如圖,體積微元為dV=Axdx,則體積為PPT課件

1、 立體的體積立體的體積一一. 平行截面面積已知的立體體積平行截面面積已知的立體體積點(diǎn)點(diǎn)x且垂直于且垂直于x 軸的截面面積軸的截面面積.如圖如圖,體積微元為體積微元為dV=A(x)dx, 則體積為則體積為badxxAV)( 例例1 如圖如圖,從圓柱體上截下一塊楔形體從圓柱體上截下一塊楔形體,abx求其體積求其體積. 取取x為積分變量為積分變量,其變化范圍為其變化范圍為a,b. 設(shè)立體介于設(shè)立體介于x=a,x=b之間之間,A(x)表示過(guò)表示過(guò),tan)(21)(22 xRxA則則RRdxxRV tan)(2122 tan32|tan)31(21332RxxRRR邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為y和和ytan

2、.因此因此如圖如圖,過(guò)過(guò)x的截面是直角三角形的截面是直角三角形,解解-RRyxoxyxyoRh高為高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積.底邊長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)為2y,高為高為h.因此因此 ,)(22xRhyhxA則則202222cos2 hRdhRRRdxxRhV22過(guò)過(guò)x的截面是等腰三角形的截面是等腰三角形, 解解 如圖如圖, 例例2 求以圓為底求以圓為底,平行且等于底圓直徑的線(xiàn)段為頂平行且等于底圓直徑的線(xiàn)段為頂,badxxfV2)(稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體.則如前所述則如前所述,可求得截面面積可求得截面面積,)()(22xfyxA二二. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積則則 平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一

3、周而成的立體平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設(shè)旋轉(zhuǎn)體由圖設(shè)旋轉(zhuǎn)體由圖1的曲邊梯形繞的曲邊梯形繞x軸形成軸形成.yxaby=f(x)ox圖圖1 同理同理,如旋轉(zhuǎn)體由圖如旋轉(zhuǎn)體由圖2的曲邊梯的曲邊梯形繞形繞y軸形成軸形成.dcdyyV2)( ycoxdx=(y) 例例3 求如圖直角三角形繞求如圖直角三角形繞x軸軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積. 解解 可求得過(guò)點(diǎn)可求得過(guò)點(diǎn)O及及P(h,r)的直線(xiàn)方程為的直線(xiàn)方程為xhry 由公式得由公式得3|3)(2023220hrhxrdxxhrVhh yoxP(h,r)則體積為則體積為圖圖2圖圖3例例4 求星形線(xiàn)求星形線(xiàn))0(sinc

4、os33ataytax繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積解解 由對(duì)稱(chēng)性及公式由對(duì)稱(chēng)性及公式adxyV022 aaxy02262)sin(cos3sin2 dtttata20273)sin1 (sin6 dttta310532a 例例5 求圓心在求圓心在(b,0),半徑為半徑為a(ba)的圓繞的圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積體的體積. yxoba解解 圓的方程為圓的方程為222)(aybx,則所求體積可視為則所求體積可視為2222,yabxyabx曲邊梯形繞曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.aaaadyyabdyyabV222222

5、)()( adyyab0228 baayayayba2202222| )arcsin22(8 分別與直線(xiàn)分別與直線(xiàn)y=-a,y=a及及y軸所圍成的軸所圍成的則則例例 證明：由平面圖形證明：由平面圖形 )(0 xfy ,0bxa繞繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為ybadxxxfV)(2 柱殼法柱殼法就是把旋轉(zhuǎn)體看成是以就是把旋轉(zhuǎn)體看成是以y 軸為中心軸的軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的，一系列圓柱形薄殼組成的，即為圓柱薄殼即為圓柱薄殼當(dāng)當(dāng)dx很小時(shí)，此小柱體的高看作很小時(shí)，此小柱體的高看作f（x），），以此柱殼的體積作為體積元素，以此柱殼的體積作為體積元素，bayx)(

6、xfy 在區(qū)間在區(qū)間 上上,dxxx)(2xfdxxdV babadxxxfdVV)(2 柱殼體的體積元素為柱殼體的體積元素為 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)光滑曲線(xiàn)可應(yīng)用定積分求弧長(zhǎng)光滑曲線(xiàn)可應(yīng)用定積分求弧長(zhǎng). 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),則稱(chēng)曲線(xiàn)則稱(chēng)曲線(xiàn)y=f(x)為區(qū)間為區(qū)間a,b上的光滑曲線(xiàn)上的光滑曲線(xiàn),一一.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)光滑曲線(xiàn)方程設(shè)光滑曲線(xiàn)方程:)(),(bxaxfy可用相應(yīng)的切線(xiàn)段近似代替可用相應(yīng)的切線(xiàn)段近似代替.即即dxydydxs2221)()(則弧長(zhǎng)微元?jiǎng)t弧長(zhǎng)微元(弧微分弧微分)dxyds21故弧長(zhǎng)為故弧長(zhǎng)為dxysb

7、a21oyxdyabdxy=f(x)取取x為積分變量為積分變量,變化區(qū)間為變化區(qū)間為a,b.a,b內(nèi)任意小區(qū)間內(nèi)任意小區(qū)間x, x +d x的一段弧長(zhǎng)的一段弧長(zhǎng) 例例1 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)2332xy 相應(yīng)于相應(yīng)于x從從a到到b的一段弧長(zhǎng)的一段弧長(zhǎng).解解 dxyds21babaxdxxs|)1 (32123)1 ()1(322323abdxxdxx1)(1221例例2 求求dttyxcos2 的全弧長(zhǎng)的全弧長(zhǎng).解解 y=y(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閐xxdxxyscos1)(122222 2,2 ,故弧長(zhǎng)為故弧長(zhǎng)為:4|2sin242cos222020 xdxx二二. 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形設(shè)光滑曲線(xiàn)方程設(shè)光滑曲線(xiàn)方程:)( ,)()( ttytx弧長(zhǎng)微元弧長(zhǎng)微元dtttdydxds)()()()(2222 則如前所述則如前所述,dttts)()(22 例例4 求星形線(xiàn)求星形線(xiàn))20(sincos33 ttaytax的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).解解 由對(duì)稱(chēng)性及公式由對(duì)稱(chēng)性及公式dttts)()(42220 202sincos34 dtttaatatdtta6|sin6sincos1220220 202222)cossin3()sin(cos34 dtttatta例例4 求阿基米德螺線(xiàn)求阿基米德螺線(xiàn)r=a (a0)上上相應(yīng)于相應(yīng)于 從從0到到2 的一段弧長(zhǎng)的一段弧長(zhǎng).解