(完整版)角平分線的四大模型(Word版)

1、角平分線四大模型模型一：角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，P是/ MON勺平分線上一點，過點B則 PB=PA.P 作 PA± OMT點 A,PB± ON于點模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相 等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。例1: (1)如圖，在 ABC/C=90° , AD平分/CAB BG=6cm, BD=4cm,那么點D至U AB的距離是cm(2)如圖，已知/ 1 = /2, /3=/4,求證：AP平分/ BAC練習1如圖，在四邊形 ABCg, BOBA, AD=DC BD平分/

2、 ABC求證：/ BA*/C=180°練習2如圖， ABC的外角/ ACD勺平分線CP與內(nèi)角/ ABC的平分線BP交于點P,若/ BPC=40 ,則/CAP=()B. 45A. 40C. 50D. 60模型二：截取構(gòu)造對稱全等8 cDB DC如圖，P是/MON勺平分線上一點，點 A是射線OM上任意一點，在ON上 截取 OB=OA連接 PB,則OP?zOPA.模型分析：利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等、利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。例2: (1)如圖所示，在 ABC, AD是BAC勺外角平分線，P是AD上

3、異于點A的任意一點，試比 較PB+PCf AB+AC勺大小，并說明理由.(2)如圖所示.AD是 ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較 PC -PB與AC-AB的大小，并說 明理由.練習3已知： ABC中，/A=2/ B, CD是/ACB勺平分線，AC=16 AD=8求線段BC的長J DS練習 4 已知，如圖 AB=AC/A=108° , BD¥ 分 /ABC交 AC 于 D,求證：BG=ABCD練習5如圖，在4ABC中，/A=100° ,/ABG40° , BD是/ABC的平分線，延長 BD至E,使 DE=AD求模型三：角平分線 體線構(gòu)造等腰三角形如

4、圖，P是/ MON勺平分線上一點, AOB是等腰三角形。API OP于P點，延長AP交ONT點B,則模型分析：構(gòu)造次模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型敲門地把角平分線和三線合一聯(lián)系在一起。例3:如圖所示，已知等腰直角三角形 ABC中，/A=90° , AB =AC BD平分/ ABCCH BR 垂足為點E,求證：BD=2CE練習6如圖，在 AB。, BE是/ABC的角平分線，AD! BE,垂足為D,求證：/ 2=/ 1+/ C。練習 7 如圖，在ZXABC中，/ABG3/ C AD平分/ BACBE!AD于 E,

5、求證：BE=1(AGAB».當A* AC其他條件不變，如圖(2),則EF=B&CF還成立嗎？答：.模型四：角平分線 可行線 如圖，P是/MON勺平分線上一點，過點 P作PA/ON,交OM于點QJIJAPOQ 是等腰三角形.模型分析：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。例4:閱讀并完成以下問題：已知，zABC中，/ ABC / ACB的平分線相交于點O過點。作EF/ BC* AR AC于點E. F.當AB=AQ易證BEOtCFM等腰三角形，則有EF=B&CF(如圖1)當A

6、* AC時，作/ ABC的平分線與/ ACB勺外角/ ACD勺平分線CO交于O過O點作0日/ BC交AB于 E,交AC于F.如圖(3),這時EF與BE CF間的關(guān)系又如何呢？請寫出并證明你的結(jié)論？當AA AC時，作/ ABC勺外角平分線與/ ACB勺外角平分線或延長線交于 0,過0點作BC的平行線， 交AB延長線于E,交AC的延長線于F.請根據(jù)以上的要求畫出圖形，并直接寫出這時 EF與BE CF 問的關(guān)系？練習8 如圖，在 ABC中，/ABCffi/ACB的平分線相交于點 E,過點E作MN/ BC交AB于點M 交AC于點N.若BM+CN=9則線段MN勺長是.ABC練習9如圖，在ZXABCAD平分/ BACE、F分別在BD. AD上,且DE=CD EF=AC求證：EF/ AB練習