中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)附答案

1、中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)附答案一、二次函數(shù)一 21.如圖，已知拋物線 y ax bx c(a 0)的對(duì)稱軸為直線 x 1,且拋物線與x軸父于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(1,0), C(0,3).C兩點(diǎn)，求直線 BC和拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸 x 1上找一點(diǎn)M ,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和 最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)p為拋物線的對(duì)稱軸 x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使 BPC為直角三角形的點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的解析式為 yx2 2x 3 ,直線的解析式為y = x+ 3. (2)M( 1,2)； (3) P 的坐標(biāo)為(1, 2)或(1,4)或

2、(1 3 而)或(1 3 折). ，2，2【解析】分析：(1)先把點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b, c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得 a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出 a, b, c的 值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 y=mx+n,解方程組求出 m和n的值即可得到直線解析式；(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,此時(shí)MA+MC的值最小.把x=-1代入直線 y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn) M坐標(biāo)；(3)設(shè) P(-1, t),又因?yàn)?B (-3, 0) , C (0, 3),所以可得 BC2=18, Pd=(-1+3) 2+t2=4+

3、t2, PG= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).12aa1詳解：(1)依題意得:a b c 0,解得：b2,c 3c 32 一 _，拋物線的解析式為 y x 2x 3.對(duì)稱軸為x 1 ,且拋物線經(jīng)過(guò) A 1,0 ,，把B 3,0、C 0,3分別代入直線y mx n3m n 0得，解之得:n 3x 3.直線y mx n的解析式為y(2)直線BC與對(duì)稱軸x 1的交點(diǎn)為 M ,則此時(shí)MA MC的值最小，把x 1代入直線y x 3得y 2,M 1,2 .即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為 1,2 .MAMC的

4、值最小，所以答案未證明(注：本題只求 M坐標(biāo)沒說(shuō)要求證明為何此時(shí) MA MC的值最小的原因). BC2 18, PB2t2 4t2,PC2t2 6t 10,若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BC2PB2PC218t2t26t10解得:t 2,若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),BC2PC2PB2,即:18t26t10t2解得:若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，3 ,173，t2 一2PB2PC2BC2 ,即:t2t26t1018解得:172綜上所述P的坐標(biāo)為 1, 2或1,4t . 3 ,17或 1,2點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)(二次函數(shù)和一次函數(shù))的解析式、利用軸對(duì)稱性質(zhì)確定線段的最小長(zhǎng)度、難度不是很大，是

5、壓軸題.道不錯(cuò)的中考2.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (0, 3)、B (1, l: x=2,過(guò)點(diǎn)A作AC/ x軸交拋物線于點(diǎn) C, /AOB的平分線交線段 物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為 m.0),其對(duì)稱軸為直線AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋(3)設(shè) P 1,t ,又圖廢(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié) PE PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形 AOPE 面積最大，并求出其最大值；(3)如圖，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使4POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

6、由.【答案】(1) y=x2-4x+3. (2)當(dāng)m=5時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為 75 . (3) P 28點(diǎn)的坐標(biāo)為：Pi ( 3+叵，15), P2( 3 > , 1+括),P3 ( 5+Y5 , 1+5 ), 2222225 .51 .5、P4 (,).22【解析】分析：(1)利用對(duì)稱性可得點(diǎn) D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；(2)設(shè)P (m, m2-4m+3),根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn) G的坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；(3)存在四種情況：如圖3,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明OMPPNF,根據(jù)OM=PN列方程可

7、得點(diǎn) P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo).詳解：(1)如圖1,設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,由對(duì)稱性得：D (3, 0),設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x-1) (x-3), 把A (0, 3)代入得：3=3a,a=1,，拋物線的解析式；y=x2-4x+3；(2)如圖 2,設(shè) P (m, m2-4m+3), OE 平分/AOB, /AOB=90；/ AOE=45 ；.AOE是等腰直角三角形， .AE=OA=3,E (3, 3),易得OE的解析式為：y=x,過(guò)P作PG/ y軸，交OE于點(diǎn)G, . G (m , m),1 . PG=m- (m2-4m+3) =-m2+5m-3,S 四邊形

8、aope=Saoe+Sa POE,=1 X 3X 1+PG7AE,2 2=+ x 3X-m2+5m-3),2 2=-3m2+-m,22(m-5)2+75, 28-3<0,2當(dāng)m=勺時(shí)，S有最大值是2(3)如圖3,過(guò)P作MNy軸，交y軸于M,交l于N,0jOPF是等腰直角三角形，且 OP=PF易得OMPPNF,，OM=PN,1 P ( m , m2-4m+3),則-m2+4m-3=2-m ,解得：m=5+ 5 或 5J , 22.P的坐標(biāo)為(2,上正)或(5_J5, 1-5);2222如圖4,過(guò)P作MN，x軸于N,過(guò)F作FMXMN于M,同理得ONPPMF,.PN=FM,則-m2+4m-3=

9、m-2 ,解得：x=3+95或3-痣; 223+.51；5、t,3- v51+.5、P 的坐標(biāo)為（ ，）或（，）；2222綜上所述，點(diǎn)p的坐標(biāo)是：（5+Y5, 1+Y5）或（5石,上氈）或（3+近，222221+5)2點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第(2)問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第(3)問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題.3.新春佳節(jié)，電子鞭炮因其安全、無(wú)污染開始走俏.某商店經(jīng)銷一種電子鞭炮，已知這種 電子鞭炮的成本價(jià)為每盒 80元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種電子鞭炮每天的銷售量y (盒)與銷售單價(jià)x (元)有如下

10、關(guān)系：y=- 2x+320 (80WxW1§0.設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤(rùn)為 w元.(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該種電子鞭炮銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元？(3)該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得2400元的銷售利潤(rùn)，又想賣得快.那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1) w= - 2x2+480x - 25600 ; (2)銷售單價(jià)定為120元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大， 最大銷售利潤(rùn)3200元(3)銷售單價(jià)應(yīng)定為100元【解析】【分析】(1)用每件的利潤(rùn) x 80乘以銷售量即可得到每天的銷售利潤(rùn)，即w x 80 yx 80 2x 320 ,然后化為

11、一般式即可；一一 、一一一， ，2(2)把(1)中的解析式進(jìn)行配萬(wàn)得到頂點(diǎn)式w 2 x 1203200,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；2(3)求w 2400所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即解萬(wàn)程 2 x 1203200 2400.然后檢驗(yàn)即可.【詳解】(1) w x 80 y x 80 2x 320 ,_ 2_2x 480x 25600,2w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w 2x 480x 25600;2_2(2) w2x2 480x 256002 x 1203200,Q 2 0,80 x 160,，當(dāng)x 120時(shí)，w有最大值.w最大值為3200.答：銷售單價(jià)定為120元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)320

12、0元.2(3)當(dāng) w 2400時(shí)，2 x 1203200 2400.解得：入 100, x2 140. 想賣得快，X2 140不符合題意，應(yīng)舍去.答：銷售單彳應(yīng)定為 100元.4. (12分)如圖所示是隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12 m,寬是4m.按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=二x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn) C到6OB的水平距離為3 m,到地面OA的距離為17 m.2(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂 D到地面OA的距離；(2) 一輛貨運(yùn)汽車載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過(guò)？(3)在拋物線型拱壁上需要

13、安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度(2)兩排燈的水平距離最小是4芯m .不超過(guò)8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米？1 2-X2+2X+4,拱頂D到地面OA的距離為10 m；6【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)點(diǎn) B和點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，利用彳f定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2,0)(或(10,0),然后求出當(dāng) x=2或x=10時(shí)y的值，與6進(jìn)行比較大小，比 6大就可以通過(guò)，比 6小就不能通過(guò)；將 y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進(jìn)行做差得出 最小值.17 , ,試題解析:1)由題知點(diǎn)B(

14、0,4),C3,17在拋物線上c 4所以1722-x2 2x 46 b 2 1,解得 ，所以y9 3b c c 46b _所以，當(dāng)x 6時(shí)，y三t 102a心12答：y x 2x 4,拱頂D到地面OA的距離為10米6（2）由題知車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0）22 一一 一當(dāng)x=2或x=10時(shí)，y 一 6,所以可以通過(guò)31 2令y 8,即x 2x 4 8,可得x2 12x 24 0,解得 6x1 6 2 3,x2 6 2 3x x2 4 3答：兩排燈的水平距離最小是4 3考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.5. 一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），拱高6m,跨度20m,相鄰兩支柱間

15、的距離均為5m.2（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖所示），其表達(dá)式是y ax c的形式.請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a, c的值.（2）求支柱MN的長(zhǎng)度.（3）拱橋下地平面是雙向行車道 （正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排 行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì)）?請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.5.5米；（3） 一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.試題分析：（1）根據(jù)題目可知 A. B, C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解.（2）設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5, yN）可求出支柱 MN的長(zhǎng)度.（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和.做 GH垂直AB交拋物線于H則可求 解.試

16、題解析：（1）根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是（-10,0）、（0,6）、（10,0）.將B、C的坐標(biāo)代入y ax2 c ,得6 c,0 100a c.-3解得a,c 6.50拋物線的表達(dá)式是 yx2 6.50(2)可設(shè) N(5, Yn),于是 yN 52 6 4.5.50從而支柱 MN的長(zhǎng)度是10-4.5=5.5米. 設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則 G 點(diǎn)坐標(biāo)是(7,0)(7=2 R 2X3).31過(guò)G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H,則yH 72 6 3 3 .5050根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車6.某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是3元，經(jīng)

17、市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售單價(jià)為 40元時(shí)，可售出600個(gè)；銷售單價(jià)每漲1元，銷售量將減少10個(gè)設(shè)每個(gè)銷售單價(jià)為 x元.(1)寫出銷售量y (件)和獲得利潤(rùn) w (元)與銷售單價(jià) x (元)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1) y= - 10X+1000； w= - 10X2+1300X- 30000(2)商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是8640元.【解析】【分析】(1)利用銷售單價(jià)每漲 1元，銷售量將減少10個(gè)即可表示出y=600- 10 (x-40),再 利用w= y? (x-

18、 30)即可表示出 w與x之間的關(guān)系式；(2)先將w= - 10X2+1300X- 30000變成頂點(diǎn)式，找到對(duì)稱軸，利用函數(shù)圖像的增減性確定在44WXW46圍內(nèi)當(dāng)x=46時(shí)有最大值，代入求值即可解題.【詳解】解：(1)依題意，易得銷售量 y (件)與銷售單價(jià) x (元)之間的函數(shù)關(guān)系：y= 600- 10 (x-40) =- 10X+1000獲得利潤(rùn)w (元)與銷售單價(jià) x (元)之間的函數(shù)關(guān)系為：w = y? (x- 30) = ( 1000-10x) (x- 30) = - 10X2+1300X- 30000(2)根據(jù)題意得，x*4寸且1000 - 10x540解彳導(dǎo):44WxW46w=

19、- 10x2+1300x- 30000= - 10 (x- 65) 2+12250,. a= - 10V 0,對(duì)稱軸 x=65當(dāng)44 w x <0中,6 y隨x的增大而增大當(dāng)x= 46時(shí)，w最大值=8640兀即商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是8640元.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度較大，求解二次函數(shù)與利潤(rùn)之間的關(guān)系時(shí)，需要用代數(shù)式表示銷售數(shù)量和銷售單價(jià)，熟悉二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵27.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y x 1與拋物線y x bx c交于AB兩點(diǎn)，其中A m,0 ,B 4,n .該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.ffilNI2M3(1)求

20、m> n的值及該拋物線的解析式；(2)如圖2.若點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A D重合).分別以AP、DP為斜邊，在直線 AD的同側(cè)作等腰直角 APM和等腰直角 DPN，連接MN ,試確定 MPN面積最大時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖3.連接BD、CD，在線段CD上是否存在點(diǎn)Q,使得以A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形 與 ABD相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) yx2 6x 5; (2)當(dāng)m 2 ,即AP 2時(shí)，S mpn最大，此時(shí)-7 8OP 3,所以P 3,0 ； (3)存在點(diǎn)Q坐標(biāo)為2,-3或一,-一.3 3【解析】分析：(1)把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)

21、解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出 b與c的值即可；(2)由等腰直角 4APM和等腰直角DPN,得到/MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形 MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時(shí)P的坐標(biāo)即可；(3)存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出 AQ的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出Q坐標(biāo)即可.詳解：(1)把 A (m, 0) , B (4, n)代入 y=x-1 得：m=1, n=3, ，A (1, 0) , B (4,3) .o1 b c 0b 6y= - x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)B,解得：，則二次函數(shù)解16 4b c 3c 5析式為 y= - x2

22、+6x - 5;(2)如圖2, 4APM與4DPN都為等腰直角三角形，/ APM=/ DPN=45 °,，/MPN=90；. AMPN 為直角三角形，令- x2+6x- 5=0,得至U x=1 或 x=5,. D (5, 0),即 DP=5- 1=4,設(shè) AP=m,則有 DP=4m, .PM=21m, PN= (4m),Sampn= PM?PN=- x/mg (4m) = - m2- m= - (m 2) 2+1 ? .當(dāng)m=2,即 AP=2 時(shí)，Smpn最大，此時(shí) OP=3,即 P (3, 0)；(3)存在，易得直線 CD解析式為y=x- 5,設(shè)Q (x, x-5),由題意得： /

23、BAD=/ADC=45 ；分兩種情況討論：當(dāng)ABA4DAQ時(shí)，jab=_bd 即3也=一上 解得：AQ=8/2由兩點(diǎn)間的距離 DA AQ 4 AQ33333BD一T=1,即 AQ=V10 ,(x1) 2+ (x 5) 2=10,解得:AQ78公式得：(x-1) 2+ (x-5)邑128,解得：x=7,此時(shí) Q (7, - §);當(dāng)ABDsDQA 時(shí)，x=2,此時(shí) Q (2, - 3).綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2, - 3)或(一，-一).33點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的 圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握各自的

24、性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.8.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 2, 0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 1), 1 如圖，直線y= -x與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，直線l為y=-1.4(1)求拋物線的解析式；(2)在l上是否存在一點(diǎn) P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)知F (X0, y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M (m, n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn) F的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為y=1 x2- x+1. （ 2）點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（關(guān)，1）. （3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1）.分析：（1

25、）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0）,可設(shè)拋物線的解析式為y=a （x-2） 2,由拋物線過(guò)點(diǎn)（4, 1）,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;（2）聯(lián)立直線 AB與拋物線解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B；連接AB'交直線l于點(diǎn)巳此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn) B的 坐標(biāo)可得出點(diǎn)B'的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) A、B'的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線 AB'的解析式，再 利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出(1- - yo

26、) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出關(guān) 2 2于xo、yo的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo).詳解：（1） .拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0）, 設(shè)拋物線的解析式為 y=a （x-2） 2.,該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4, 1）,1=4a,解得：a=,4，拋物線的解析式為 y= （x-2） 2= x2-x+1.441y= x44,解得:1 2y= x x 14（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：x1=1,1x2=41， 一y= -y2=14點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,工），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4, 1）4作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB'

27、;交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1 所示）.點(diǎn) B (4, 1)，直線l 為 y=-l,，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, -3).設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b (kwQ ,(1, 1)、B' (4, -3)代入 y=kx+b,得:44kh_ 1b4,解得:g 3k;史12,g -3直線AB的解析式為y=-13x+4,123當(dāng) y=-1 時(shí)，有-13x+g=-1, 12328解得：x=,13.二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一，-1) .13(3)二點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等, (m-xo) 2+ (n-yo) 2= (n+1) 2,m2-2xom+xo2-2yon

28、+yo2=2n+1. M (m, n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，.n=1m2-m+1, 42212212 m -2xom+xo -2yo ( m -m+1) +yo =2 ( m -m+1) +1,整理得：(1 - - yo) m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0. m為任意值,1 c2 y0- 02 2xo 2yo=O22Xo V。 2Vo 3= 0Xo=2一 yo=i，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1）.點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求

29、出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐 標(biāo)特征，找出關(guān)于 Xo、yo的方程組.9.已知，m, n是一元二次方程 x2+4x+3=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|v|n|,拋物線y=x2+bx+c 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （m,。），B （。，n）,如圖所示.（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為D,求出點(diǎn)C, D的坐標(biāo)，并判斷 BCD的形狀；（3）點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線， 交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)Q在直線BC上，距

30、離點(diǎn)P為J2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為t, PMQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.Varv A&用圖【答案】（1） yx22x 3;（2）C （3,。），D （1,- 4）, BCD是直角三角形;1 93t2t（o<t< 3）22（3） S1 23-t -t（t< o或t>3）2 2【解析】試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與 x軸的交點(diǎn)，再判斷出 BOC和ABED都是等腰直角三角形,從而得到結(jié)論； (3)先求出QF=1,再分兩種情況，當(dāng)點(diǎn) P在點(diǎn)M上方和下方，分別計(jì)算即可.試題解析：解(1)

31、 x2+4x 3 0,Xi1, X23, /m, n 是一元二次方程x2+4x 3 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 |m| < |n| , . m= - 1, n=-3,，.拋物線 y x2 2x 3 s八一1 b c 0 b 2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (m, 0) , B (0, n) , . ，二，拋物線解析式為c 3c 32y x 2x 3 ；(2)令 y=0,則 x2 2x 30,X 1, x23, /.C (3,0),2 一 一一2 yx 2x 3 = (x 1)4,.頂點(diǎn)坐標(biāo)D (1,- 4),過(guò)點(diǎn)D 作 DEL y 軸，,. OB=OC=3,BE=DE=1, . BOC和 BED者B是等腰

32、直角三角形，. / OBC=Z DBE=45 ,°Z CBD=90 ,°ABCD是直角三角形；(3)如圖，B (0, - 3) , C (3, 0) , 直線BC解析式為y=x- 3, .點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 t, PMx軸，.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,二點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，.P (t, t- 3) , M (t, t2 2t 3),過(guò)點(diǎn)Q作QF，PM,，APQF是等腰直角三角形， .PQ=V2, .QF=1.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，即0vtv3時(shí)，PM=t - 3 - (t2 2t 3) = t2 3t,11 , 2 八、 1 2 3_ .S=-PMX QFe( t 3t)=

33、 -t t ,如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即t<0或t 22222 一一 ,、2 一 一 1 一 1 , 2 一、 1,23,>3 時(shí)，PM=t2 2t 3 - (t-3) =t2 3t , .-.S=-PMX Q= (t2 3t) =t t .22221t2 3t(0 t 3)一.22綜上所述，S= 22.132t2 2t (t 0或t 3)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；分類討論.10.如圖，若b是正數(shù)，直線l： y=b與y軸交于點(diǎn)A;直線a： y=x-b與y軸交于點(diǎn)B； 拋物線L: y=-x2+bx的頂點(diǎn)為C,且L與x軸右交點(diǎn)為D.(1)若AB=8,求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交

34、點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn) C與l距離的最大值；(3)設(shè)xowq點(diǎn)(xo,yi) , (xo,y2),( xo,y3)分別在 l, a 和 L上，且y3是 yi,y2的平均數(shù)，求點(diǎn)(xo, o)與點(diǎn)D間的距離；(4)在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為美點(diǎn)”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時(shí) 美點(diǎn)”的個(gè)數(shù).1【答案】(1) b=4, (2,-2 ) ; (2) 1; (3) ; (4)當(dāng)b=2019時(shí)美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為24040個(gè)，b=2019.5時(shí) 美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè).【解析】【分析】(1)求出A、B的坐標(biāo)，由AB=8,可求出b的值.從而得到

35、L的解析式，找出L的對(duì)稱軸 與a的交點(diǎn)即可；b2(2)通過(guò)配萬(wàn)，求出 L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn) C在l下萬(wàn)，則C與l的距離b ,配方即4可得出結(jié)論；(3)由I!意得y+y2=2y3,進(jìn)而有b+x。-b=2 (- x02+bx。)解得x0的值，求出L與x軸右交 點(diǎn)為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；(4) 當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式 L： y=-x2+2019x直線解析式a： y=x-2019,美點(diǎn)” 總計(jì)4040個(gè)點(diǎn)， 當(dāng)b=2019.5時(shí)，拋物線解析式 L： y= - x2+2019.5x,直線解析式a： y=x -2019.5, 美點(diǎn)”共有1010個(gè).【詳解】(1)當(dāng) x=0 口寸，y=x- b=-

36、 b, 1- B (0, 一 b).AB=8,而 A (0, b) , 1. b - ( b) =8,b=4,，L： y= - x2+4x,，L 的對(duì)稱軸 x=2,當(dāng)x=2時(shí)，y=x- 4=- 2, ，L的對(duì)稱軸與 a的交點(diǎn)為(2, 2 );b 2b 2(2) y=- ( x )2 ，L 的頂點(diǎn) C (一，一).2424b21點(diǎn)C在l下萬(wàn)，C與l的距離b 一 一(b-2) 2+1W .點(diǎn)C與l距離的最大值為441；(3) - y3是y1,y2的平均數(shù)，y+y2=2y3,，b+x0b=2 ( x02+bx0),解得：x0=0 或1xo=b 2,xowQxo=b ,對(duì)于 L,當(dāng) y=0 口寸，0=

37、x2+bx,即 0= - x (xb),解得：xi=0,X2=b.11- b>0,，右交點(diǎn) D (b, 0) , .點(diǎn)(xo, 0)與點(diǎn) D 間的距離 b- (b ).22(4)當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式 L： y=-x2+2019x,直線解析式a： y=x- 2019. 聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=1, x2=2019, 可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且-1和2019之間(包括-1和-2019)共有2021個(gè)整數(shù)； ;另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，總計(jì)4042個(gè)點(diǎn).這兩段圖象交點(diǎn)有 2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：

38、4042 - 2=4040 (個(gè))； 當(dāng)b=2019.5時(shí)，拋物線解析式 L： y=-x2+2019.5x,直線解析式 a： y=x-2019.5,聯(lián)立 上述兩個(gè)解析式可得：x1 = -1, x2=2019.5, 當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y=x-2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上美點(diǎn)”為0,在二次函數(shù)y=x2+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知-1到2019.5之間有1010個(gè)偶數(shù)，因此 美點(diǎn)”共有1010 個(gè).故b=2019時(shí) 美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=2019.5時(shí) 美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè). 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待

39、定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān) 鍵.11.如圖，拋物線y=ax2+bx過(guò)點(diǎn)B (1, - 3),對(duì)稱軸是直線 x=2,且拋物線與x軸的正 半軸交于點(diǎn)A.(1)求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)ywo時(shí)，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P,當(dāng)PA! BA時(shí)，求4PAB的面積.【答案】(1)拋物線的解析式為 y=x2-4x,自變量x的取值范圖是0<x<4 (2) 4PAB的 面積=15.【解析】【分析】(1)將函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求出待定系數(shù)a和b;(2)如圖，過(guò)點(diǎn) B作B已x軸，垂足為點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn)P作PE，x軸，垂足

40、為F,設(shè)P (x, x2- 4x),證明PFAAEB求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將4PAB的面積構(gòu)造成長(zhǎng)方形去掉三個(gè)三角形 的面積.【詳解】(1)由題意得,*2解得a= 1b= 4，拋物線的解析式為 y=x2-4x,令 y=0,得 x2-2x=0,解得 x=0 或 4,結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為(4, 0),根據(jù)圖象開口向上，則 ywo時(shí)，自變量x的取值范圍是0wxw；4(2)如圖，過(guò)點(diǎn) B作BEXx軸，垂足為點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn)P作PELx軸，垂足為F,設(shè) P （x, x2-4x）. PA，BA / PAF吆 BAE=90 , / PAF吆 FPA=90,/ FPA=/ BAE又 / PFA=Z AEB=90 .P

41、FAAEB,2PF AF x 4x 4 x ,即,AE BE 2 13解得，x= -1 , x=4 （舍去）x2-4x=-5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1, -5）,又.B點(diǎn)坐標(biāo)為（1, -3）,易得到BP直線為y=-4x+1所以BP與x軸交點(diǎn)為（1,0）41 15 八”SA PAB= 5 3 152 4本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直 線表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵.212 .如圖，二次函數(shù) y x 4x 5圖象的頂點(diǎn)為 D ,對(duì)稱軸是直線l , 一次函數(shù)2y -x 1的圖象與x軸交于點(diǎn) A,且與直線 DA關(guān)于l的對(duì)稱直線交于點(diǎn) B.(1)

42、點(diǎn)D的坐標(biāo)是;(2)直線l與直線AB交于點(diǎn)C , N是線段DC上一點(diǎn)(不與點(diǎn) D、C重合)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為n .過(guò)點(diǎn)N作直線與線段DA、DB分別交于點(diǎn)P, Q ,使得 DPQ與 DAB 相似.一 27_當(dāng)n 時(shí)，求DP的長(zhǎng)； 5若對(duì)于每一個(gè)確定的n的值，有且只有一個(gè) DPQ與 DAB相似，請(qǐng)直接寫出n的取 值范圍.921【答案】(1) 2,9 ； (2)DP 9指;一 n 一.55【解析】【分析】(1)直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；(2)由對(duì)稱軸可知點(diǎn) C (2, 9) , A (-5 , 0),點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)(13 ,5220),借助AD的直線解析式求得 B (5, 3);當(dāng)n=M 時(shí)，

43、N (2,空),可求55DA=9/5 , DN=18, CD=36 ,當(dāng) PQ/ AB 時(shí)， DPM DAB, DP=975 ；當(dāng) PQ 與 AB不 255平行時(shí)，DP=9j5; 當(dāng) PQ/ AB, DB=DP時(shí)，DB=3 J5 , DN=24 ,所以 N (2,幻)，55則有且只有一個(gè) DPQ與 DAB相似時(shí)，9<n< 2155【詳解】(1)頂點(diǎn)為D 2,9 ；故答案為2,9 ；對(duì)稱軸x 2,9C(2,-), 5一，一，、5由已知可求A( ,0),2點(diǎn)A關(guān)于x132對(duì)稱點(diǎn)為(一 ,0),2則AD關(guān)于x 2對(duì)稱的直線為y 2x13,B(5,3),.27 ,27當(dāng)n 時(shí)，N(2,)，

44、 559,51836DA , DN , CD 225當(dāng) PQ/ AB 時(shí)，PDQ : DAB,Q DAC : DPN ,DP DN , DA DCDP 9 .5 ；當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)， DPQ : DBA , DNQ : DCA ,DP DN , DB DCDP 9 -5 ；綜上所述DP 9、, 5 ;當(dāng) PQ/ AB, DB DP 時(shí),DB 3.5,DPDADNDC，DN24了 21N(2,-),5.有且只有一個(gè)DPQ與DAB相似時(shí),21一，一，9故答案為- n215 '5【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似 的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

45、鍵.13.如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線 y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上, 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,連結(jié)AM、BM.（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷4ABM的形狀，并說(shuō)明理由；（3）把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱為拋物線的不動(dòng)點(diǎn).若將（1）中拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m, 2m）,當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn).【答案】（1）拋物線解析式為 y=x2-1; （2） 4ABM為直角三角形.理由見解析；（3）111 II當(dāng)m時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn).【解析】試題分析：（1）分別寫出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；根據(jù) oa= OM = 1, AC=

46、 BC= 3,分別得到 Z MAC =45°, / BAC= 45°,得到 Z BAM =90°,進(jìn)而得到ABM是直角三角形；（3）根據(jù)拋物線的平以后的頂點(diǎn)設(shè)其解析式為y = （X-m）2- 2m , 拋物線的不動(dòng)點(diǎn)是拋物線與直線T =的交點(diǎn)，.八川）*2制=工方程遙1）工+加* + 2m=°總有實(shí)數(shù)根，則得到m的取值范圍即可試題解析：解：（1）二點(diǎn)A是直線 = X +1與久軸的交點(diǎn)，A點(diǎn)為（-1, 0） 點(diǎn)B在直線上，且橫坐標(biāo)為2,，B點(diǎn)為（2, 3） 過(guò)點(diǎn)A、B的拋物線的頂點(diǎn)M在7軸上，故設(shè)其解析式為：'二口二 +0（fl + C = 0j

47、1 = 1+ c = 3 口 c =- 1,解得：.拋物線的解析式為-（2） 4ABM是直角三角形，且 /BAM=90°.理由如下：作 BC，入軸于點(diǎn) C, . A （-1, 0）、B （2, 3）AC= BC= 3, . . / BAC= 45°點(diǎn)M是拋物線y =的頂點(diǎn)，.M點(diǎn)為（0, -1），。人;OM = 1, / AOM = 90/ MAC= 45 °；/ BAM= / BAC+ / MAC =90 °，AABM 是直角三角形.(3)將拋物線的頂點(diǎn)平移至點(diǎn)(m, 2m),則其解析式為,=0-用戶+ 2m.拋物線的不動(dòng)點(diǎn)是拋物線與直線 ¥

48、二工的交點(diǎn)，1)'+9=父化簡(jiǎn)得：.人-(2m + l)2-4xr (加 + 2m)=- 4m +1當(dāng)二4加十1之0時(shí)，方程x2-(2m + 1江+ m? + 2m = 0總有實(shí)數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)ImW14考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用(待定系數(shù)法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判別式)14.如圖，已知拋物線 y=ax2+bx- 2 (aw。與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線、,1BD交拋物線于點(diǎn) D,并且D (2, 3) , tan/DBA=.2(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A,求四邊形BMCA面積的最

49、大值；(3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn) M作直線平行于y軸，在這條直線OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心 Q上是否存在一個(gè)以 Q點(diǎn)為圓心 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) y=1x2+3x- 2; (2) 9; (3)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(-2, 4)或(-2,- 221) .【解析】(1)如答圖1所示，利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.(2)如答圖1所示，首先求出四邊形 BMCA面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值.RtAAGF(3)如答圖2所示，首先求出直線 AC與直線x=2的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而確定了 的各個(gè)邊長(zhǎng)；然后證明 RtAAGF RtQEF,利用相似線段比例關(guān)系列出方程，求出點(diǎn) 坐標(biāo).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的