2016年度高考全國2卷理數(shù)試題(解析版)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷 1 至 3 頁，第n卷 3 至 5 頁 2答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置 3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效 4. 考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回 第I卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的. (1)已知z (m 3) (m 1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 (A) 3，1 (B) 1, 3 (C) 1, + (D) - ， 3

2、【解析】A /m 3 0， m 1 0， 3 m 1，故選 A. (2)已知集合 A 1，2 , 3，B x|(x (A) 1 ( B) 1，2 【解析】C B x x 1 x 2 0，x Z B 0 , 1，. AUB 0，1, 2 ,3， 故選 C.1)(x 2) 0，x Z，則 AUB (C) 0, 1, 2，3 (D) 1，0，1，2，3 (A) 8 (B) 6 (C) 6 ( D) 8 【解析】 D r r a b 4 , m 2 , r r r r r r (a b) b， 二 (a b) b 12 2(m 2) 0 解得 m 8 , 故選 D . 故選 A. (5)如圖，小明從街

3、道的 E 處出發(fā)，先到 F 處與小紅會(huì)合，再一起到位于 G 處的老年公寓參 加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 (A)24 ( B)18 (C)12 ( D)9 【解析】B (4 )圓 x2 2 y 2x 8y 13 0的圓心到直線 ax y 1 0 的距離為 1,則 a= (A) 4 3 (B) 3 4 (C) 3 (D) 2 【解析】 A 圓2 x 2 小 y 2x 8y 13 0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： 2 x 1 y 4 2 4 , a 4 1 4 r (3 )已知向量 a (1,m) , b=(3, 2), 且(a r b 1，解得a a2 1 E F有6種走法，F(xiàn) G有

4、3種走法，由乘法原理知，共 6 3 18種走法故選 B. (6)右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (A)20 n ( B)24 n ( C) 28 n ( D)32 n 【解析】C 幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設(shè)圓柱底面圓半徑為 r，周長(zhǎng)為c ,圓錐母線長(zhǎng)為|，圓柱高為h . 由圖得 r 2, c 2n 4n,由勾股定理得：I 22 2 3 4 , S表 n2 ch ；cl 4 n 16n 8 n 28n, 故選 C. n . n kn n , 令2 x kn+ ，得對(duì)稱軸方程：x k Z , 12 2 2 6 n 12個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為 (A

5、) x kn 2 n k 6 Z (B) x k n 2 n k Z 6 kn n , k n n , r (C) x k Z (D) x k Z 2 12 2 12 平移后n y 2sin2 x 12， (7 )若將函數(shù) y=2sin 2 x的圖像向左平移 【解析】B (8)中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法， 右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖 執(zhí)行該程序框圖, 故選 B.(8)中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法， 右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖 執(zhí)行該程序框圖, (A) 7 (B) 12 (C) 17 (D) 34 【解析】 C 第一次運(yùn)算: s 0 2 2 2, 第二次運(yùn)算: s 2 2 2 6，

6、 第三次運(yùn)算: s 6 2 5 17故選 C. n 3 (9)若 cos 4 ，貝U sin2 7 1 (A) 25 (B) 5 5 【解析】D 3 . c .cos sin 2 4 5， 故選 D. 1 7 (C) 5 (D) 25 n cos 2 2cos2 1 7 2 4 25若輸入的x 2， n 2，依次輸入的 a為 2，2，5，則輸出的s (10)從區(qū)間0, 1隨機(jī)抽取 2n個(gè)數(shù) Xi ,x2，Xn , y , y2，yn ,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì) 為, , 3 X2,y2 ， Xn, Yn，其中兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對(duì)共有 m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得 到的圓周率 的近似值為 4n 2n

7、4m 2m (A) m (B) m (C) n (D) n 【解析】C (D) 2 【解析】A 由題意X，Yi i , 1 的點(diǎn)均在 n (11 )已知 F , F2是雙曲線 E: Y2 1 的左, b 右焦M在E上, Mh與 x 軸垂直, sin MF2F1 ,則E的離心率為 (A) 離心率e F1F2 MF2 MF1，由正弦定理得 F1F2 MF2 MF1 sin M sin F1 sin F2 如圖所示的陰影中 C. n 1 2 2 (10)從區(qū)間0, 1隨機(jī)抽取 2n個(gè)數(shù) Xi ,x2，Xn , y , y2，yn ,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì) 為, , 3 (12 )已知函數(shù)f x x R滿足f

8、x 2 ，若函數(shù) Y 圖像的交點(diǎn) 故選 A. 2224 題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 4 5 (13 ) ABC的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若 cosA - cosC 5 13，a 1 則b 【解析】 21 13 .cos A 4 cosC 5 5， 13， sin A 3 sin C 12 5， 13， sin B sin A C 63 sin AcosC cos AsinC 65 由正弦定理得： b a解得 b 21 si nB si nA 13 ，那么 如果m , n / ，那么m n .為 X1 , y1 , X2, y2 , ?, Xm (A) 0 (B) m

9、 【解析】B 由f x 2 f x得f x 關(guān)于 x 1 而 y x 1 1 也關(guān)于 x 0, 1 m m m X Xi yi 01 i 1 i 1 ,ym ，貝y x yi () i 1 (C) 2m ( D) 4m 0, 1對(duì)稱， 對(duì)稱， y yi =2 , m 2 2 m，故選 B. 本卷包括必考題和選考題兩部分.第 1321 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第 (14 ) 是兩個(gè)平面, m , n是兩條線，有下列四個(gè)命題: 對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn) x x 0 如果m/ n, 1 ,那么m與所成的角和n與所成的角相等. 【解析】 （15 ）有三張卡片，分別寫有 1 和 2, 1 和 3 ,

10、2 和 3 .甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲 看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2 ”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的 卡片上相同的數(shù)字不是 1 ”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”, 【解析】（1,3） 由題意得：丙不拿（2 , 3）, 如果 a/ ，那么mil 則甲的卡片上的數(shù)字是 若丙（ 2），則乙（ 2，3），甲（1， 3）滿足, 若丙（ 3），則乙（ 2，3），甲（1， 2 ）不滿足, 故甲（ 3 ） ， （16）若直線 y kx b是曲線 y ln x 2 的切線, 也是曲線y In 1的切線，b 【解析】1 In 2 Inx 2的切線為: In x1 X1

11、 1 （設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 In x 1的切線為: 1 X2 1 x In x2 1 2 x X2 1 X2 In x In X2 X2 x2 1 X2 .b In x 1 1 In 2 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （17 ）（本小題滿分 12 分） x的最大整數(shù)，如 0.9 0， Ig99 1 . （1）求 b , bn , bo1 ； （n）求數(shù)列 tn的前1000項(xiàng)和. 【解析】設(shè) an的公差為d , S7 7a4 28 , 84 a a4 4, d - 1 , a a (n 1)d n . 3 巾 lg a1 lg1 0, bn lg an lg11 1 , bi

12、 1 lga101 101 2. 記 bn的前n項(xiàng)和為Tn，則壬。b Q 匕皿 T1000 0 9 1 90 2 900 3 1 1893 . （18 ）（本小題滿分 12 分） 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為 a （單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年 度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費(fèi) 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2a Sn為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，且 ai 1 , S7 28 記bn lg an，其中l(wèi)g a lg a? 當(dāng) 0 w lg a. 1 時(shí)，n 當(dāng) 1 w lg an 2 時(shí)，n 當(dāng) 2

13、 w lgan 3 時(shí)，n 當(dāng) lg an 3 時(shí)，n lg a1000 . 1, 2, , 9 ; 10, 11, , 99 ; 100, 101 , , 999 ; 1000 . 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (n)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出 60%的概率; (川)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 【解析】設(shè)續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)為事件 A , P(A) 1 P(A)

14、1 (0.30 0.15) 0.55 . 設(shè)續(xù)保人保費(fèi)比基本保費(fèi)高出 60%為事件 B , P(AB) MO 0.05 3 . P(A) 0.55 11 解：設(shè)本年度所交保費(fèi)為隨機(jī)變量 X . X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保費(fèi) EX 0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 0.255a 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a 0.1a 1.23a, 平均保費(fèi)與基本保費(fèi)比值為 1.23 . (19 )(本小題滿分 12

15、 分) 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, AB 5, AC 6，點(diǎn)E, F分別在AD , 5 . CD 上, AE CF , EF交BD于點(diǎn)H.將ADEF沿EF折到 D EF 的位置 OD 10. 4 (I)證明：DH 平面ABCD ; (II)求二面角B DA C的正弦值. zr 5 【解析】證明： AE CF 5 , 4 .AE CF AD CD， EF II AC . 四邊形ABCD為菱形, AC BD , EF BD , EF DH , EF D H . / AC 6 , AO 3 ； 又AB 5, AO OB , OB 4 , AE OH OD 1 , AO DH D

16、H 3, |0D |2 |OH|2 |DH 2, DH OH . 又 OH I EF H , DH 面 ABCD . 建立如圖坐標(biāo)系 H xyz . 7 5 25 ， sin 2 95 25 (20 )(本小題滿分 12 分) 2 2 X y 已知橢圓E: 1 的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k 0)的直線交E于A， t 3 M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA丄NA. (I)當(dāng)t 4 , AM AN時(shí)，求 AMN的面積; (II)當(dāng)2AM| |AN時(shí)，求k的取值范圍B 5, 0, 0 , C 1, 0 ,D 0 , 0 , 3 , A1, urn UUUT UUU AB 4 , 3 , 0 ,

17、 AD 1, 3, 3 , AC 0 , 6 , LT 設(shè)面 ABD法向量 n X, y, z , iu UUT X 3 AB 0 /曰 4x 30 廿 由 iu UULU 得 c c，取 y 4 , AD 0 X 33z 0 1 z 5 LT n3, 4 ,5 3, 0 , 0 , 同理可得面 ADC的法向IT UU IUn n2 cos 9 5 5 2 10 1 k2 2 2 當(dāng)t 4時(shí)，橢圓E的方程為1 , A點(diǎn)坐標(biāo)為 2 , 0 , 4 3 則直線AM的方程為y k x 2 . 2 2 x y 1 - - 1 2 2 2 2 聯(lián)立 4 3 并整理得， 3 4k x 16k x 16k

18、12 0 y k x 因?yàn)?AM | AN，k 直線AM的方程為 y k x t tk2 3 t 3 tk2 ， 因?yàn)? AM AN 解得 8 k2 6 4k 2，則 AM 1 k2 8k2 6 4k2 k2 12 3 4k2 因?yàn)?AM AN，所以 AN 1 12 k2 12 3k : 所以1 12 3 4k2 1 k2 3k 12 4， k 整理得 4k2 4k2 k 0 無實(shí)根，所以k 所以 AMN的面積為 1|AM I 12 3 4 144 49 2 x 聯(lián)立t y 2 J 1 3 k x t 并整理得, tk2 x2 2t tk2 3t 所以 AM 所以AN 1 k2 t tk2 3

19、 t 2 3 tk 2 6 t 2 tk 3k 所以 2 1 k2 6 t2 所以 3 tk2 6 t 3k t，整理得, k 6k2 k3 2 3k 【解解得 x a , t 0 , 2 (21 )(本小題滿分 12 分) 函數(shù) h(a)的值域. 【解析】證明: x xex 2ex ax 2a x 因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸, 所以t 3，即 2 6k 3k 3，整理得 (I)討論函數(shù) f(x) X x 2 x e 2 的單調(diào)性, 并證明當(dāng) 0時(shí), x (* * * * x 2)e 0； (II)證明：當(dāng) a 0,1) 時(shí), 函數(shù) g x x e ax a(x 0)有最小值 設(shè)g 的最小值為 h

20、(a),求 2 x x e 2 x 2 當(dāng) x U 2, 時(shí)，f x f x 2, 上單調(diào)遞增 -x 0時(shí), 2ex f x 2 2x e 4 x ax a 由知，當(dāng)x 0時(shí), x2 ex的值域?yàn)?，只有一解. a , t 0 , 2 當(dāng) x (0,t)時(shí) g (x) 0 , g(x)單調(diào)減；當(dāng) x (t,)時(shí) g (x) 0 , g(x)單調(diào)增10 2 25 2 t 1 t 2 et t 2 t2 h a k t 請(qǐng)考生在 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) (22)(本小題滿分 10 分)選修 4-1 :幾何證明選講 如圖，在正方形 ABC

21、D，E, G分別在邊DA，DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE= DG，過D點(diǎn) 作DF丄CE,垂足為F. (I) 證明：B, C, G, F四點(diǎn)共圓； (II) 若 AB 1 , E為DA的中點(diǎn)，求四邊形 BCGF的面積. 【解析】（I）證明：T DF CE RtDEF s Rt CED GDF DEF BCF DF CF DG BC DE DG , CD BC DF CF DG BC記kt門，在t 0,2時(shí)，k t et t 1 et et a t 1 CFB DFG GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90 GFB GCB 180 . B, C, G, F四點(diǎn)共圓. (n)T E 為 AD 中點(diǎn)，AB 1 , 1 DG CG DE 2