北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算；2 .掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過(guò)兩次）這兩種分解因式的基本方法;3 . 了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】* 提公因式法平方差公式 公式法一因式分解I-»|完全平方痣十字相乘法*分組分解法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多 項(xiàng)式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形, 而整式乘法是一種運(yùn)算.要點(diǎn)二、提公因式法把

2、多項(xiàng)式播n +*方+痛 分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m ,另一個(gè)因式是 （& + “已）,即?？?+喀8 +微1=憎, （a+0）,而（疫+5+e）正好是海&+海匕+M 除以m所得的商，提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律 要點(diǎn)三、公式法1 .平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：a2 b2 a b a b2 .完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.即 a2 2ab b2a b 2, a2 2ab b2 a b 2.形如a2 2ab b2 , a2 2ab b2的式子叫做完全平方式

3、.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊 是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和(或差)的平方 .(3)套用公式時(shí)要注意字母 a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以 是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)四、十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法pq c2對(duì)于一次二項(xiàng)式x bx c,若存在，則x bx c x p x qp q b分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因

4、式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解一一分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.要點(diǎn)五、因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項(xiàng)法等. 因式分解步驟(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；(2)如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；(3)如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解.(4)結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】類(lèi)型一、提公因式法分解因式O2 ,21、(2014 春陸州期中)6a (bT) 2(1b).【思路點(diǎn)撥】 直接提取公因式2

5、(b-1)2進(jìn)而得出答案.【答案與解析】解：6a (b-1) 2-2 (1-b) 2=2 (b - 1) 2 (3a-1).【總結(jié)升華】 此題主要考查了提取公因式法分解因式，注意( b-1) 2= (1-b) 2.類(lèi)型二、公式法分解因式 2 2 2、已知2x -3=0,求代數(shù)式x x x x 5 x 9的值.【思路點(diǎn)撥】 對(duì)所求的代數(shù)式先進(jìn)行整理，再利用整體代入法代入求解.【答案與解析】解：x x2 x x2 5 x 9,3223=x x 5x x 9,=4x2 9 .當(dāng) 2x3=0 時(shí)，原式=4x2 9 2x 3 2x 3 =0.【總結(jié)升華】本題考查了提公因式法分解因式，觀(guān)察題目，先進(jìn)行整理

6、再利用整體代入法求解，不要盲目的求出求知數(shù)的值再利用代入法求解.舉一反三：【變式】3a y 3a y是下列哪一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果()22222222A. 9a y B. 9a y C. 9a y D. 9a y【答案】C;33、在日常生活中，如取款、上網(wǎng)需要密碼，有一種因式分解法產(chǎn)生密碼，例如4422一，22x y xyxyxy,當(dāng) x=9, y = 9 時(shí)，x y=0, x y = l8, x y= 162,則密碼018162.對(duì)于多項(xiàng)式4x3 xy2,取x = 10, y =10,用上述方法產(chǎn)生密碼是什么？【思路點(diǎn)撥】首先將多項(xiàng)式4x3 xy2進(jìn)行因式分解，得至U4x3 xy2 x 2

7、x y 2x y ,然后把x = 10, y =10代入，分別計(jì)算出 2x y及2x y的值，從而得出密碼.【答案與解析】解：4x3 xy2 x 4x2 y2x 2x y 2x y ,當(dāng) x = 10, y=10 時(shí)，x = 10, 2x+y = 30, 2x - y = 10, 故密碼為 103010 或 101030 或 301010 .【總結(jié)升華】 本題是中考中的新題型.考查了學(xué)生的閱讀能力及分析解決問(wèn)題的能力，讀懂密碼產(chǎn)生的方法是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】利用因式分解計(jì)算(1) 16.9X1+15.1X1 (2) 6832 317288【答案】解：(1) 16.9X1 + 15.1 J8

8、8116.9 15.18=1 32 48(2) 6832 3172683 317683 317= 1000 X366=366000 .(1) a b 26ab 9；22 2xy x y22c 2c 22c4(3) x 2xy 2y x 2xy y .【思路點(diǎn)撥】 都是完全平方式，所以都可以運(yùn)用完全平方公式分解.完全平方公式法:a b 2 a2 2ab b2 .【答案與解析】-2斛：(1) a b 6 a b(2) 2xy x2 y22xy x2 y2，一、2222(3) x 2xy 2y x 2xy2=x 2xy【總結(jié)升華】 本題考查了完全平方公式法因式分解，(3)要兩次分解，注意要分解完全.

9、舉一反三：【變式】(2015春楚城區(qū)校級(jí)期末)分解因式：(1) (a2+b2) 2 - 4a2b2(2) (x2-2xy+y2) + (- 2x+2y) +1.【答案】解：(1) (a2+b2) 2-4a2b2=(a2+b2+2ab) (a2+b2-2ab)=(a+b) 2 (a- b) 2;(3) (x2-2xy+y2) + (- 2x+2y) +1=(x - y) 2- 2 (x - y) +1=(x y1) . 5、先閱讀，再分解因式：4422,22_222x44 x44x24 4x2(x2 2)22x x22x 2 x22x 2 ,按照這種方 法把多項(xiàng)式x4 64分解因式.【思路點(diǎn)撥】

10、 根據(jù)材料，找出規(guī)律，再解答.【答案與解析】解：x4 64 x4 16x2 64 16x2222=x 816x2 _ _2 .=x 8 4x x 8 4x .【總結(jié)升華】 此題要綜合運(yùn)用配方法， 完全平方公式，平方差公式，熟練掌握公式并讀懂題 目信息是解題的關(guān)鍵.類(lèi)型三、十字相乘法或分組分解法分解因式、將下圖一個(gè)正方形和三個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，請(qǐng)觀(guān)察這四個(gè)圖形的面積與拼成的大長(zhǎng)方形的面積之間的關(guān)系.(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：x2 px qx pq x2p q x pq ；(2)利用(1)的結(jié)論將下列多項(xiàng)式分解因式：x2 7x 10；y2 7y 12 .【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)一個(gè)正方形和三

11、個(gè)長(zhǎng)方形的面積和等于由它們拼成的這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積作答； (2)根據(jù)(1)的結(jié)論直接作答.【答案與解析】解：(1) x p x q(2) x2 7x 10 x 2 x 5 y2 7y 12 y 3 y 4【總結(jié)升華】本題實(shí)際上考查了利用十字相乘法分解因式.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積aga2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù) aga的積G, a ,并使a2G正好是一次項(xiàng)b ,那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀(guān)察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程.當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).舉一反三：【變式】已知 A = a 2 , B= a2 a 5 , C= a2 5a 19 ,其中 a >2.(1)求證：B-A>0,并指出