導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)一、 教 學(xué)內(nèi)容解析1、教材分析導(dǎo)數(shù)的幾何意義是人教A版選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§1.1.3的內(nèi)容，本節(jié)課為第一課時。微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，它開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為導(dǎo)數(shù)的概念的下位知識課，是學(xué)生掌握了上位知識平均變化率、瞬時變化率以及導(dǎo)數(shù)的概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步從幾何意義的角度理解導(dǎo)數(shù)的含義與價(jià)值， 體會逼近， 以直代曲和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。 同時，本節(jié)的學(xué)習(xí)也為下位知識導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此

2、，導(dǎo)數(shù)的幾何意義具有承前啟后的重要作用，是本章的關(guān)鍵內(nèi)容。2、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：逼近思想，以直代曲的思想。、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：1 ）會描述一般曲線的切線定義；2）會根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，并會用其分析描述“曲線在某點(diǎn)附近的變化情況”（二）過程與方法：1 ）通過觀察類比，合作探究，概括出一般曲線的切線定義；2）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的過程，體會逼近、類比、數(shù)形結(jié)合的思想方法。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 領(lǐng)悟有限與無限，量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受人類理性思維的作用。三、學(xué)生學(xué)情分析從知識儲備上看，學(xué)生通過了對實(shí)例的分析，經(jīng)歷了由平均變化率過渡到瞬時變化率

3、的過程，了解了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，從數(shù)上體會了“逼近”的思想；同時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的斜率與直線方程的相關(guān)知識。從學(xué)習(xí)能力上看， 教學(xué)對象是高二理科班的學(xué)生， 思維活躍， 具有一定的想象能力和研究問題的能力。經(jīng)過半年多的訓(xùn)練，學(xué)生逐步形成小組合作探究，代表上臺解釋概括總結(jié)的學(xué)習(xí)模式。從學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生已經(jīng)從實(shí)際意義，數(shù)值意義這些“數(shù)”的角度理解了導(dǎo)數(shù)，學(xué)生也渴求從幾何意義，即“形”的角度來理解導(dǎo)數(shù)，但學(xué)生對切線認(rèn)識存在一定的思維定勢“與曲線僅有一個公共點(diǎn)的直線是曲線的切線” 。教師需創(chuàng)設(shè)問題情境，采用類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生在概念上上升一個層次，由割線的逼近來定義一般曲

4、線的切線，從而突破教學(xué)難點(diǎn)： “逼近”思想。四、教學(xué)策略分析1、教法分析： “啟發(fā)探究式”教學(xué)法，教學(xué)中遵循教師主導(dǎo)、學(xué)生主體、探究主線，教師更多的是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維。2、學(xué)法指導(dǎo)：(1)自主學(xué)習(xí)(2)合作學(xué)習(xí)(3)探究學(xué)習(xí)對于活動一：形成一般曲線的定義，我先創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生對切線問題的注意與思考，接著引導(dǎo)學(xué)生開展觀察一一感知一一類比一一概括的活動。對于活動二：發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我采用探究發(fā)現(xiàn)法教學(xué)。依據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，我設(shè)計(jì)“問題串”以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，將“過定點(diǎn)P的割線 Pn P 在點(diǎn)P處的切線”由定性刻畫上升為定量刻畫，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)f'(Xo)的幾

5、何意義，同時，設(shè)計(jì)以導(dǎo)數(shù)為支撐和聯(lián)結(jié)點(diǎn)的知識網(wǎng)絡(luò)圖，構(gòu)建前后一致邏輯連貫的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。整個過程注重學(xué)生的參與意識，倡導(dǎo)學(xué)生采用自主、合作、探究的方式學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生勇于探索、勤 于思考的精神。教學(xué)過程中，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)主體。充分利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，通過超級畫板的動態(tài)演示，讓學(xué)生充分體會逼近的思想方法，這能使學(xué)生更好的理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。教學(xué)流程圖五、教學(xué)過程復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念活動一：形成一般曲線的切線定義活動二：發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和完善知識網(wǎng)絡(luò)圖例1:思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的學(xué)習(xí)任務(wù)，鞏固導(dǎo)數(shù)的幾何意義，生成以直代 曲的思想；

6、例2:加深導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解畫龍點(diǎn)睛：從知識、方法、思想三個方面進(jìn)行總結(jié)，一圖二義三思想A組感受理解B組思考運(yùn)用時 間教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖2分情回憶：我們是怎樣一代答：先學(xué)習(xí)平均變化率13鐘 , 境抽象出導(dǎo)數(shù)的概念的?講授：前面我們以物理為背 景，從“數(shù)”的角度研究了 導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在我們想從“形” 途徑來解讀導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)數(shù)的 幾何意義。導(dǎo)數(shù)，在17世紀(jì)，起 源于兩類問題：一、力學(xué)中 的速度問題，二、幾何學(xué)中 的切線問題。今天，我們從 切線問題入手，開始學(xué)習(xí)。f XoXf(Xo)令Xx 0 ,得到瞬時變化率f X0Xf(Xo)將lim ,俄X 0X由舊知引出著定義為導(dǎo)數(shù)f (x0)。問題，

7、既復(fù)習(xí)了舊知，又啟發(fā)學(xué)生思考，引出本節(jié)課課題。(1)初中時，我們怎樣定 義圓的切線和割線？li是否為曲線在點(diǎn)A處答：如果直線和圓有唯一公 共點(diǎn)，則這條直線叫做圓的 切線；若有兩個交點(diǎn)，則這 條直線叫做圓的割線。在學(xué)生思維 “最近發(fā)展 區(qū)”中提問， 先喚起學(xué)生 的回憶，然后 以問題引領(lǐng) 學(xué)生來到新 知識的生成 場景中。的切線？的12是否為曲線在點(diǎn) B處圖2(3)你能不能類比圓的 割線和切線的動態(tài)關(guān)系, 尋求一般曲線的切線？啟發(fā)：以前的切線定義不適 用于一般曲線。我們能不能 換個角度來觀察圓的割線 和切線？啟發(fā)：學(xué)生用動態(tài)的眼光觀 察圓的割線和切線；引導(dǎo)：學(xué)生結(jié)合前面探究的答：我覺得li不是曲線在

8、點(diǎn)A處的切線；對于12,我就 不敢確定。問題(2)的 設(shè)置不僅否 定了 “從交點(diǎn) 個數(shù)來定義 切線”的這種 推廣，而且引 發(fā)學(xué)生認(rèn)知 沖突，極大地 激發(fā)了學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣 和探究欲望。讓學(xué)生在獲 得直觀感知 的基礎(chǔ)上，通 過合作探索，經(jīng)驗(yàn)。舊知：當(dāng)t 0,平均速度趨 近于確定的值，這個確定的 值就是瞬時速度。當(dāng)X 0,平均變化率 趨近于確定的值，這個確定 的值就是瞬時變化率。追問學(xué)生形成概念的思路。講授：割線Pn P體現(xiàn)了逼近的思想, 質(zhì)變的辯證關(guān)系。幾何直觀：問：剛才從直觀上感知了“割線逼近切線”的變化過 程，進(jìn)一步，如何用數(shù)量關(guān)來表示這種變化？過定點(diǎn)P的割線在點(diǎn)P處的切線代數(shù)刻畫:量變與問

9、：如何寫出割線方程？引導(dǎo):設(shè)點(diǎn) P(X), 丫。) Pn(Xn，Yn)又因?yàn)檫@兩點(diǎn)都在曲線f(X)上P(Xo，f(Xo), Pn(Xn，f(Xn)對應(yīng)上節(jié)課的記法，Xn可以用XoX表示，所以Pn(X0X, f (XoX)。問：有了點(diǎn)的坐標(biāo)，接著如 何一步步寫出割線方程和 切線方程呢？答：當(dāng)PnP時，割線趨于確定的位置，這個確定位 置上的直線就是曲線在點(diǎn)P處的切線。學(xué)生口答前面的問題（2）答：割線逼近切線，用代數(shù) 刻畫就是研究割線方程和 切線方程的關(guān)系。答：由圖可知，割線經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Pn ,只要設(shè)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)就可以了。親身經(jīng)歷一 般曲線切線 的發(fā)生發(fā)展 過程，上升理 性思維，形成 切線定義，從

10、 而突破教學(xué) 難點(diǎn)：“逼近” 思想。使學(xué)生加深 對切線定義 的理解，消除 之前的認(rèn)知 沖突。學(xué)生經(jīng)歷由 定性刻畫到 定量刻畫的 過程，逐步學(xué) 會數(shù)學(xué)探究 的一般思想 方法，從而提 高學(xué)生的數(shù) 學(xué)思維能力發(fā) 現(xiàn) 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何息 義發(fā)舊知：經(jīng)過點(diǎn)Po(X0,yo), 且斜率為k直線的點(diǎn)斜式 方程為思考：1、如何寫出割線 ppn方 程？2、過定點(diǎn)P的割線ppn 逼近切線的過程中，割線 PPn方程的哪個部分的 值發(fā)生變化？變化的最 終結(jié)果是什么？3、如何寫出切線方程？4、導(dǎo)數(shù)f(X0)的幾何意 義是什么？完善知識網(wǎng)絡(luò)圖卜面請學(xué)習(xí)小組合作探究。追問：你是怎么得出切線方 程的？追問：為什么它是切線的

11、斜 率？講授：導(dǎo)數(shù)f (X0)的幾何意義是函數(shù)f(x)的圖像在答：y yo k(x Xo)(充分討論后，學(xué)生上臺投 影并作出解釋)答：1、f (Xo X) f (Xo) y f (Xo) (X Xo)X2、過定點(diǎn)P的割線PPn逼近切線的過程中，對應(yīng)方程中 f(XoX) f(Xo)的值X會發(fā)生變化；當(dāng)PnP ,即X o時，變化的最終結(jié)果是lim f(XoX) f(Xo) f '(Xo)X oX3、切線方程就是y yof'(Xo)(X Xo)答：根據(jù)點(diǎn)斜式，切線過點(diǎn)P,這lim f(XoX) f(Xo) f '(Xo)X oX是切線的斜率。答：因?yàn)樵诟罹€方程中，這(f (X

12、o X) f (Xo)部分 X是割線斜率，根據(jù)割線逼近 切線，所以割線斜率逼近切 線斜率。答：4、導(dǎo)數(shù)f (%)的幾何意義是函數(shù)f(X)的圖像在X Xo處切線的斜率。以問題串的 形式啟發(fā)引 導(dǎo)學(xué)生思考， 讓學(xué)生經(jīng)歷 從已知到未 知，步步深入 的過程。請學(xué)習(xí)小組 的代表上臺 投影展示討 論結(jié)果，提高 學(xué)生的概括 能力和表達(dá) 能力?，F(xiàn) 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何息 義 .石 笄 77 窗g1、1 !|i 產(chǎn)一1I4111 i1i 4PII 1I111111V1111ia ifi ；41|1111Iil410i41桓I 上 3Et工hJi Lqo tx Xo處切線的斜率。k f (X0)(k是曲線在x x0

13、處切線的斜率)問：目前，我們已經(jīng)從物理 意義，數(shù)值意義，幾何意義 三個方面理解了導(dǎo)數(shù)，你能 自主完善知識網(wǎng)絡(luò)圖嗎？答：割線斜率，切線斜率以導(dǎo)數(shù)為支 撐和聯(lián)結(jié)點(diǎn)， 引導(dǎo)學(xué)生從 不同的角度 對其加以認(rèn) 識；同時，網(wǎng) 絡(luò)化的知識 給聯(lián)想提供 線索和橋梁。.1-1i i1t141i a .B 椒 阜 M-J、_ .鼻*舄I *13分 鐘應(yīng)用拓展例1、如圖，某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn) 動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為f(t) sint(1)若 f', 42求f(t)的圖像在點(diǎn)t 一處的切線的斜 4率；(2 )若質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn),233(,)處的瞬時速321度為一，求f (t)的圖2學(xué)生獨(dú)立思考，完成例 1。自編了例1

14、, 是學(xué)生思維 最近發(fā)展區(qū) 內(nèi)的學(xué)習(xí)任 務(wù)：以學(xué)生熟 悉的簡諧運(yùn) 動為背景，從 正反兩個方 面讓學(xué)生加 深對導(dǎo)數(shù)幾 何意義的理 解。一，2像在點(diǎn)(一3,當(dāng)處的切2線的斜率和切線方程。O(3)若f (t)的圖像在t 處的切線方程為 2y 1 0,求 f '(y)；(4)請分別作出f (t)的2圖像在t ,處 4 3 2的切線。觀察圖像，在切 點(diǎn)附近，你發(fā)現(xiàn)曲線和切 線的變化趨勢有何關(guān)系 嗎？答：在切點(diǎn)附近，曲線和切 線的變化趨勢是一致的。培養(yǎng)同學(xué)們 數(shù)形結(jié)合的 能力；還為后 面引出“以直 代曲”的思想 做準(zhǔn)備。應(yīng)一 J問：這種一致性是直觀的。用拓展n進(jìn)一步，我們能不能用數(shù)量 關(guān)系來刻畫這

15、種一致性？講授：正由于“數(shù)”上的等， 解釋了 “形”上的一致性。講授：正由于相等，所以在 p點(diǎn)附近，切線是最貼近曲 線的那條直線。答：斜率k反映切線的升降變化情況，導(dǎo)數(shù)f'(x0)反映函數(shù)在Xo附近的變化情況，而k f'(xo),所以反映在圖形上他們的升降變化情 況是一致的。數(shù)形將圖像放大， 引導(dǎo)學(xué)生觀 察分析，族取 直觀感覺，再 從“數(shù)”方面 分析，培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù) 學(xué)思維習(xí)慣。突出數(shù)形結(jié) 合的思想。用關(guān)系圖將 之間的關(guān)系 顯現(xiàn)出來，學(xué) 生的思維更 加清晰。均線I :II / （金）*1在馬酎近曲曲的變比情祝+_a-4J從“形”到 “數(shù)”，一步 步深入，最后 生成“以直代

16、曲”的思想， 讓學(xué)生感受 到數(shù)學(xué)知識 的產(chǎn)生是水 到渠成的。講授：因此在點(diǎn)P附近，曲 線f(x)可以用在點(diǎn)P處的 切線近似代替。我們把這種 麗稱為“以直代曲”的思 想。以前在算法中，劉徽的 割圓術(shù)用的就是 “以直代 曲”，“逼近”的思想 來計(jì)算 圓周率。在這里“以直代 曲”的作用是：若要分析曲線在X0附近的變化情況，只有作出在X0處切線，分析該切線，得出k ,即知道f '(X0)，從而知道曲線在該點(diǎn)處升降變化情況。例2、如圖，它表示跳水 運(yùn)動中高度隨時間變化 的函數(shù)h(t) 4.9t2 6.5t 10的圖象。根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在t0, tl, t2附近增(減)以及增(減

17、)快慢的情況。學(xué)生用實(shí)物投影儀投影自己“學(xué)習(xí)單”上答案并解釋提供應(yīng)用性 情境，促進(jìn)知 識技能的遷 移。讓學(xué)生會利 用導(dǎo)數(shù)的幾 何意義解決 實(shí)際生活問 題，突出本節(jié) 課的教學(xué)重 點(diǎn)。3分鐘反饋升華課堂小結(jié)：請說一說你這節(jié)課印象 最深的部分。教師引導(dǎo)學(xué)生從知識、方 法、思想三個方面進(jìn)行總 結(jié)。講授：本節(jié)課我們從不同的 角度解讀了導(dǎo)數(shù)，通過類比 方法，學(xué)習(xí)了切線的定義和 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會了逼 近的思想和以直代曲的思 想，同時，數(shù)形結(jié)合的思想 貫穿始終。概括起來就是“一圖二義三思想”。一圖：知識網(wǎng)絡(luò)圖二義：1、切線定義2、導(dǎo)數(shù)幾何意義三思想：逼近的思想以直代曲的思想數(shù)形結(jié)合的思想學(xué)生自由說出自己這

18、節(jié)課 印象最深的一部分。讓學(xué)生自主 理清思路，進(jìn) 一步實(shí)現(xiàn)自 我評價(jià)。師生用“一圖 二義三思想” 進(jìn)行總結(jié)，朗 朗上口，方便 記憶。分層作業(yè)：A組感受理解,一2,一 一一 2,._1、 (1)求函數(shù)y x在xo 2處的導(dǎo)數(shù)，并回出曲線 y x在點(diǎn)P(2,4)處切線。(2)求函數(shù)y 2x 1在xo1處的導(dǎo)數(shù)，并畫出曲線 y 2x 1在點(diǎn)P( 1,3)處切線。布置可選擇 的作業(yè)集合， 以滿足不同 學(xué)生的不同 需求。2、理解探究導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義的過程。B組思考運(yùn)用1、課P8練習(xí)，P11B22、閱讀？理解：收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和牛頓、萊布尼茲的資料。板書§ 1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、切線的定義割線1 P切線(逼近思想)二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義f x0 x f(x0)1. f (xo) lim kx 0xk為曲線在x xo處切線