高等數(shù)學(xué)課件：3-9 曲率

1、 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）第五節(jié)第五節(jié) 曲率與曲率圓曲率與曲率圓一、弧微分一、弧微分 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)具有連內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，續(xù)導(dǎo)數(shù)， 為曲線上固定一點(diǎn)為曲線上固定一點(diǎn). .)(xfy ),(000yxM 規(guī)定：依規(guī)定：依 增大的方向作為曲線的正向增大的方向作為曲線的正向. .x為曲線上的任一點(diǎn)為曲線上的任一點(diǎn). .),(yxM令令)(0 xSMMS xy0M0 xxMxx M 有向弧段有向弧段：與曲線方向一致時(shí)：與曲線方向一致時(shí) 為正；當(dāng)與曲線方向相反時(shí)為正；當(dāng)與曲線方向相反時(shí) 為負(fù)，故為負(fù)，故 為為 的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù)SSxS 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）

2、 MMMMMMS00考慮考慮于是于是 22222xMMMMMMxMMxS 2222xyxMMMM 令令x0, 得得xy0M0 xxMxx M221)(yxs 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）由規(guī)定由規(guī)定所以所以2)(1)(xfxS 或或dxxfdS2)(1 （弧微分公式）（弧微分公式）0)( xs 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越弧段彎曲程度越大切線轉(zhuǎn)角越大大切線轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1、曲率的定

3、義曲率的定義1 )弧段彎曲程度與切線轉(zhuǎn)角成正比，弧段彎曲程度與切線轉(zhuǎn)角成正比，與弧與弧 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） S ) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率為為弧弧段段（設(shè)曲線設(shè)曲線C 是光滑的，是光滑的，.0是基點(diǎn)是基點(diǎn)M,sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C 在點(diǎn)在點(diǎn)M 處處的曲率的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdK 問題：曲率的定義是否合理？考察常見圖形：直線，圓。問題：曲率的定義是否合理？考察常見圖形：直線，圓。 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）2、曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式問題問題 (1) 直線的

4、曲率處處為零直線的曲率處處為零; ;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率處處相等圓上各點(diǎn)處的曲率處處相等. .,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ?0 直直k?常數(shù)常數(shù)圓圓 k例例 求函數(shù)求函數(shù) 的曲率的曲率. .bkxy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）,),(),(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例 求半徑為求半徑為R R的圓上任一點(diǎn)處的的曲率的圓上任一點(diǎn)處的的曲率. .Rk1 圓圓 高等數(shù)學(xué)

5、（上）高等數(shù)學(xué)（上）232222)(2rrrrrrK sin)(cos)(ryrx令令率公式立得。率公式立得。 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）MD三、曲率圓與曲率半徑k1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲曲率率半半徑徑 定義定義 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù). .1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大, ,曲線在曲線在該點(diǎn)處的曲率越小該點(diǎn)處的曲率越小( (曲線越平坦曲線越平坦););曲率曲率半徑越小半徑越小, ,曲率越大曲率越大( (曲線越彎曲曲線越彎曲)