必修一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)習(xí)題精選含問(wèn)題詳解15

1、一下載可編輯抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性1.抽象函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性例1.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f (x)在區(qū)間7,3上是()A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為 5 D.減函數(shù)且最大值為 5分析：畫(huà)出滿足題意的示意圖，易知選 B2、抽象函數(shù)的圖像求不等式的解集例2、已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足f(2) 0,并且f(x)在(，0)上為增函數(shù)。若(a 1)f(a) 0 ,則實(shí)數(shù)a的取值圍 二、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例3 .已知函數(shù)f(x)= g,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0,g(x)

2、 1g(1) =2,g(x)是增函數(shù).g(m)g(n) g(m n)(m,n R).求證：f(x)是R上的增函數(shù).解:設(shè)x1>x2因?yàn)?，g(x)是R上的增函數(shù)，且g(x)>0。故 g(x 1) > g(x 2) >0。g(x)+1 > g(x 2)+1 >0 ,> >0g(x2) 1g(x1)12- -2 >0。g(x2) 1g(x1)1f(x 1)- f(x 2)= g(x1) 1 - g(x2) 1 =1 2(12)g(x1)1g(x2) 1 g(x1)1g(x?) 1g(X2) 1 g(xj- >0。1可以推出:f(x 1)&g

3、t;f(x 2),所以 f(x)是 R上的增函數(shù)。例 4.已知 f(x)對(duì)一切 x, y,滿足 f (0) 0, f(x y) f (x) f(y),且當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 1,求證：(1) x 0時(shí)，0 f (x) 1；(2) f(x)在 R上為減函數(shù)。證明：對(duì)一切 x, yR有 f(x y) f (x) f(y)。且 f(0)0,令 x y0,得 f(0)1 ,現(xiàn)設(shè) x0,則 x 0, f( x) 1 ,而 f (0)f(x) f( x)11f ( x) 10 f (x) 1,設(shè) x1，x2 R且 x x2 ,f(x)則 0 f (x2 x1) 1, f (x2)f(x2 x1) x1f

4、 (x2 x1) f(x1) f(x1)f (x1)f (x2),即 f (x)為減函數(shù)。2 .證明奇偶性例5.已知f (x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(xy) f (x) f(y), 求證：f(x)是偶函數(shù)。分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1,得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f ( 1) f (x) f(x),故 f (x)是偶函數(shù)。三、求參數(shù)圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中， 關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域的增減性，去掉

5、" f”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組 求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例6.已知f(x)是定義在(1, 1)上的偶函數(shù)，且在(0, 1)上為增 函數(shù)，滿足f(a 2) f(4 a2) 0,試確定a的取值圍。解：f(x)是偶函數(shù)，且在(0, 1)上是增函數(shù)，f (xp£( 1, 0)上是減函數(shù)，.1 a 2 1 一由2得 73 aM5。1 4 a2 1(1)當(dāng)a 2時(shí)，f(a 2) f (4 a2) f(0),不等式不成立。(2)當(dāng) V3 a 2 時(shí)，f(a 2)f(4 a2)1 a 2 0f (a2 4)1 a2 4 0a 2 a2 4解之得，,3 a 2(3)當(dāng) 2 a

6、中15 時(shí)，f (a 2) f (4 a2)0 a 2 1 22f (a2 4)0 a2 4 1a 2 a2 4解之得，2 a -.5綜上所述，所求a的取值圍是(73, 2) (2,，5)四、不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例7.已知函數(shù)f (x)對(duì)任意x, y R有f (x) f(y) 2 f (x y),當(dāng)x 0 時(shí)，f(x) 2, f (3) 5,求不等式f(a2 2a 2) 3的解集。解：設(shè) x1、x2R且 x1x2 ,則*2 x10 f (x2 x1)2,則f(x2x1)2 0, f(x2) f(

7、x2 x)x f(x2x1)f(x1)2f (x1) f(X2)f(Xi),故 f(x)為增函數(shù)，又 f(3) f (2 1) f (2) f (1) 2 3f (1) 4 5f(1) 3 f (a2 2a 2) 3 f(1),即 a2 2a 2 11 a 3因此不等式f (a2 2a 2) 3的解集為a| 1 a 3。五、綜合問(wèn)題求解解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單 調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f”。例8.設(shè)函數(shù)y f(x)定義在R上，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 1,且對(duì)任意m, n, 有 f(m n) f (m)

8、f (n),當(dāng) m n 時(shí) f (m) f(n)。(1)證明 f(0) 1;(2)證明：f (x)在 R上是增函數(shù)；(3)設(shè) A(x, y)|f(x2) f(y2) f (1),B ( x, y)| f (ax by c) 1, a, b, c R, a 0,若 A B ，求 a, b, c 滿足的條件。解：(1)令 m n 0 得 f(0)f(0) f(0),f(0) 0 或 f (0) 1。若 f(0) 0,當(dāng) m 0 時(shí)，有 f (m 0) f (m) f (0),這與當(dāng) m n 時(shí)，f(m) f(n)矛盾， f (0) 1。(2)設(shè) x1x2,則 x2 xi 0,由已知得 f(x2 x

9、i) 1,因?yàn)?xi 0,f(x1)1 ,若 xi 0 時(shí)， xi 0, f( xi) 1 ,由 f (0) f (xi) f( xi)-1f(x1) 0, f(x2) f(x2 xi) f(x1) f() f(x)在R上為增函數(shù)。f( xi)(3)由 f(x2) f(y2) f(1)得 x2 y2 1 f (ax by c) 1 得 ax by c 0 (2)從(1)、(2)中消去 y得(a2 b2)x2 2acx c2 b2 0,因?yàn)?A B(2ac)2 4(a2 b2)(c2 b2) 0 即 a2 b2 c2。例9.已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù),且f(1) 1,若a,b 1,1時(shí)

10、,有咽獨(dú) 0. J)判斷函數(shù)f(x)在1,1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)， a b并證明你的結(jié)論；(2)解不等式：f(x+1)<f(，). 2 x 1解：(1)設(shè)任意x1, x2 1,1 ,且x1<x2.由于f (x)是定義在1,1上的奇函數(shù)， f (x2) f (x1)=f (刈+f ( x1).因?yàn)?x1<x2,所以 x2+( x1)于0,由已知有 f(x2) f ( x1) >0.x2+( x1)=x2x1>0x2( xj . f (x2)+f ( x1)>0,即 f (x2)>f(x1),所以函數(shù) f(x)在1, 1上是增函數(shù).1由不等式f(x+l)<f(')得 1 x 了 L解得一1<x<0,2x 1111x 11 1x -2 x 1即為