選修2-1空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、第三章空間向量與立體幾何1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的 向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2. 空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）加法結(jié)合律：（a b） c a數(shù)乘分配律：（a b） a b3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量 也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作ab。當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線（或abababbOabab共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向

2、量叫做共面向量。 說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。（2） 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件r是存在實(shí)數(shù)x, y使p xa yb。5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p， 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使p xa yb zc。若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,C叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三uuu uu uuu LUUT個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y,z，使OP xOA yOB zOC。6

3、. 空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)0,作，（兩個(gè)向 量的起點(diǎn)一定要相同），貝U叫做向量與的夾角，記作，且。7. 空間向量的直角坐標(biāo)系:(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y,z)，使OA xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)，記作A(x, y, z)， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。(2)右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn) 向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；(3)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量

4、互相垂直，且長(zhǎng)為i，這個(gè)基底叫單位正 、,r r r ”一交基底，用i, j,k表示。(4)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律： 卄rr若 a (ai,a2,a3)，bb2,a3b2,a3a3b3，(ai(aibi , a2bi,a2a2b2(bibb)，則t3)，bj，(ai >a2 >a3)(R)，a/baibi,a2b2,a3b3(R)或 aia2b2a3b3a b若A(Xi, %,乙)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐 標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。(5)模長(zhǎng)公式：若 a (ai,a2,a3)， b (»匕2,鳥)，貝U| a | . a a a, a2

5、2 a32， |b | b b . t2 b22 b3r r ra braibi a?b2 asd。1 a 1 |b 1aay 4bb7f2(7)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x), yi,zi)， B(x2,y2, z2)，uuu則 | AB|或 dA,B . (x2 x)2 (y2 Yi)2 (Z2 Zi)2a1b1a2b2asd0。uuuB(X2,y2, Z2)，則 AB 區(qū)2 2a2(6)夾角公式：cos； a bxi, y2yezi)。x xi)2 (y2 yi)2 (Z2 zi)2，(8 )空 間線段 Pi(xi, yi, z-), P2(x2,y2,z2)的中點(diǎn) M (x,y, z)

6、的 坐標(biāo)：2 2 2(9)球面方程：x2 y2 z2 R28. 空間向量的數(shù)量積。(1) 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)o,uuu r uuu rr rr r作OA a,OB b，貝U AOB叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ;且規(guī)定0 a,b，顯然有 a,b b,a ；若a,b，則稱a與b互相垂直，r 2記作：a b。uuu rumr(2) 向量的模：設(shè)OA a，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模， 記作:|a|。) ) ) )(3) 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則ia 11 b | cos a,b叫做a,b的數(shù)量 積，記作 a b，即 a b | a

7、 | ib | cos a, b 。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e |a|cos a,e 。a b a b o。向2 a a=(a)2，a j(a)2(5) 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律: (a) b 苗b) a(小。 a br b a (交交換律)。 a (b c) a b a c (分配律)。9、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用:AB 總代),。(bdbs) uuu uuu(1) 證明AB/CD，即證明AB/CD，也就是證明 印 忌b2,a3 b3或01 a_2D b2 b3uuu umr(2) 證明AB CD，即證明AB CD 0，也就是證明a1b1 a2b2 a3b3 0ujuuju(3

8、) 證明AB/ (平面)(或在面內(nèi))，即證明AB垂直于平面的法向量或證明 AB 與平面內(nèi)的基底共面；uuuuur(4) 證明AB，即證明AB平行于平面的法向量或證明 AB垂直于平面內(nèi)的 兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；(5) 證明兩平面 (或兩面重合)，即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的 法向量垂直于另一個(gè)平面；(6) 證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在另一個(gè)面內(nèi)。10. 運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題的步驟:(1)建坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(2) 求相關(guān)向量的坐標(biāo)(3) 運(yùn)用向量運(yùn)算解題11.用向量方法來(lái)解決立體幾何中的空間角的問題:(1)兩條直線的夾角：r r設(shè)直線l ,m的方向向量

9、分別為a,b ,兩直線l , m所成的角為 （0< < ）, cos-十十二coSa,b2a h'(2)直線與平面的夾角：設(shè)直線I的方向向量分別為a，平面 的法向量分別為u ,r r直線I與平面所成的角為(0 < w),sin(3) 二面角：0 方向向量法： 法向量法：法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角12.利用“方向向量”與“法向量”來(lái)解決距離問題(1)點(diǎn)與直線的距離：(2)點(diǎn)到平面的距離：d=| PuU n 1.|n|r如圖A ,空間一點(diǎn)P到平面的距離為d,已知平面的一個(gè)法向量為n,且uuu rAP與n不共線,分析：

10、過(guò)P作PO丄于O,連結(jié)0A.uuu uuu則 d=| PO |= | PA | cos APO .uuuruuu r/ PO 丄，n , PO / n .uuu r cos/APO=|cos PA,n |.um ruuuH uuu _|PAn. d=| PA |cos PA, n | =tu-|n|（3）異面直線間的距離：已知a,b是異面直線，CD為a,b的公垂線,A, B分別在直線a,b上（4）其它距離問題： 平行線的距離 （ 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離） 直線與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離） 平面與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離）13. 補(bǔ)充：（1） 三余弦定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且

11、BC丄AC垂足為C,又設(shè)A0與AB所成的角 為，AB與AC所成的角為，A0與 AC所成的角為則.（2）三射線定理 若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 , 與 二面角的棱所成的角是B,則有；（ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 ）.（3）點(diǎn)到直線距離（點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=,向量b=）.（4）異面直線上兩點(diǎn)距離公式（）.（兩條異面直線a b所成的角為其公垂線段的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn) E、 F， ,）.（5）三個(gè)向量和的平方公式（6）長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分 別為 , 則有（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例） .（7）面積射影定理（平面多邊形及其射影的面積分別是、 ，它們所在平面所成銳二面角的為 ）.（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是 , 側(cè)面積和體積分別是和 , 它的直截面的周長(zhǎng)和面積 分別是和,則. .（9）歐拉定理 （歐拉公式 ）（簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V棱數(shù)E和面數(shù)F）. =各面多邊形邊數(shù)和的一半 . 特別地 , 若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面1數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：E nF2 若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱