3.q - yxctga- 2/jctg%y = -yy'% 二一4ctg 口5 .（類似）矩形截面后體承受褊心裁荷作用，如果不計柱體自身重最，則若應(yīng)力函斂為（P f=4t*bJ試求，a應(yīng)力分量和應(yīng)變分量;、，假設(shè)。點不動，且嚼點截面內(nèi)的任意微分愛段不能轉(zhuǎn)動，求其位移分量:c,軸線的位移一探曲線方程06 .（不全）矩形截面柱側(cè)面受均布載荷q的作用，如圖所示.試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量（不 計體力）.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為班=（月下“ + 15Km + 耿、叫=劭耳卜3%，g4.如圖所示三角形懸

8、臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。O解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為3ax12-bx y cxy,3 dy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為2x -T xfx 2cx 6dy, y2-yfy 6ax 2by gy, xxy2 2bx 2cy x y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。 力邊界條件。現(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個系數(shù)，是否能滿足應(yīng)上邊，y 0, l 0, m 1,沒有水平面力，所以有(xy)y 0 2bx 0對上端面的任意 x值都應(yīng)成立，可見b 0同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有(y)y 0 6ax 0對上端面的任意 x值都應(yīng)成立，可見a 0因此，應(yīng)力分量可以簡化為x

9、2cx 6dy , y gy, xy 2cy斜面，y xtan , l cos 一 2sin , m cos cos ,沒有面力，所以有l(wèi)x mvx.0xyxyxtanm y l x0yxyyxtan由第一個方程，得2cx 6dxtan sin 2cxtan cos 4cxsin 6dxtan sin 0對斜面白任意x值都應(yīng)成立，這就要求4c 6dtan 0由第二個方程，得2cxtan singxtan cos 2cxtan singxsin 0對斜面白任意x值都應(yīng)成立，這就要求由此解得從而應(yīng)力分量為gxcot設(shè)三角形懸臂梁的長為I,高為的分量為0,沿y方向的分量為2ctang 0 (1 分)

10、gcot (1 分)，d22 gycoth,則 tanglh 。因此,1.2gy, xy gycot所求根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束反力沿x在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零,x方向xy應(yīng)當(dāng)，一，1.合成為反力一 glh 。2h0 xdyglcot22 gycot2 , 2-dy glhcot gh cot0hxldy 0gycot dy1.2.1gh cot glh22可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。6.如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為,在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。"X解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)x 0。由此可知將上式對y積分兩次

11、，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,y fi(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得4 -4 -d f1(x) d f2(x)dx4dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的 自由項都應(yīng)該等于零，即y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和4 -d f(x)4 -d f2(x)dx4_3_ 2_f1(x) Ax3 Bx2 Cx I ,_3_ 2f2(x) Dx3 Ex2 Jx Kdx4這兩個方程要求代人應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得3232y( Ax Bx Cx) Dx Ex對應(yīng)應(yīng)力分量為y(6Ax 2B)6Dx 2E gyxyx y_

12、2 _3Ax2 2Bx C以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x 0, l 1, m 0,沿y方向無面力，所以有(xy)x0 C 0右邊，x b, l 1, m 0,沿y方向的面力為q,所以有2 (xy)x b 3Ab 2Bb q上邊，y 0, l 0, m 1,沒有水平面力，這就要求xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bn( xy)y 0dx 0將xy的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,則有：(3Ax2 2Bx)dx Ax3 Bx2 b Ab3 Bb2 0by在這部分邊界上合而0( xy)y 0 0dx °自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求 成的主矢量和主矩均為零，即bb0( y)y 0dx 0 ,0( y)y 0xdx 0將y的表達(dá)式代入，則有b