圓系方程及其應(yīng)用

1、圓系方程及其應(yīng)用一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以（a,b）為圓心的同心圓系方程：（xa）2十（y b）2 =1（九0）2222與圓x +y + Dx + Ey + F = 0同心的圓系萬程為： x +y + Dx + Ey 十九=o2、過直線 Ax + By + C = 0與圓 x2 +y2 + Dx + Ey +F = 0交點(diǎn)的圓系方程為： x2 + y2 + Dx + Ey + F +九（Ax + By + C） = 0 （九 w R）3、過兩圓C1:x2+ y2 +Dix +Eiy 十 Fi = 0, C2: x2+ y2 +D?x +E?y + F2 =o交點(diǎn)的圓系方程為：x2+

2、y2 +一一_2222一一一Dx + E1y +F 十九（x + y + D2x + E2y + F2） =0 （九 w - 1 ,此圓系不含 C2: x + y + D2x+ E2y + F2 =。）特別地，當(dāng) 九=1時，上述方程為根軸方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.注：為了避免利用上述圓 系方程時討論圓C2 ,可等價轉(zhuǎn)化為過圓G和兩圓公 共弦所在直線交點(diǎn)的圓 系方程：x2y2D1xE1yF1（D1-D2）x（E1-E2）y（F1- F2）=0二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例1求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=

3、0的交點(diǎn)，并且圓心在直線 x-y-4=0上的圓的方程。解一：求出兩交點(diǎn)（-1,3 ） （-6,-2 ）,再用待定系數(shù)法：1.用一般式；2 .用標(biāo)準(zhǔn)式。（注：標(biāo)準(zhǔn)式中可先求圓心的兩個坐標(biāo)，而圓心正好在兩交點(diǎn)的中垂線上。）解二：用兩點(diǎn)的中垂線與直線的交點(diǎn)得圓心：1 .兩交點(diǎn)的中垂線與直線相交；2 .過圓心與公共弦垂直的直線與直線相交；3 .兩圓心連線與直線相交。解三：利用圓系方程求出圓心坐標(biāo)，圓心在直線方程上，代入直線方程求解。例1、求經(jīng)過兩圓 x2 +y2 +3 x - y 2= 0和3x2 +3y2 + 2 x + y + 1 =。交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程.解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：

4、（x2 +y2 + 3 x - y -2） + 九（3x2 +3y2 + 2 x + y + 1） = 0（0, 0）在所求的圓上，有一2+九=o. 從而九=2故所求的圓的方程為： （x2 y2 3x - y - 2） 2（3x2 3y2 2x y 1） = 0即 7x2 +7y2 + 7 x+y=o。2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2 （1）:求過兩圓x2+y2 =5和（x 1）2+（y 1）2 =16的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出

5、兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩 圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問題。解：圓x2+y2 =5和（x1）2十（y _1）2 =16的公共弦方程為 2x + 2y11=0過直線2x +2y 11 = 0與圓x2 +y2 =5的交點(diǎn)的圓系方程為x2 +y2 -25 + M2x+2y-11） = 0 ,即 x2 +y2 +2九x+2九y _（1仇+25） = 0依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，_, r,11圓心（明九）必在公共弦所在直線 2x+2y11=0上。即2九一2九+11=0,則九=4代回圓系方程得所求圓方程（x-U）2 （y-11）2

6、=79448例2 （2）;求經(jīng)過直線l : 2 x + y +4= 0與圓C: x2+y2+2 x -4 y + 1 = 0的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程.解：設(shè)圓的方程為： x2+y2 + 2 x - 4 y+1+九（2x + y+4） = 0即 x2 + y2 + 2（1+九）x+（九一4）y +（1 + 4 九）=0 則 r2 = 1 4（1 + K）2+（九一 4）24（1+4 兒）】=（九一3）244558-222當(dāng)九= 時，r最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：5x +5y +26 x - 12 y +37= 05練習(xí)：1 .求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+

7、7=0的兩個交點(diǎn)且過原點(diǎn)的圓的方程。（常數(shù)項為零）222 .求經(jīng)過圓x+y+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且圓心在 x軸上的圓的萬程。（圓心的縱坐標(biāo)為零）3 .求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6 y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且面積最小的圓方程。（半徑最小或圓心在直線上）4 .求經(jīng)過圓x2+y2+8x-6y+21=0與直線x-y+5=0的兩個交點(diǎn)且與 x軸相切的圓的方程；并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。（圓心到 x軸的距離等于半徑）3、利用圓系方程求參數(shù)的值：例3：已知圓x2+y2+x6y+m = 0與直線x+2y3 = 0相交于P, Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OP -L OQ ,求

8、實(shí)數(shù)m的值。分析：此題最易想到設(shè)出 P(,y1),Q(x,y2),由OP_LOQ得到“十%丫2 = 0,利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程,由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于 m的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系OP_lOQ,不難得出O在以PQ為直徑的圓上。而 P, Q剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡化運(yùn)算過程。解：過直線x +2y -3 =0與圓x2 +y2+x -6y + m = 0的交點(diǎn)的圓系方程為：22x +y +x 6y+m+K(x+2y 3) =0 ,即22x +y +(1+兒)x+2(九一3)y + m 3Z = 0.1 1 依題意，O在以PQ為直徑的圓

9、上，則圓心 (,3K)顯然在直線x + 2y3 = 0上，則+2(3 K) 3 = 0,2 2解之可得 九=1又O(0,0)滿足方程，則 m3九=0,故m=3。4、利用圓系方程判斷直線與圓的位置關(guān)系：例4圓系x2 +y2 +2k x + (4k + 10) y +10k + 20= o ( k W R, k W- 1)中，任意兩個圓的位置關(guān)系如何？解：圓系方程可化為：x2 + y2 + 10 y +20+ k (2 x+4 y+10) = 0與k無關(guān)2x+4y + 10=0x+2y + 5 = 0、x2 + y2 + 10y+20 = 0 即：x2 +(y+5)2 =5易知圓心(0, -5)到直線x+2 y +5=0的距離恰等于圓 x2 +(y+5)2= 5的半徑.故直線